机器人差速轮运动学模型 (Differential Drive Kinematics)

1. 问题

使用机器人差速模型进行航迹推算，简单来说就是通过左右两轮的轮速 $v_r$ 和 $v_l$ 计算车辆的速度 $v$ 和角速度 $w$

different_model.png

上图中，单位时间内的角度

w = \theta_3/\Delta t

, 另外：

$l$ 为两轮间距；
$v_r$ 和 $v_l$ 为两轮的速度；
$\theta_1 = \theta_2 = \theta_3$ ；
$r$ 为转弯半径。

2. 速度计算

2.1 线速度

车辆线速度 $v$ 可以很容易得到：
$v = \frac{v_r + v_l}{2} \tag{1}$
简单来说，线速度就是两轮线速度的平均值。

2.2 角速度

角速度 $w$ 就是单位时间内的 $\theta_3$
$\theta_3 = \theta_2 = sin(\theta_2) = \frac{d}{ l } = \frac{(v_r - v_l) \cdot \Delta t}{ l }$
那么 $w$ 为：
$w = \frac{\theta_2}{\Delta t} = \frac{v_r - v_l}{l} \tag{2}$
注意，这里是右轮减左轮的里程为，注意符号方向。

2.3 转弯半径

转弯半径 $r$ 为线速度比角速度的值：
$r = \frac{v}{w} = \frac{l\cdot(v_r+v_l)}{2(v_r-v_l)} \tag{3}$
注意，当 $v_r \approx v_l$ 的时候，可能会出现无穷大。

3. 误差分析

在实际应该用过程中，轮子的速度是由轮半径和轮速脉冲数计算而来，轮半径会根据负载的变化而变化。
试想轮速 $v_r$ 和 $v_l$ 实际中都是：
$\begin{aligned} v_r &= \alpha_r \cdot \hat{v}_r \\ v_l &= \alpha_l \cdot \hat{v}_l \\ \end{aligned}$
$\hat{v}$ 为观测值.
那么线速度由于是计算平均值，因此误差车轮尺度的误差被平分了。
角速度是计算两轮的差，因此误差一定程度上被放大了。
造成实际应用过程中，线速度和角速度的误差是不同的。