书名：大宇之形（第一推动丛书·宇宙系列）
作者：丘成桐 史蒂夫·纳迪斯
译者：翁秉仁,赵学信
出版社：湖南科学技术出版社
出版时间：2018-09-01
ISBN：9787535794482

一、蒙日—安培方程

   蒙日—安培方程的名称得自于法国数学家蒙日（Gaspard Monge）以及法国物理学家兼数学家安培（André-Marie Ampère）。蒙日约在法国大革命之时开始研究此类方程，安培则在数十年后继续他的工作。这类方程可是出奇的难。

   要了解蒙日—安培方程，卡拉比建议，或许我们能从现实世界中找到最简单的例子，是一片贴在固定钢圈上的平坦塑料布。假定这片塑料布既没有刻意拉紧，也不会太松，那么当我们推挤这片塑料布时，它所形成的曲面会怎么弯曲或变化呢？如果是在中央处拉开，它会造成正曲率的向上隆起，这种蒙日—安培方程的解是“椭圆”（elliptic）型的。反过来说，如果塑料布的中心向内弯扭，曲面会变成曲率处处为负的鞍形，而其解是“双曲”（hyperbolic）型的。最后，如果曲率处处为零，则其解为“抛物”（parabolic）型。不管哪一种情形，要解的原始蒙日—安培方程都是一样的，但是“必须用完全不同的技巧来解”，卡拉比说道。

   在上述三种微分方程里，我们分析椭圆型的技巧最为完备。椭圆型方程处理较简单的静止状况，物体不随时间或在空间中移动。这类方程用于描述不再随时间变化的物理系统，例如停止振动、回复平衡的鼓等。不仅如此，椭圆型方程的解也是三种里最容易理解的，因为当把它们绘成函数时，看来是光滑的，而且尽管在某些非线性椭圆型方程中会出现奇点，但我们几乎不会碰到棘手的奇点。

   双曲型微分方程描述的是像永远不会达到平衡状态的波与振动。和椭圆型不同，这类方程的解通常有奇点，因此处理起来困难许多。如果是线性的双曲型方程，我们还可以处理得相当好（线性指的是当改变某一变数的值时，另一变数的值会成比例变化），但如果是非线性双曲型方程，我们就没有有效的工具来控制奇点。

  抛物型方程则介于两者之间，描述的是最终会趋于平衡的稳定物理系统，例如振动中的鼓，但因还未到达平衡状态，因此必须考虑时间的变化。与双曲型相比，这类方程较少出现奇点，而且就算有，奇点也会慢慢趋于平滑，因此就处理的困难度而言，也介于椭圆型和双曲型之间。

二、挑战

  然而，数学上的挑战还不仅止于此。虽然最简单的蒙日—安培方程只有两个变数，许多方程则有更多变数。有些方程已超出双曲的程度，有时称为超双曲型；关于这类方程的解，我们所知甚少。诚如卡拉比所说的：“一旦超出了熟悉的三种类型，我们就对方程的解毫无头绪，因为在此并没有物理世界的现象可资援引。”由于这三类方程的难易度有所不同，迄今为止，绝大多数来自几何分析的贡献，都是关于椭圆型和抛物型的情况。当然我们对三类方程都有兴趣，而且双曲型方程还有许多引人入胜的问题，像是完整的爱因斯坦方程。只要还有余裕，数学家当然是非常想要解决的。

  幸运的是，卡拉比猜想的方程属于非线性椭圆型方程。那是因为，虽然它和属于双曲型的爱因斯坦方程有关，但卡拉比猜想根据的是一个稍有不同的几何架构。在此，我们冻结了时间，就好像童话故事《睡美人》的场景，百年之间没有人动弹一样。如此一来，排除掉时间因素后，卡拉比猜想就被置于比较简单的椭圆型类别。基于这个理由，丘成桐觉得几何分析的工具，包括某些前几章提过的方法，或许能够运用于解决这个问题。