算法课

渐进符号介绍
如何求解递归式

渐进符号

大O符号

$f(n)=O(g(n))$ : there are consts $c>0, n_0>0$ such that $0\le f(n)\le c \cdot g(n)$ for all $n\ge n_0$
例子: $2n^2 =O(n^3)$ O()意味着小于或等于

$O(g(n))$ 又可视为函数集 $\{ f(n)|0\le f(n)\le c \cdot g(n)，n>n_0\}$
因此 $2n^2 \in O(n^3)$

More convention(惯例、宏)

Example(后面用Ex替代). $f(n)=n^3+O(n^2)$ 等价于存在 $h(n)\in O(n^3)$ 使得 $f(n)=n^3+h(n)$
Ex. $n^2+O(n)=O(n^2)$ 等号左右两边的式子是不允许掉换的，即不对称的

$\Omega$ 符号

与大O相反, $\Omega$ 确定了下界
$f(n)=\Omega(g(n))$ : there are consts $c>0, n_0>0$ such that $f(n)\ge c \cdot g(n)$ for all $n\ge n_0$
$\Omega(g(n))$ 又可视为函数集 $\{f(n)\ge c \cdot g(n), n>n_0\}$

Ex. $\sqrt{n}=\Omega(lgn)$ 由高中数学可知 $\sqrt{n}$ 处于 $lgn$ 上方

$O:\le \quad \Omega: \ge \quad \Theta: =$

$\Theta(g(n))=O(g(n)) \bigcap \Omega(g(n))$

硬约束

$o: <$ 和 $\omega: >$ 与大写符号存在一个常数c不同，小写符号要求对所有c成立， $n_0$ 要依赖于c

Ex. $2n^2=o(n^3) \quad (n_0=\frac{2}{c})$ 由函数图像可知，当 $n>n_0$ 时，对于所有c， $2n^2 < c\cdot n^3$ 成立

Ex. $\frac{1}{2}n^2=\Theta(n^2)\not=o(n^2)$ 由于没有交点，故找不到对应的 $n_0$

解递归式

具体有三种方法，需要注意的一点是递归问题没有通用的解法

代换法

1.猜答案: 猜形式
2.用归纳验证
3.解得常数

Ex. $T(n)=4T(\frac{n}{2}) + n$ 首先这个问题的答案是 $\Theta(n^2)$ 且 $T(1)=\Theta(1)$
用代换法解该例子

猜 $T(n)=O(n^3)$
设 $T(k)\le ck^3$ for $k < n$ 已经成立
$T(n)=4T(\frac{n}{2})+n\le 4c(\frac{n}{2})^3 +n=cn^3-(\frac{1}{2}cn)$
可以发现当 $\frac{1}{2} cn^3-n\ge 0$ 时成立，即 $c\ge2, n\ge1$

当猜 $T(n)=O(n^2)$ 时，用同样的过程但无法使得 $-n\ge0$ ，可见需要使用其他方法
因此不能简单的用 $ck^2$ , 而是

猜 $T(k)\le c_1k^2-c_2k$ for $k < n$
$T(n) \\= 4T(\frac{n}{2})+n\\=4[c_1(\frac{n}{2})^2-c_2(\frac{n}{2})]+n\\=c_1n^2+(1-2c_2)n\\=c_1n^2-c_2n-(-1+c_2)n$
若要让 $(-1+c_2)n\ge0$ 则 $c_2\ge1$
同时要考虑到base case。 $T(1)\le c_1-c_2$ 因为 $c_2\ge1$ 所以 $c_1$ 要足够大才能 $T(1)=\Theta(1)$

递归树法

由于主要是图的形式，而图暂时还没弄好，故建议这部分看《算法导论》

主方法

特点是只能应用到特定的递归式上，形式如 $T(n)=aT(\frac{n}{b})+f(n)$
其中 $a\ge1$ (意味着至少递归一次), $b>1$ , $f(n)$ 渐进趋正(对于足够大的n, f(n)为正)

通过比较 $f(n)$ 与 $n^{log_b{a}}$ (递归树节点的数量)分为3种情况：
(注：本来直观上树节点的数量应该是 $a^{log_b{n}}$ ，每层增加a倍，总共 $log_b{n}$ 层，利用换底公式变成上面的样子)

-Case1

$f(n)=o(n^{log_b{a} - \epsilon})$ for some $\epsilon > 0$ (多项式小于)
此时 $T(n)=\Theta(n^{log_ba})$

-Case2

$f(n)=o(n^{log_b{a}}lg^kn)$ for some $k \ge 0$
此时 $T(n)=\Theta(n^{log_ba}lg^{k+1}n)$

-Case3

$f(n)=o(n^{log_b{a} + \epsilon})$ for some $\epsilon > 0 \quad \& \quad af(\frac{n}{b}) \le (1-\epsilon')f(n)$ for some $\epsilon' > 0$ (主要保证递归过程中 $f$ 在变小)
此时 $T(n)=\Theta(f(n))$