高等代数理论基础42：子空间的交与和

子空间的交与和

子空间的交

定理：若 $V_1,V_2$ 是线性空间V的两个子空间,则它们的交 $V_1\cap V_2$ 也是V的子空间

证明：

$0\in V_1,0\in V_2\Rightarrow 0\in V_1\cap V_2$

$\therefore V_1\cap V_2非空$

$若\alpha,\beta\in V_1\cap V_2,即\alpha,\beta\in V_1,且\alpha,\beta\in V_2$

$则\alpha+\beta\in V_1,\alpha+\beta\in V_2$

$\therefore \alpha+\beta\in V_1\cap V_2$

$对数量乘积同理可证$

$\therefore V_1\cap V_2是V的子空间\qquad\mathcal{Q.E.D}$

运算规律

$V_1\cap V_2=V_2\cap V_1$ (交换律)

$(V_1\cap V_2)\cap V_3=V_1\cap (V_2\cap V_3)$ (结合律)

注： $V_1\cap V_2\cap\cdots\cap V_s=\bigcap\limits_{i=1}^s v_i$ 也是子空间

子空间的和

定义：设 $V_1,V_2$ 是线性空间V的子空间,由所有能表成 $\alpha_1+\alpha_2(\alpha_1\in V_1,\alpha_2\in V_2)$ 的向量组成的子集合,称为 $V_1,V_2$ 的和,记作 $V_1+V_2$

定理：若 $V_1,V_2$ 是V的子空间,则它们的和 $V_1+V_2$ 也是V的子空间

证明：

$显然,V_1+V_2非空$

$若\alpha,\beta\in V_1+V_2$

$即\alpha=\alpha_1+\alpha_2,\alpha_1\in V_1,\alpha_2\in V_2$

$\beta=\beta_1+\beta_2,\beta_1\in V_1,\beta_2\in V_2$

$则\alpha+\beta=(\alpha_1+\beta_1)+(\alpha_2+\beta_2)$

$\because V_1,V_2是子空间$

$\therefore \alpha_1+\beta_1\in V_1,\alpha_2+\beta_2\in V_2$

$\therefore \alpha+\beta\in V_1+V_2$

$同理,k\alpha=k\alpha_1+k\alpha_2\in V_1+V_2$

$\therefore V_1+V_2是V的子空间\qquad\mathcal{Q.E.D}$

运算规律

$V_1+V_2=V_2+V_1$ (交换律)

$(V_1+V_2)+V_3=V_1+(V_2+V_3)$ (结合律)

注： $V_1+V_2+\cdots+V_s=\sum\limits_{i=1}^s V_i$ ,是由所有表成 $\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_s,\alpha_i\in V_i(i=1,2,\cdots,s)$ 的向量组成的子空间

子空间的交与和有关结论

1.设 $V_1,V_2,W$ 是子空间,则 $W\subset V_1,W\subset V_2\Rightarrow W\subset V_1\cap V_2$ , $W\supset V_1,W\supset V_2\Rightarrow W\supset V_1+V_2$

2.设 $V_1,V_2$ 是子空间,则 $V_1\subset V_2\Leftrightarrow V_1\cap V_2=V_1\Leftrightarrow V_1+V_2=V_2$

例

1.三维几何空间V中,用 $V_1$ 表示一条通过原点的直线, $V_2$ 表示一张通过原点且与 $V_1$ 垂直的平面,则 $V_1\cap V_2=\{0\}$ , $V_1+V_2=V$

2.线性空间V中, $L(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)+L(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t)=L(\alpha_1,\cdots,\alpha_s,\beta_1,\cdots,\beta_t)$

维数公式

定理：若 $V_1,V_2$ 是线性空间V的两个子空间,则 $维(V_1)+维(V_2)=维(V_1+V_2)+维(V_1\cap V_2)$

证明：

$设V_1,V_2,V_1\cap V_2的维数分别是n_1,n_2,m$

$取V_1\cap V_2的一组基\alpha_1,\cdots,\alpha_m$

$它可扩充成V_1的一组基\alpha_1,\cdots,\alpha_m,\beta_1,\cdots,\beta_{n_1-m}$

$也可扩充成V_2的一组基\alpha_1,\cdots,\alpha_m,\gamma_1,\cdots,\gamma_{n_2-m}$

$下证向量组\alpha_1,\cdots,\alpha_m,\beta_1,\cdots,\beta_{n_1-m},\gamma_1,\cdots,\gamma_{n_2-m}是V_1+V_2的一组基$

$\because V_1=L(\alpha_1,\cdots,\alpha_m,\beta_1,\cdots,\beta_{n_2-m})$

$V_2=L(\alpha_1,\cdots,\alpha_m,\gamma_1,\cdots,\gamma_{n_2-m})$

$\therefore V_1+V_2=L(\alpha_1,\cdots,\alpha_m,\beta_1,\cdots,\beta_{n_1-m},\gamma_1,\cdots,\gamma_{n_2-m})$

$下证向量组\alpha_1,\cdots,\alpha_m,\beta_1,\cdots,\beta_{n_1-m},\gamma_1,\cdots,\gamma_{n_2-m}线性无关$

$若存在如下等式$

$k_1\alpha_1+\cdots+k_m\alpha_m+p_1\beta_1+\cdots+p_{n_1-m}\beta_{n_1-m}+q_1\gamma_1+\cdots+q_{n_2-m}\gamma_{n_2-m}=0$

$令\alpha=k_1\alpha_1+\cdots+k_m\alpha_m+p_1\beta_1+\cdots+p_{n_1-m}\beta_{n_1-m}$

$=-q_1\gamma_1-\cdots-q_{n_2-m}\gamma_{n_2-m}$

$显然,\alpha\in V_1,\alpha\in V_2$

$\therefore \alpha\in V_1\cap V_2,即\alpha可被\alpha_1,\cdots,\alpha_m线性表示$

$令\alpha=l_1\alpha_1+\cdots+l_m\alpha_m$

$则l_1\alpha_1+\cdots+l_m\alpha_m+q_1\gamma_1+\cdots+q_{n_2-m}\gamma_{n_2-m}=0$

$\because \alpha_1,\cdots,\alpha_m,\gamma_1,\cdots,\gamma_{n_2-m}线性无关$

$\therefore l_1=\cdots=l_m=q_1=\cdots=q_{n_2-m}=0$

$\therefore \alpha=0$

$\therefore k_1\alpha_1+\cdots+k_m\alpha_m+p_1\beta_1+\cdots+p_{n_1-m}\beta_{n_1-m}=0$

$\because \alpha_1,\cdots,\alpha_m,\beta_1,\cdots,\beta_{n_1-m}线性无关$

$\therefore k_1=\cdots=k_m=p_1=\cdots=p_{n_1-m}=0$

$\therefore \alpha_1,\cdots,\alpha_m,\beta_1,\cdots,\beta_{n_1-m},\gamma_1,\cdots,\gamma_{n_2-m}线性无关$

$\therefore 它是V_1+V_2的一组基,V_1+V_2的维数为n_1+n_2-m$

$\therefore 维数公式：维(V_1)+维(V_2)=维(V_1+V_2)+维(V_1\cap V_2)成立\qquad\mathcal{Q.E.D}$

注：和的维数常比维数的和小

例：三维几何空间中,两张通过原点的不同平面之和是整个三维空间,维数之和是4,交是一维的直线

推论：若n维线性空间V中两个子空间 $V_1,V_2$ 的维数之和大于n,则 $V_1,V_2$ 必含非零公共向量

证明：

$维(V_1+V_2)+维(V_1\cap V_2)=维(V_1)+维(V_2)\gt n$

$\because V_1+V_2是V的子空间$

$\therefore 维(V_1+V_2)\le n$

$\therefore 维(V_1\cap V_2)\gt 0$

$即V_1\cap V_2中含非零向量\qquad\mathcal{Q.E.D}$

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运算规律

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例

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