支持向量机公式求解过程

支持向量机（SVM）的间隔是通过最大化两类样本之间的最小距离来推断的。以下是详细的推导过程：

1. 超平面方程

SVM的目标是找到一个超平面，将两类样本分开。超平面的方程可以表示为：

$\mathbf{w} \cdot \mathbf{x} + b = 0$

其中， $\mathbf{w}$ 是超平面的法向量， $b$ 是偏置项。

2. 间隔的定义

间隔（Margin）是指两类样本到超平面的最小距离之和。对于任意样本点 $\mathbf{x}_i$ ，其到超平面的距离为：

$\text{距离} = \frac{|\mathbf{w} \cdot \mathbf{x}_i + b|}{\|\mathbf{w}\|}$

对于正确分类的样本，有 $y_i (\mathbf{w} \cdot \mathbf{x}_i + b) \geq 1$ ，因此距离可以简化为：

$\text{距离} = \frac{y_i (\mathbf{w} \cdot \mathbf{x}_i + b)}{\|\mathbf{w}\|}$

3. 最大化间隔

为了最大化间隔，我们需要最大化最小距离。假设所有样本都被正确分类，即 $y_i (\mathbf{w} \cdot \mathbf{x}_i + b) \geq 1$ ，则最小距离为：

$\text{最小距离} = \frac{1}{\|\mathbf{w}\|}$

因此，最大化间隔等价于最小化 $\|\mathbf{w}\|$ 。为了简化计算，通常最小化 $\frac{1}{2} \|\mathbf{w}\|^2$ 。

4. 优化问题

SVM的优化问题可以表示为：

$\min_{\mathbf{w}, b} \frac{1}{2} \|\mathbf{w}\|^2$

约束条件为：

$y_i (\mathbf{w} \cdot \mathbf{x}_i + b) \geq 1, \quad \forall i$

5. 原始优化问题

SVM的原始优化问题是：

$\min_{\mathbf{w}, b} \frac{1}{2} \|\mathbf{w}\|^2$

约束条件为：

$y_i (\mathbf{w} \cdot \mathbf{x}_i + b) \geq 1, \quad \forall i = 1, 2, \dots, n$

其中：

$\mathbf{w}$ 是超平面的法向量，
$b$ 是偏置项，
$y_i$ 是样本的标签 $(y_i \in \{+1, -1\}）$ ，
$\mathbf{x}_i$ 是样本特征。

6. 引入拉格朗日乘子

为了将约束优化问题转化为无约束优化问题，我们引入拉格朗日乘子 $\alpha_i \geq 0$ （每个样本对应一个乘子）。拉格朗日函数定义为：

$L(\mathbf{w}, b, \alpha) = \frac{1}{2} \|\mathbf{w}\|^2 - \sum_{i=1}^n \alpha_i \left[ y_i (\mathbf{w} \cdot \mathbf{x}_i + b) - 1 \right]$

其中：

$\alpha_i$ 是拉格朗日乘子，
$y_i (\mathbf{w} \cdot \mathbf{x}_i + b) - 1 \geq 0$ 是约束条件。

7. 对拉格朗日函数求极值

为了求解拉格朗日函数的极值，我们需要对 $\mathbf{w}$ 和 $b$ 求偏导，并令其为零。

(1) 对 $\mathbf{w}$ 求偏导：

$\frac{\partial L}{\partial \mathbf{w}} = \mathbf{w} - \sum_{i=1}^n \alpha_i y_i \mathbf{x}_i = 0$

解得：
$\mathbf{w} = \sum_{i=1}^n \alpha_i y_i \mathbf{x}_i$

(2) 对 $b$ 求偏导：

$\frac{\partial L}{\partial b} = -\sum_{i=1}^n \alpha_i y_i = 0$

解得：
$\sum_{i=1}^n \alpha_i y_i = 0$

8. 将 $\mathbf{w}$ 和 $b$ 的表达式代入拉格朗日函数

现在，我们将 $\mathbf{w} = \sum_{i=1}^n \alpha_i y_i \mathbf{x}_i$ 和 $\sum_{i=1}^n \alpha_i y_i = 0$ 代入拉格朗日函数 $L(\mathbf{w}, b, \alpha)$ 。

(1) 代入 $\mathbf{w}$ 的表达式

首先，计算 $\|\mathbf{w}\|^2$ ：
$\|\mathbf{w}\|^2 = \mathbf{w} \cdot \mathbf{w} = \left( \sum_{i=1}^n \alpha_i y_i \mathbf{x}_i \right) \cdot \left( \sum_{j=1}^n \alpha_j y_j \mathbf{x}_j \right)$

展开内积：
$\|\mathbf{w}\|^2 = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_i \alpha_j y_i y_j (\mathbf{x}_i \cdot \mathbf{x}_j)$

因此， $\frac{1}{2} \|\mathbf{w}\|^2$ 变为：
$\frac{1}{2} \|\mathbf{w}\|^2 = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_i \alpha_j y_i y_j (\mathbf{x}_i \cdot \mathbf{x}_j)$

(2) 代入约束条件

接下来，处理拉格朗日函数中的约束项：
$\sum_{i=1}^n \alpha_i \left[ y_i (\mathbf{w} \cdot \mathbf{x}_i + b) - 1 \right]$

将 $\mathbf{w} = \sum_{j=1}^n \alpha_j y_j \mathbf{x}_j$ 代入：
$y_i (\mathbf{w} \cdot \mathbf{x}_i + b) = y_i \left( \sum_{j=1}^n \alpha_j y_j \mathbf{x}_j \cdot \mathbf{x}_i + b \right)$

因此，约束项变为：
$\sum_{i=1}^n \alpha_i \left[ y_i \left( \sum_{j=1}^n \alpha_j y_j \mathbf{x}_j \cdot \mathbf{x}_i + b \right) - 1 \right]$

展开并整理：
$\sum_{i=1}^n \alpha_i y_i \sum_{j=1}^n \alpha_j y_j (\mathbf{x}_j \cdot \mathbf{x}_i) + \sum_{i=1}^n \alpha_i y_i b - \sum_{i=1}^n \alpha_i$

根据 $\sum_{i=1}^n \alpha_i y_i = 0$ ，第二项 $\sum_{i=1}^n \alpha_i y_i b = 0$ ，因此约束项简化为：
$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_i \alpha_j y_i y_j (\mathbf{x}_i \cdot \mathbf{x}_j) - \sum_{i=1}^n \alpha_i$

(3) 合并结果

将 $\frac{1}{2} \|\mathbf{w}\|^2$ 和约束项代入拉格朗日函数：
$L(\alpha) = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_i \alpha_j y_i y_j (\mathbf{x}_i \cdot \mathbf{x}_j) - \left( \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_i \alpha_j y_i y_j (\mathbf{x}_i \cdot \mathbf{x}_j) - \sum_{i=1}^n \alpha_i \right)$

化简：
$L(\alpha) = \sum_{i=1}^n \alpha_i - \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_i \alpha_j y_i y_j (\mathbf{x}_i \cdot \mathbf{x}_j)$

9. 对偶问题的形式

对偶问题是一个关于拉格朗日乘子 $\alpha_i$ 的优化问题：

$\max_{\alpha} \sum_{i=1}^n \alpha_i - \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_i \alpha_j y_i y_j (\mathbf{x}_i \cdot \mathbf{x}_j)$

约束条件为：
$0 \leq \alpha_i \leq C, \quad \sum_{i=1}^n \alpha_i y_i = 0$

其中， $\alpha_i$ 是拉格朗日乘子， $C$ 是正则化参数。

10. 核函数的引入

如果数据是非线性可分的，可以通过核函数 $K(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_j)$ 将样本映射到高维空间。此时，对偶问题中的内积 $\mathbf{x}_i \cdot \mathbf{x}_j$ 被替换为核函数：

$\max_{\alpha} \sum_{i=1}^n \alpha_i - \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_i \alpha_j y_i y_j K(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_j)$

11. 对偶问题的最终形式

对偶问题的目标函数为：
$\max_{\alpha} \sum_{i=1}^n \alpha_i - \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_i \alpha_j y_i y_j K(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_j)$

约束条件为：
$\alpha_i \geq 0, \quad \forall i = 1, 2, \dots, n$
$\sum_{i=1}^n \alpha_i y_i = 0$

其中：

$K(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_j)$ 是核函数，用于计算样本 $\mathbf{x}_i$ 和 $\mathbf{x}_j$ 的内积。
$\alpha_i$ 是拉格朗日乘子。

12. 求解方法

对偶问题是一个凸二次规划问题，可以使用以下方法求解：

(1) 序列最小优化（SMO）算法

SMO 是专门为 SVM 设计的快速求解算法。它的核心思想是将大优化问题分解为一系列小优化问题，每次只优化两个拉格朗日乘子 $\alpha_i$ 和 $\alpha_j$ ，同时固定其他乘子。

SMO 的步骤：

选择两个乘子：选择一对拉格朗日乘子 $\alpha_i$ 和 $\alpha_j$ 进行优化。
优化子问题：固定其他乘子，求解关于 $\alpha_i$ 和 $\alpha_j$ 的二次规划问题。
更新乘子：根据优化结果更新 $\alpha_i$ 和 $\alpha_j$ 。
检查收敛：重复上述步骤，直到满足收敛条件（如 KKT 条件）。

优点：

高效，特别适合大规模数据集。
只需要计算核函数的值，避免了高维空间的计算。

(2) 通用的二次规划求解器

如果数据集较小，可以使用通用的二次规划求解器（如 CVXOPT、quadprog 等）直接求解对偶问题。

步骤：

将对偶问题转化为标准的二次规划形式：

其中：
- $Q_{ij} = y_i y_j K(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_j)$ 是核矩阵，
- $\mathbf{1}$ 是全 1 向量。
添加约束条件：
$\alpha_i \geq 0, \quad \sum_{i=1}^n \alpha_i y_i = 0$
使用求解器求解。