前言
在之前的学习中，已经学习了无监督学习中的K均值算法。除此算法之外，无监督学习还有另外一种新的算法，该算法被称之为降维。使用降维算法的目的之一就是实现数据压缩，数据压缩不仅可以对数据进行优化，减少算法对硬盘空间和内存的消耗，还可以减少算法运行所消耗的时间。
降维
数据压缩
降维，简而言之就是减少数据维度，对于一组数据，可能存在高度冗余的特征。例如同一物体的体积和质量，可以用二维矩阵表示物体的体积和质量特征，但是由于其密度一样，体积和质量特征重合，可以只选择体积或者质量一个特征来表示物体的大小，即也就是降维，将用来表示物体大小的二维矩阵转化为一维向量。
如下图所示的，可以用变量表示某种事物，而变量
之间近似存在着线性关系，可以将二维变量
投影到一维变量
上，用变量
的位置表示变量
的位置，二维变量变为一维变量，减小了数据冗余，实现了数据压缩。
可视化
以上，讨论了降维在对于数据压缩方面的应用。而降维的另外一个作用就是实现数据可视化。对于一个超过三维的高维数据集，很难用图形或者图像化的方式描述这些数据，而通过降维，可以将高维数据转化为二维或者三维，以方便数据可视化的实现。例如，在描述一个国家发展水平方面可以有多项数据作为指标，包括GDP，人均GDP，人均寿命，人均收入，人均消费支出等，将这些指标构成的高维数据及进行可视化是很难实现的。通过降维算法，可以将以上指标化为国家发展指数和国家GDP两个指标，将高维数据集化为二维数据集，如此，对于二维数据集就很容易地实现了可视化操作。如下图所示：
主成分分析算法（PCA算法）
概述
降维实现中，最常用的算法就是主成分分析算法。如下图所示，假设有一个二维数据集需要通过降维算法实现为一维数据集，就像线性回归一样，需要找到一条二维数据集的回归直线，使得二维数据集的每一个点到这条直线的投影距离最小。
推而广之，PCA算法的主要实现思路如下所示：
将维数据降维形成
维数据时: 寻找
维向量
投影这些数据，并且使得投影误差最小。用线性代数解释就是将这些数据集投影到这
个向量展开的线性子空间上。如下图所示，三维数据降为二维向量。
注意，线性回归与PCA之间的区别，以二维数据集为例，线性回归是寻找一条拟合直线，根据输入，对输出做出预测，其点到回归直线的距离表示输入值与输出值之间的差值，这个差值所形成的直线一定与
轴平行，而PCA算法中，点到向量的距离是点与向量之间的正交距离。如下图所示：
PCA算法的主要实现过程如下所示：
- 特征缩放/均值标准化
假设有个数据构成的训练集
，
则定义
则令
通过以上特征缩放，能够将相差较大的特征值调整至相同的变化范围。 - 协方差矩阵(Covariance Matrix)
将维数据降维至
维，计算每个特征的协方差矩阵，具体可由如下公式表示：
- 计算协方差矩阵
的特征向量
协方差矩阵
SVD即是线性代数中的奇异值分解算法。对于方阵表示，其中
表示的是方阵
表示矩阵
称作左奇异值，
称作右奇异值，而
表示奇异值。
- 得到降维后的矩阵
通过以上计算，得到3个的方阵，选取矩阵
，该矩阵是一个
的矩阵，若降维后的矩阵用
表示，则有：
是一个
维的矩阵，而
是一个
的矩阵，最后得到的矩阵
最后，通过以上步骤，实现了使用PCA算法的降维过程。
主成分数量选择
为了尽可能的减小的值，即也就是主成分的数量，应该满足以下计算公式:
其中 表示第
个数据的投影值。
压缩重现
通过PCA算法，可以实现数据降维，降维后的数据也可以通过PCA算法得到的参数映射得到原来的高维数据，如下所示：
以上公式中，若越小，压缩重#
监督学习中使用PCA算法
以上，主要介绍了在无监督学习中是使用PCA算法。但是在实际应用中，有大量的监督学习算法涉及到高维数据，例如，计算机视觉中，经常涉及到图像处理问题。
监督学习中PCA算法的使用如下所示:
假设有数据为，
其中，
以对训练集中的输入变量
再使用PCA算法，得到一组新的数据集,得到降维后的数据
。
最后对新的数据集
运行监督学习算法。
注意：只能对训练集使用PCA算法，而不能对交叉验证集和测试集使用。
