为了深入理解fMRI分析的原理，还是要学习一些微分方程与动力系统的东东，这是我的学习笔记，内容还没有很好的整理。
视频在这里1-Differential Equations and Dynamical Systems Overview_哔哩哔哩_bilibili
课程的原始地址在这里：ME 564 - Mechanical Engineering Analysis (washington.edu)
11. 12. 高阶ODE
此章节将会构造一个高阶的ODE，其模型如图所示：
根据，则可以列出如下方程：
上述公式可以写为两种形式：
【形式1】
【形式2】4阶ODE
所以最终的4阶ODE为：
对于一般形式的高阶ODE方程：
其一般性解法，可以参考之前的做法
因此：
特征方程为
该方程有n个根，分别为，则
的一般解为：
之后，可以利用状态的初始值，来确定的取值。
13. 微分方程的矩阵系统
这节课程的目的是要将前面介绍的高阶线性ODE变为一阶的矩阵形式（由n个耦合变量构成的1阶ODEs）。
为了解决这个问题，需要引入一些新的变量，令
则，
所以：
可以简写为：
可以证明A的特征值就是特征多项式的根
14. 特征值和特征向量
14.1 解耦的微分动力学
首先看一个简单的例子，一个解耦的微分动力学方程（Decoupled Dynamics）的示例：假设在一个足够大的动物园中又若干动物，每个种类的动物都关在自己的笼子里，彼此之间不会发生捕食等动作，在食物充足的情况下，其种群数量的应该满足如下方程：
记为对角线矩阵：
则：
其中，
14.2 一般系统的动力学
对于我们之前使用的更一般的系统
我们需要一个可逆的空间变换，使得新空间的微分方程呈现出对角线形式，即
此时问题变为我们需要寻找的一个可逆矩阵T，使得为一个对角矩阵
，即：
为了解决这个问题，不妨对上式进行一个变换，得到：
的每一列和
的对角线元素分别表示矩阵
的特征向量和特征值。如果不理解的话，我们不妨对其进行简单的展开：
可见
从而证实了我们之前的说法。
15. 特征向量与特征值
15.1 行列式的几何意义
一个矩阵的行列式，表示一个单位方块通过矩阵
进行空间变换，得到的新图形的容量，
如图所示，在二维空间中，单位方框的顶点分别为，通过矩阵
变换后，得到的顶点分别为，则新图形的面积等于
的行列式
因此，在二维空间上，如果一个矩阵的行列式等于0，则相当于它把单位向量映射到了同一个方向上。
对于更高的维度而言，相当于通过矩阵
的变换，单位方块在某个维度上被压缩了
15.2 特征向量
对于矩阵，其特征值和特征向量的计算方法为求解如下方程的根：
16. 求解
通过前面的讲解，我们知道了：
但是的计算方法还不知道，这节课主要就是来解决这个问题：
首先，我们知道
因此，对进行泰勒展开可得：
其中，
则
