第一章习题

1. 设 a 和 b 是不全为 0 的实数，求实数 c 和 d, 使得
1/(a +bi) = c+ di.

答：即求复数的除法：使用共轭复数消去分母下的复数。
得出c=a/(a^2+b^2) d=-b/(a^2+b^2)

2.证明 $\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ 是1的一个立方根(即它的立方等于1)

答：复数的乘法运算，记住i^2=-1,然后依次将分数自相乘三次就可以了。

3.证明：对每个 $v \in V$ , 都有 -(-v) = v.

因为向量的性质，一定有加法逆。
v的加法逆是-v，-v的加法逆是 -(-v).
则有0=v+(-v),0=(-v)+[-(-v)],
则v+(-v)+(--v)=(--v)=>v+0=(--v)=>--v=v

4.证明：若 $a\in F,\vec v\in V$ , 且 $a\vec v=\vec 0$ 则 $a=0$ 或者 $\vec v=\vec 0$

答：若a!=0,且v!=0,则av中的每个子元素不全为0，那么av不是零向量。

参考答案：如果a=0,根据实数0的定义，不管乘啥都是0，乘苹果就是0个苹果，乘向量就是0向量。如果a!=0,那么就有1/a *(av)=1/a *0=>v=0，也满足推论。

5.判断 $F^3$ 的下列子集是不是 $F^3$ 的子空间：
(a) $\{(x_1,x_2,x_3)\in F^3:x_1+2x_2+3x_3=0\}$
(b) $\{(x_1,x_2,x_3)\in F^3:x_1+2x_2+3x_3=4\}$
(c) $\{(x_1,x_2,x_3)\in F^3:x_1x_2x_3=0\}$
(d) $\{(x_1,x_2,x_3)\in F^3:x_1=5x_3\}$

答：验证子空间：1.有加法单元0 2.对加法封闭  3.对标量乘法封闭
a是子空间 1.每个元素为0，整体值为0,2.(-1,-1,1)+(5,-1,-1)=(4,-2,0) 属于V，2*（-1,-1,1)=(-2,-2,2) 属于V

b不是子空间 没有加法单元

c不是子空间，对加法不封闭，(1,0,1)+(0,1,0)=(1,1,1) 不属于V

d的条件可以写成x1-5x3=0,类似于a,是子空间。

参考答案：1.非空2.加法封闭3.乘法封闭

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6.举出 $R^2$ 的一个非空子集 $U$ 的例子，使得 $U$ 对加法和取加法逆封闭(即当 $u\in U$ 时， $-u\in U$ )，但 $U$ 不是 $R^2$ 的子空间。

因为要满足加法封闭，所以一定有加法单元。
那么只有不满足乘法封闭这一条件：
第五题的c选项是对加法不封闭。
要去乘法不封闭，但是加法封闭，但标量乘法和加法是等同的啊。

参考答案：在向量中加法和标量乘法不等同。

例如 U={(m,n):m,n are 整数}
很显然符合加法和加法逆法则，但是用1/2这种分数去标量乘(1,1)这种向量，得到的向量就不属于U了。

7.举出 $R_2$ 的一个非空子集 U 的例子，使得 U 对标量乘法封闭，但U不是 $R_2$ 的子空间。

例题中有个例子U={(m,n):m*n=0}

8.证明 V 的任意一组子空间的交都是 V 的一个子空间。

答：设v既包含于子空间W，又包含于子空间U。则V一定包含于V。且1.加法单元一定存于交集中2.无论实在哪个集合都是符合加法封闭和乘法封闭的。

参考答案：假设 $\{U_a\}_{a\in \Gamma}$ 是一系列V子空间的集合，其中 $\Gamma$ 是索引a的集合。需要证明 $\cap_{a\in \Gamma}U_a$ ，即任意个子空间的交集是V的子空间。
1.加法单元在每一个 $U_a$ 子空间里面。因此0是属于任意个子空间的交集的。 $\vec 0 \in \cap_{a\in \Gamma}U_a$ .并且这个交集是非空集。
2.假设有两个向量u，v属于这个交集 $\vec u,\vec v \in \cap_{a\in \Gamma}U_a$ ，那么属于任意一个V的子空间中。那么 $\vec u,\vec v \in \cap_{a\in \Gamma}U_a$ ，因此 $\cap_{a\in \Gamma}U_a$ 是加法封闭的。
3.同理，假设 $\vec u \in \cap_{a\in \Gamma}U_a$ ， $a\in F$ ,则au也包含于任意一个V的子空间中，因此 $a\vec u \in \cap_{a\in \Gamma}U_a$ .因此 $\cap_{a\in \Gamma}U_a$ 是标量乘法封闭的。
以上三点可以证明， $\cap_{a\in \Gamma}U_a$ 是V的子空间。

9.证明 V 的两个子空间的并是 V 的一个子空间当且仅当其中的一个子空间包含在另一个子空间中。

答：假设U是V的子空间，且W是U的子空间，则对于向量v包含于W,则v一定包含于V。充分条件证明完毕。
假设W不是U的子空间，存在v包含于W，不包含于U，u包含于U，不包含于W。则

参考答案：假设U和W是V的子空间，并且 $U\cup W$ 是V的子空间。
可以通过反证法来证明， $U \subset W$ 或者 $W\sub U$ 。

先假设我们想要的相反的结果，即 $U \not\subset W$ 并且 $W\not\sub U$
$\exists u \in U$ 并且 $u\not \in W$
$\exists w \in W$ 并且 $w\not \in U$

因为u+w一定存在于 $U\cup W$ ,这个并集假设为V的子空间。
可以判定， $u+w\in W$ 或 $u+w\in U$ .
1.假设 $u+w\in U$ ，w=(u+w)+(-u),那么w是两个U子空间向量的和，不符合假设 $w\not \in U$ .
2.同理假设 $u+w\in W$ ，u=(u+w)+(-w),那么u是两个W子空间向量的和，不符合假设 $u\not \in W$ .

综上所述，可以反证得 $U \subset W$ 或者 $W\sub U$ 。

10.设 U 是 V 的一个子空间求 U+ U.

空间是一种特殊的集合，集合的叠加等于自身，空间的叠加也是自身。

参考答案：根据定义， $U+U=\{u+v:u,v\in U\}$ .
首先： $U \sub U+U$ ,因为如果 $u\in U$ ,那么就有u=u+0,就证明了两个U中的元素都存在于U+U中。相应的， $U+U\in U$ ,因为U的两个元素之和依旧是U的元素。结论就是U+U=U.

11.V 的子空间的加法运算具有交换性吗？结合性呢?(也就是说如果 $U_1 , U_2, U_3$ 都是 V 的子空间，是否有 $U_1 + U_2 =U_2+U_1$ ？是否有 $(U_1 + U_2)+U_3 = U_1 + (U_2＋U_3)$ ?

答：假设 $U_1+U_2={u+v:u\in U_1,v \in U_2 }$ 。由于 $U_1,U_2$ 都是V的子空间，则 $u+v=v+u$ 。
即可知 $U_1+U_2={v+u:u\in U_1,v \in U_2 }=U_2+U_1$ 。
依据V向量的结合律也同样可证明
$(U_1+U_2)+U_3={(u+v)+w:u\in U_1,v \in U_2,w\in W }={u+(v+w):u\in U_1,v \in U_2,w\in W }=U_1+(U_2+U_3)$

12.V 的子空间的加法运算有单位元吗？哪个子空间有加法逆？

参考答案：{0}是子空间加法运算的单位元，只有 $U+\{)\}=\{0\}+U=U$
假设U有加法逆，W。则U+W={0}.但是U和W的元素都在U+W里。那么只有U=W={0},U中只有一个0元素才能满足假设，既只有{0}子空间有加法逆。

13.证明或举反例：如果 U1 ,U2, W 是 V 的子空间使得 $U_1+W=U_2+W$ 。那么 $U_1=U_2$

答： $U_1+W=\{u_1+w:u_1\in U_1,w\in W\}=\{u_2+w:u_2\in U_2,w\in W\}=U_2+W$
对于任意的u1+w总有u2+w与其相等，w有加法逆，两边同时消去w，则为对于任意的u1总有u2与其相等，那么就可以说 $U_1\subset U_2$ 。相应的也可以得出 $U_2\subset U_2$ .即可得出 $U_1=U_2$ .

14.设 U 是由所有形如 $p(z)=az^2+bz^5,a,b\in F$ 的多项式组成的P(F)的一个子空间，求P(F)的一个子空间W 使得 $P(F)=U\oplus W$

答：
直和问题。W 应是二次和5次项系数为0的多项式的子空间。 $p(z)=a_0+a_1z+a_3z^3+a_4z^4+a_6z^6+···+a_mz^m,aj\in F$

15.证明或举反例：如果 U1, U2, W 是 V 的子空间，使得
$V=U_1\oplus W,V=U_2\oplus W$ ,那么 $U_1=U_2$ 。

答：

直和的性质有。 $V=U \oplus W \Longleftrightarrow V=U+W,并且U \cap W=\{0\}$
得 $U_1+W=U_2+W$ ,进而可得， $U_1=U_2$ 。

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第一章习题

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