OFDM-循环前缀

1、周期延拓（若有相关基础，可直接从4开始）

对于连续信号而言：
$x_T(t)=\sum_{k=- \infty}^{\infty}x(t-kT)=\sum_{k=- \infty}^{\infty}x(t+kT)$
类似地，对于离散信号：
$x_N(n)=\sum_{k=- \infty}^{\infty}x[n-kN]=\sum_{k=- \infty}^{\infty}x[N+kN]$

2、循环卷积（圆周卷积）

周期为N的循环卷积 $(x \otimes h)[n]$ 为：
$\begin{align} (x_N*h)[n]&=\sum_{m=- \infty}^{\infty}h[m]\cdot x_N{[n-m]}\\ &=\sum_{m=- \infty}^{\infty}\{h[m]\cdot \sum_{k=- \infty}^{\infty}x{[n-m-kN]}\} \end{align}$

3、循环卷积和线性卷积的关系

循环卷积是线性卷积周期延拓后取主值序列。

4、OFDM的循环前缀

“采用循环前缀后，信道输出的后N个样值（去除CP后）是发送序列和信道冲激响应的循环卷积。”

忽略信道噪声，系统模型可以表示为：
$Y=H*X \tag{4-1}$
假设 $h$ 的长度为2， $x$ 的长度为3，公式（4-1）可以写成矩阵形式：
$\left [ \begin{matrix} y_0 \\ y_1\\ y_2 \end{matrix} \right ] = \left [ \begin{matrix} h_0 & 0 & 0 \\ h_1 & h_0 & 0 \\ 0 & h_1 & h_0 \\ \end{matrix} \right ] \left [ \begin{matrix} x_0 \\ x_1\\ x_2 \end{matrix} \right ] = \left [ \begin{matrix} h_0x_0 \\ h_1x_0+h_0x_1\\ h_1x_1+h_0x_2 \end{matrix} \right ] \tag{4-2}$
根据定义，CP的长度至少为L-1（L为h的长度），这里设CP长度为1。则加完CP后的输入向量为： $X^{'}=[x_2 ~ x_0 ~ x_1~x_2]^T$

经过信道后（线性卷积）输出的向量： $Y^{'}=H*X^{'}$
$\left [ \begin{matrix} y_0 \\ y_1\\ y_2\\y_3 \end{matrix} \right ] = \left [ \begin{matrix} h_0 & 0 & 0 & 0 \\ h_1 & h_0 & 0 & 0\\ 0 & h_1 & h_0 & 0\\ 0 & 0 & h_1 & h_0\\ \end{matrix} \right ] \left [ \begin{matrix} x_2\\x_0 \\ x_1\\ x_2 \end{matrix} \right ] = \left [ \begin{matrix} h_0x_2 \\ h_1x_2+h_0x_0\\ h_1x_0+h_0x_1\\ h_1x_1+h_0x_2\\ \end{matrix} \right ] \tag{4-3}$
而根据定义， $H$ 和 $X$ 的循环卷积： $Y^{''}=H \otimes X$
$\left [ \begin{matrix} y_0 \\ y_1\\ y_2\\ \end{matrix} \right ] = \left [ \begin{matrix} h_0 & 0 & h_1 \\ h_1 & h_0 & 0\\ 0 & h_1 & h_0\\ \end{matrix} \right ] \left [ \begin{matrix} x_0 \\ x_1\\ x_2 \end{matrix} \right ] = \left [ \begin{matrix} h_1x_2+h_0x_0\\ h_1x_0+h_0x_1\\ h_1x_1+h_0x_2\\ \end{matrix} \right ] \tag{4-4}$
（4-3）为线性卷积输出的向量，在实际中，我们会去掉接收到的信号的CP部分，在我们的例子中也就是去掉 $y_0$ ，于是就变成了（4-4），这也是开头那句话的含义。

5、Matlab仿真

x = [1 3 5 7 9 11 13 15];           % transmitted sequence
x_cp = [x(end-2:end) x];            % length of CP is 3
h = [2 4 6];                        % channel taps

% linear convolution
y1 = filter(h,1,x_cp);
% circular convolution
y2 = cconv(x,h,8);

仿真结果：

$y_1$	22	70	148	140	100	28	52	76	100	124	148
$y_2$			148	140	100	28	52	76	100	124	148