第九章漫射近似

第八章中的单次散射和一阶多次散射近似一般只适用于散射体体积密度（也即散射体体积占介质总体积的比例）0.1%以下的介质。

对于散射体体积密度远大于1%的情形，漫射近似可以给出非常简单但相当精确的解。

9.1 漫射方程的推导

显然，漫射也需要满足传输方程：

$d I_{\mathrm{d}} \frac{(\mathbf{r}, \hat{\mathbf{s}})}{d s}=-\rho \sigma_{\mathrm{t}} I_{\mathrm{d}}(\mathbf{r}, \hat{\mathbf{s}})+\frac{\rho \sigma_{\mathrm{t}}}{4 \pi} \int_{4 \pi} p\left(\hat{\mathbf{s}}, \hat{\mathbf{s}}^{\prime}\right) I_{\mathrm{d}}\left(\mathbf{r}, \hat{\mathbf{s}}^{\prime}\right) d \omega^{\prime}+\varepsilon_{\mathrm{ri}}(\mathbf{r}, \hat{\mathbf{s}})+\varepsilon(\mathbf{r}, \hat{\mathbf{s}})$

在漫射近似下，认为漫射近似具有各向同性，也即具有近似均一的角分布。需要注意，这里角分布不可能是完全各向同的，否则净能流就为零，也即不存在能量传输。因此，前向的漫射强度要比后向略多一些：

图9.1 漫射的角分布

这可以看成是 $s\cdot s_{\mathrm{f}}$ 的Taylor展开的前两项，其中 $U_{\mathrm{d}}\gg|\mathbf{F}_{\mathrm{d}}|$ 。

最后得到的漫射近似方程：

9.2 边界条件

利用这一事实：没有从外向内的漫射强度，可以得到精确的边界条件：

$I_{\mathrm{d}}(\mathbf{r}, \hat{\mathbf{s}})=0 \quad \text { when } \hat{\mathbf{s}} \text { is pointed inward. }$

但在上一节中的近似下，这一边界条件不能被精确满足，因此转而采用近似边界条件：

9.3 准直波束入射到粒子平板上

图9.3 准直波束入射的几何

9.4 平面波入射到粒子平板上的求解

$F_0(\boldsymbol\rho)$ 变为常数 $F_0$ ，从而方程变为：

$\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}} U_{\mathrm{d}}(z)-\kappa_{\mathrm{d}}^{2} U_{\mathrm{d}}(z)=-Q_{0} \exp \left(-\rho \sigma_{\mathrm{t}} z\right)$

$Q_{0}=\left[3 \rho \sigma_{\mathrm{s}} \rho \sigma_{\mathrm{tr}}+3 \rho \sigma_{\mathrm{s}} \rho \sigma_{\mathrm{t}} \bar{\mu}\right]\left(F_{0} / 4 \pi\right)$

而边界条件为：

$\begin{array}{l} U_{\mathrm{d}}(z)-h \frac{\partial}{\partial z} U_{\mathrm{d}}(z)+\frac{Q_{1}(z)}{2 \pi}=0 \quad \text { at } \quad z=0 \\ U_{\mathrm{d}}(z)+h \frac{\partial}{\partial z} U_{\mathrm{d}}(z)-\frac{Q_{1}(z)}{2 \pi}=0 \quad \text { at } \quad z=d \end{array}$

9.5 有限宽度准直波束入射到粒子平板上的求解

利用Green第二等式：

$\int\left[u \nabla^{2} v-v \nabla^{2} u\right] d V=\int\left[u \frac{\partial v}{\partial n}-v \frac{\partial u}{\partial n}\right] d a$

可以得到解：

9.6 点源的漫射

对于点源：

漫射方程为：

$\nabla^{2} U_{\mathrm{d}}(\mathbf{r})-\kappa_{\mathrm{d}}^{2} U_{\mathrm{d}}(\mathbf{r})=-(3 / 4 \pi) \rho \sigma_{\mathrm{tr}} P_{0} \delta(\mathbf{r})$

其解为：

9.7 双光纤反射

两根平行光纤组成一个小装置，通过调节两根光纤之间的距离，可以消除血细胞比容对相对反射率的影响，从而利用反射率计算血氧饱和度。

9.8 光电血氧计导管

图9.7 光纤导管示意图