接着说一下这个施图姆-刘维尔（S-L）问题方程和一种求本征值更便捷的方法。

1.他是限定于二阶线性的微分方程。

其中函数p,w,q均是关于x的函数；y就是我们要求的函数；l就是上面的本征值；w（x）又叫做weight，权重。且定义的区间是有限区间[a,b].

其中p,p’,q,w均是连续函数

讨论：当p，w在[a,b]上>0,此时就是regular S-L方程；当p，w在（a,b）上>0,也就是说在边界处可能为0，就是singular S-L方程；当p（a）= p(b),且p，r>0,就是periodic S-L方程。

未知函数y满足的边界条件为：（由于这个编辑器无法显示希腊字母，我用英文代替。）

alpha*y(a)+beita*y’(a) = 0;

eta*y(b)+gamma*y’(b) = 0

这样的话，Dirichlet条件就是beita = gamma  = 0 ；Neumann条件就是alpha = eta = 0；

于是：

Eg1：DIRICHLET CONDITION

X’’+lX = 0，X的BC为：X（0）= X（L）= 0

本征值和本征函数就是：

Eg2:  NEUMANN CONDITION

X’’+lX = 0，X的BC为：X’（0）= X’（L）= 0

类似于之前的推导，在求解本征值和本征函数的过程中同样需要对本征值进行大于小于等于0的讨论，无意义解同样不取。

本征值和本征函数就是：

Eg3: Periodic  CONDITION

X’’+lX = 0，X的BC为：X’（0）= X’（L）= 0，X（0）= X（L）= 0

这种情况下一个本征值将对应着两个本征函数。

本征值和本征函数为：

   Eg4: Mixed CONDITION

X’’+lX = 0，X的BC为：X（0）= X’（L）= 0

这里按照传统的对于本征值分成三类讨论的方法，先直接说结果。之后说另一种方法：

2. 行列式定理：

由于研一《数理方程》课程计划中并未提及“施图姆-刘维尔方程”的概念，所以可能导致这种方法老师并未提到过（当然存在一种可能，我上课没仔细听~~），所以我说的是我的理解和总结，也许会有瑕疵，望指教。其实简单知道施图姆-刘维尔方程的形式，对于这种方法的理解会好一些。

前面的几个例子，可以明显看到本征函数都是些三角函数形式，我们暂且称他们是基函数，基函数的级数（线性组合）又组成了未知函数。现在把基函数写成u（l），v（l）由他们构成了本征函数和未知函数。参考1中的方程，同时将边界条件看成是算子BC！

现在假设本征函数是X（x） = c*u（l）+d*v（l），满足边界条件的情况下：

于是：

，因为c、d不能同时为零，所以只能是如果

当这个成立时，解出的本征值有意义。

Eg：就拿上面的Eg4举例：

首先，应该知道，这里的基函数就是

分别认作u和v。利用上面的结论：

于是有：

结果和按传统的方法，繁琐的分类讨论结果是一致的，这个方法就是按照施图姆-刘维尔方程的基本定义出发进行简单推导后的结论。

【说明】

1.对于常规，周期S-L问题，本征值是实数。

2.线性代数中，会遇到这么一个问题，就是一个特征值对应着多个特征函数，称这种情况下的重度大于1.参考这个重度概念，移到S-L问题上，观察一个本征值对应的本征函数个数，也叫做重度。对于常规的S-L问题，重度均等于1。对于周期性S-L问题，参考Eg3，重度就不是1了（2）.