支持向量机（SVM）的间隔是通过最大化两类样本之间的最小距离来推断的。以下是详细的推导过程：
1. 超平面方程
SVM的目标是找到一个超平面，将两类样本分开。超平面的方程可以表示为：
其中， 是超平面的法向量，
是偏置项。
2. 间隔的定义
间隔（Margin）是指两类样本到超平面的最小距离之和。对于任意样本点 ，其到超平面的距离为：
对于正确分类的样本，有 ，因此距离可以简化为：
3. 最大化间隔
为了最大化间隔，我们需要最大化最小距离。假设所有样本都被正确分类，即 ，则最小距离为：
因此，最大化间隔等价于最小化 。为了简化计算，通常最小化
。
4. 优化问题
SVM的优化问题可以表示为：
约束条件为：
5. 原始优化问题
SVM的原始优化问题是：
约束条件为：
其中：
-
是超平面的法向量，
-
是偏置项，
-
是样本的标签
，
-
是样本特征。
6. 引入拉格朗日乘子
为了将约束优化问题转化为无约束优化问题，我们引入拉格朗日乘子 （每个样本对应一个乘子）。拉格朗日函数定义为：
其中：
-
是拉格朗日乘子，
-
是约束条件。
7. 对拉格朗日函数求极值
为了求解拉格朗日函数的极值，我们需要对 和
求偏导，并令其为零。
(1) 对 求偏导：
解得：
(2) 对 求偏导：
解得：
8. 将 和 的表达式代入拉格朗日函数
现在，我们将 和
代入拉格朗日函数
。
(1) 代入 的表达式
首先，计算 ：
展开内积：
因此， 变为：
(2) 代入约束条件
接下来，处理拉格朗日函数中的约束项：
将 代入：
因此，约束项变为：
展开并整理：
根据 ，第二项
，因此约束项简化为：
(3) 合并结果
将 和约束项代入拉格朗日函数：
化简：
9. 对偶问题的形式
对偶问题是一个关于拉格朗日乘子 的优化问题：
约束条件为：
其中， 是拉格朗日乘子，
是正则化参数。
10. 核函数的引入
如果数据是非线性可分的，可以通过核函数 将样本映射到高维空间。此时，对偶问题中的内积
被替换为核函数：
11. 对偶问题的最终形式
对偶问题的目标函数为：
约束条件为：
其中：
-
是核函数，用于计算样本
的内积。
-
12. 求解方法
对偶问题是一个凸二次规划问题，可以使用以下方法求解：
(1) 序列最小优化（SMO）算法
SMO 是专门为 SVM 设计的快速求解算法。它的核心思想是将大优化问题分解为一系列小优化问题，每次只优化两个拉格朗日乘子 和
，同时固定其他乘子。
SMO 的步骤：
-
选择两个乘子：选择一对拉格朗日乘子
进行优化。
-
优化子问题：固定其他乘子，求解关于
-
更新乘子：根据优化结果更新
- 检查收敛：重复上述步骤，直到满足收敛条件（如 KKT 条件）。
优点：
- 高效，特别适合大规模数据集。
- 只需要计算核函数的值，避免了高维空间的计算。
(2) 通用的二次规划求解器
如果数据集较小，可以使用通用的二次规划求解器（如 CVXOPT、quadprog 等）直接求解对偶问题。
步骤：
- 将对偶问题转化为标准的二次规划形式：
其中：-
是核矩阵，
-
是全 1 向量。
-
- 添加约束条件：
- 使用求解器求解。
优点：
- 简单直接，适合小规模问题。
- 不需要实现复杂的算法。
13. 求解后的步骤
求解对偶问题后，我们需要根据 计算超平面的参数
和
。
(1) 计算
根据对偶问题的解，超平面的法向量 可以表示为：
如果使用核函数， 不需要显式计算，因为预测时直接使用核函数。
(2) 计算
偏置项 可以通过支持向量计算。对于任意支持向量
，满足：
因此：
通常对所有支持向量计算 并取平均值，以提高稳定性。
14. 预测新样本
对于新样本 ，其预测结果为：
其中：
-
是符号函数，返回
或
。
-
是核函数。
总结
对偶问题的推导过程如下：
- 从原始优化问题出发，引入拉格朗日乘子。
- 对拉格朗日函数求极值，得到
- 将结果代入拉格朗日函数，得到对偶问题的目标函数。
- 引入核函数以处理非线性问题。
- 通过求解对偶问题，得到拉格朗日乘子
- 最终计算出超平面的参数
对偶问题的形式使得SVM能够高效地处理高维数据，并且通过核函数扩展到非线性分类问题。
