转载自http://wanwu.tech/2017/03/15/functions-and-closures/
简书写数学公式比较蛋疼，如果需要查看公式，请查看源文件
Swfit中，函数是一种数据类型，还是一种特殊的闭包。
这一章中，我们学习如何把函数像其他变量或常量一样使用，如何操作闭包。然后通过对闭包的使用，将程序从普遍变为具体，体验这种方法带给你的威力。
基本使用
假设我们要做一个四则运算的小程序，最终的计算使用一个函数来做，那么我们怎么跟这个函数说我们到底使用加法，减法，乘法还是除法呢？
我们可以使用一个变量来标记到底使用哪个方法。因为Swift的函数就是一种数据类型，那么我们完全可以把函数直接传过去。查看下面程序：
func add(_ a: Int, _ b: Int) -> Int {
return a + b
}
func subtract(_ a:Int, _ b: Int) -> Int {
return a - b
}
func calculateWith(function: (Int, Int) -> Int, _ a: Int, _ b: Int) -> Int {
return function(a, b)
}
calculateWith(function: add, 14, 3)
calculateWith(function: subtract, 14, 3)
上面程序中，我们把加法和减法函数传给了最终计算的函数。体验一下这种使用方法。
需要注意两点：
- 函数的类型是什么？
- 怎么把函数作为数据类型来使用？
函数类型是什么
在上述程序后面，添加：
let funcAdd = add
在playground中查看funcAdd数据类型为：(Int, Int) -> Int。
这里，常量名为funcAdd，类型为(Int, Int) -> Int。而且这里add使用的时候，不需要括号。
怎么把函数作为数据类型来使用
尝试使用这个函数数据类型的常量：
funcAdd(4,6)
可以发现，使用方法和使用add完全一样，需要括号和参数。
我们可以这样理解括号的作用：调用函数使其工作。如果没有括号，仅仅是一个常量或者变量而已。
回头看 calculateWith(function:_:_:)
func calculateWith(function: (Int, Int) -> Int, _ a: Int, _ b: Int) -> Int {
return function(a, b)
}
根据上面分析可见，function参数位置其参数类型为(Int, Int) -> Int，是一个函数，此函数需要两个Int参数，返回Int返回值。
练习
补充乘法和除法，并使用。
闭包
闭包（Closure）从名字上看，就是一个闭合的包裹。既然是一个包裹，那么里面当然可以有常量，变量等数据；又因为是闭合的，那么定义在闭包里的常量和变量只在闭包内部有效。不过，闭包可以访问，存储和操作外部的变量和常量，这个过程可以理解为捕获。
那么为什么说函数是一种特殊的闭包呢？简单来说，闭包是没有名字的函数。
基本语法
我们可以这样声明一个闭包：
var iAmClosure: (Int, Int) -> Int
这个闭包iAmClosure接收两个参数，还有一个返回值。看看是不是和上面函数的类型一样。所以简单理解：闭包是没有名字的函数。
那么怎么传递参数呢：
iAmClosure = { (a: Int, b: Int) -> Int in
return a * b
}
注意变量在哪里？在大括号里面，而且其使用方法和函数调用类似。
而且在返回值后面，使用了in关键字，说明其后部分为函数体的代码了。
改写四则运算函数
上面四则运算函数，我们来使用闭包改写，看下效果：
calculateWith(function: { (a, b) -> Int in
return a + b
}, 2, 8)
是不是有点眼晕？没关系，我们仔细看下，就发现其实很简单。
首先看看返回值是多少？是10吧？那么可以猜出，着一定是一个加法运算了吧。
哪里计算了加法呢？看到return a + b了吧。
好了，我们已经大概知道了上面函数的功能，现在来分析一下语法。
我们知道，这个四则运算函数有三个输入参数，第一个是函数或者闭包，后面两个是计算的参数。这里，我们将闭包直接写入到了第一个参数的位置，然后紧跟后两个参数。
这样写起来有些混乱，所以我们尝试这样改写：
func calculateWithClosure(_ a: Int, _ b: Int, function: (Int, Int) -> Int) -> Int {
return function(a, b)
}
calculateWithClosure(4, 6) { (a, b) -> Int in
return a + b
}
我们将闭包放在了函数的最后一个参数的位置。然后使用的时候，圆括号内只包含了两个Int参数，而将整个闭包放在了最后。这样改写之后，整个结构看起来更加直观。
我们可以这样理解闭包的工作：a和b分别是闭包的参数，闭包会返回a + b的值。a和b的值分别是外部函数的参数4和6。
通用的求和函数
在数学中，我们很熟悉这种求和公式：
$$ sum=\sum _{n=0}^{m}f(n) $$
我们几乎本能地知道，这个公式展开是这个样子：
$$ \sum _{n=0}^{m}f(n) = f(0) + f(1) + ... + f(m) $$
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这样，不管\(f(n) = n\)或是\(f(n) = n^{2}\)，还是其他什么，我们都知道怎样使用这个计算公式。这里，我们把求和的对象抽象为了另一个公式\(f(x)\)。
在Swift中，我们也可以做到上述抽象。或许你已经发现，函数或者闭包就可以做到这种抽象。比如我们要求和，但是具体是什么的和？留给函数或者闭包去解决。
func sumFrom(_ from: Int, to: Int, f: (Int) -> Int) -> Int {
var result = 0
for num in from...to {
result += f(num)
}
return result
}
sumFrom(0, to: 5) { (n) -> Int in
return n * n
}
这里，我们使用闭包，抽象了求和的对象，使得我们的求和代码适用性更广泛。在这个过程中，我们通过闭包，使用一个普遍的抽象的函数进行了更加具体的计算。
从普遍到具体
上面的部分，我们初步体验了闭包的能力，尝试了从抽象到具体的一个简单过程。
这部分中，我们将函数和闭包作为参数传递，求解两个数学问题，一个是零点，一个是定点。在数学上，这两个点对所有函数都具有普遍意义，然后用这两个概念，求接具体方程的根。在Swift中，我们同样可以借用这种思想，先写出具有普遍意义的函数，然后使用这些函数，完成具体的任务。
求零点，就是求一个方程的根，应该大家都比较熟悉了。
定点是什么呢？定点满足下列条件：
$$ f(x) = x $$
也就是说，定点肯定也会：
$$ x = f(x) = f(f(x)) = f(f(f(x))) ... $$
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使用二分法求根
第一个普遍意义的问题就是求根。我们使用二分法来求根。
二分法是一种简单粗暴的求解方程\(f(x) = 0 \)的根方法。对一个连续函数\(f(x)\)，如果两个点a和b满足\(f(a) < 0 < f(b) \)，那么\(f(x) \)在a和b之间必然有至少一个零点。
令x是a和b的平均值，计算\(f(x)\)。如果\(f(x) > 0 \)，那么零点必然在a和x之间。反之，如果\(f(x) < 0 \)，那么零点必然在x和b之间。如果我们不停地重复这个步骤，那么\(f(x)\)最终会在一个很小的范围内存在零点。如果我们认为这个范围足够小，那么搜索停止。
我们使用下面方法求解：
func zeroPoint(negative low: Double, positive high: Double, f: (Double) -> Double) -> String {
let fLow = f(low)
let fHigh = f(high)
let average = (low + high) / 2
let midPoint = f(average)
if fLow == 0 {
return "根是\(low)"
}
if fHigh == 0 {
return "the root is \(high)"
}
if (fLow < 0 && fHigh < 0) || (fLow > 0 && fHigh > 0) {
return " ❌ 函数值符号相同，请重试"
}
func isCloseEnough() -> Bool {
if abs(fLow - fHigh) < 0.001 {
return true
} else {
return false
}
}
if isCloseEnough() {
return "根是\(low)"
} else if midPoint > 0 {
return zeroPoint(negative: low, positive: average, f: f)
} else if midPoint < 0 {
return zeroPoint(negative: average, positive: high, f: f)
} else {
return "根是\(midPoint)"
}
}
let root = zeroPoint(negative: 1, positive: 2) { (x) -> Double in
return x * x * x - 2 * x - 3
}
上面的程序没有什么太多新的语法内容。一个需要注意的是isCloseEnough()可以访问外界的常量或变量。
最后返回low还是high无关紧要，因为它们两个已经足够接近。
那么我们考虑下怎么样把它转为循环呢？因为以上递归已经是一个尾递归，所以我们很容易就可以把它变为循环如下：
func zeroPointLoop(negative low: Double, positive high: Double, f: (Double) -> Double) -> String {
var neg = low
var pos = high
var fNeg = f(neg)
var fPos = f(pos)
while abs(fNeg - fPos) > 0.001 {
let average = (neg + pos) / 2
let midPoint = f(average)
if fNeg == 0 {
return "根是\(neg)"
}
if fPos == 0 {
return "the root is \(pos)"
}
if (fNeg < 0 && fPos < 0) || (fNeg > 0 && fPos > 0) {
return " ❌ 函数值符号相同，请重试"
}
if midPoint > 0 {
pos = average
} else if midPoint < 0 {
neg = average
} else {
return "根是\(neg)"
}
fNeg = f(neg)
fPos = f(pos)
}
return "根是\(neg)"
}
let rootLoop = zeroPointLoop(negative: 1, positive: 2) { (x) -> Double in
return x * x * x - 2 * x - 3
}
这里，注意需要在循环体中更新各个变量。
寻找函数定点
另一个普遍意义的问题就是定点。
前面介绍过，定点满足下列条件：
$$ f(x) = x $$
那么，我们可以使用下列性质来求定点：
$$ x = f(x) = f(f(x)) = f(f(f(x))) ... $$
重复下列运算，直到变化不大，即可得到定点：
$$ f(x), f(f(x)), f(f(f(x))), ... $$
写为Swift代码如下：
func fixedPoint(guess: Double, f: (Double) -> Double) -> Double {
func isCloseEnough(_ num1: Double, _ num2: Double) -> Bool {
if abs(num1 - num2) < 0.001 {
return true
} else {
return false
}
}
if isCloseEnough(guess, f(guess)) {
return guess
} else {
return fixedPoint(guess: f(guess), f: f)
}
}
fixedPoint(guess: 1) { (x) -> Double in
return cos(x)
}
因为上述代码已经是尾递归，所以可以轻松变为循环：
func fixedPointLoop(guess: Double, f: (Double) -> Double) -> Double {
var tryNum = guess
func isCloseEnough(_ num1: Double, _ num2: Double) -> Bool {
if abs(num1 - num2) < 0.001 {
return true
} else {
return false
}
}
while !isCloseEnough(tryNum, f(tryNum)) {
tryNum = f(tryNum)
}
return tryNum
}
fixedPointLoop(guess: 1) { (x) -> Double in
return cos(x)
}
满意条件
前面我们使用了isCloseEnough(_:_:)来判断两个点是否足够近，也就是我们是否满意。但是这个函数有一些问题。
考虑极小的数字和极大的数字。
看出问题了吗？对于极小的数字，它们可以轻易地满足足够近的条件。对于极大的数字，它们几乎很难满足条件。那应该怎么办呢？
我们可以从变化率角度考虑。如果变化率足够小，那么我们就认为满意了。
下面把isCloseEnough(_:_:)修改为使用变化率来判断。
func isCloseEnough(_ num1: Double, _ num2: Double) -> Bool {
if abs((num1 - num2) / num1) < 0.001 {
return true
} else {
return false
}
}
求平方根
有了普遍意义的零点和定点知识，我们来看看怎么使用它们来解决具体问题。
前面章节中，我们使用简化的牛顿迭代法求解了平方根。可以看出，这些方法的基本思想都一样，都是重复修正猜测值，直到满足某种条件。
其实，我们也可以把平方根问题转换为定点问题。
观察这个函数：
$$ f(x)=\dfrac {a} {x} $$
$$ f(\sqrt{a})=\dfrac {a} {\sqrt{a}} =
\sqrt{a} $$
说明，\(\sqrt{a}\)就是这个函数的定点。而且注意，这个时候的\(x\)值，就是a的平方跟，所以这个函数的定点，就是我们要求的平方根。
其实，如果换一个方法考虑，如果把这个函数作如下变化：$$ g(x)=f(x) - x=\dfrac {a} {x} - x $$,
原来求定点的问题就转变成了一个求根的问题。详细讨论见后。
下面我们使用Swift来求解这个定点问题，以求得平方根：
func mySqrt(_ num: Double) -> Double {
return fixedPointLoop(guess: 1) { (x) -> Double in
return num / x
}
}
但是，不幸的是，上面这个方法是不收敛的。自己把1代入这个方程，试一试，是不是发现陷入了一个震荡循环中？
怎样能够让这个震荡慢慢趋于平衡呢？我们可以试着给这个震荡加入一点阻力，使其变为一个减幅震荡。因为我们要求的值在\(x\)和\(\dfrac {num} {x}\)之间，所以我们可以将下一个猜测值变为\(\dfrac {1} {2}(x+ \dfrac {num} {x})\)，而不是原先的\(\dfrac {num} {x}\)。这种方法的减幅震荡方法称为阻尼平均。
但是在我们的求定点的函数中，我们这样写的：
func fixedPoint(guess: Double, f: (Double) -> Double) -> Double {
....
if isCloseEnough(guess, f(guess)) {
return guess
} else {
return fixedPoint(guess: f(guess), f: f) // guess变为f(guess)
}
}
func fixedPointLoop(guess: Double, f: (Double) -> Double) -> Double {
var tryNum = guess
....
while !isCloseEnough(tryNum, f(tryNum)) {
tryNum = f(tryNum) // tryNum变为f(tryNum)
}
return tryNum
}
难道需要更改上面的代码吗？如果修改了，下次我们需要其他减幅震荡方法，难道还需要再次改动？显然这样做是不合适的，因为寻找定点的函数是一个有着普遍意义函数，这里不应该有太多针对具体情况的操作。所以我们应该将具体情况，封装在具体的函数中，比如这里的mySqrt(_:)。
我们将mySqrt(_:)变为如下形式：
func mySqrt(_ num: Double) -> Double {
return fixedPointLoop(guess: 1) { (x) -> Double in
return (num / x + x) / 2
}
}
mySqrt(3)
这里，我们把求\( f(x)=\dfrac {a} {x} \)的定点，变为了求\( f(x)=\dfrac {1} {2} (\dfrac {a} {x} + x) \)的定点。
经过计算，这样两个方程的定点相同。
这样修改后，求平方根函数就可以正常运行了。可以发现，这个求平方根的函数和前面介绍过的方法完全一样的，但却是从两个完全不同的方面考虑的。
闭包作为返回值
上面的例子中，我们将闭包和函数作为参数传递，简化了函数，而且增强了函数的表达能力。使用闭包作为返回值，我们可以将函数的表达能力进一步提高。
阻尼平均
上面示例代码中我们使用了阻尼平均的方法，这里，我们可以将这个方法写为一个函数，这个函数返回另一个函数：
func averageDamp(function f: @escaping (Double) -> Double) -> (Double) -> Double{
func average(_ num: Double) -> Double {
return (f(num) + num) / 2
}
return average
}
上面代码增加了
@escaping，这个是Swift的一个闭包语法，不过这里使用@escaping好像是一个bug（Nested functions should allow escaping attributes, be @noescape by default）。
观察上面的函数，average(_:)定义了之后，直接返回，并没有太大必要使用函数，我们可以使用闭包来实现：
func averageDamp(function f: @escaping (Double) -> Double) -> (Double) -> Double{
return { (x) -> Double in
return (f(x) + x) / 2
}
}
上面代码中，闭包接收一个参数，然后取平均值。
使用这个方法，我们改写一下上面求平方根的函数：
func mySqrt2(_ num: Double) -> Double {
return fixedPointLoop(guess: 1, f: averageDamp(function: { (x) -> Double in
return num / x
}))
}
如果闭包中只有一个表达式，那么可以省略return关键字，上面代码可写为：
func mySqrt2(_ num: Double) -> Double {
return fixedPointLoop(guess: 1, f: averageDamp(function: { (x) -> Double in num / x }))
}
mySqrt2(3)
上面代码非常清楚地表达了以下三个思想：定点搜索，阻尼平均和方程\( f(x)=\dfrac {a} {x} \)。与之前的求平方根方法相比，这个方法更加抽象，更加通用，更加具有表达力。因为它说明了我们要做定点搜索（通用的），使用阻尼平均方法（具体手段），对方程\( f(x) \)（具体被计算的对象）进行计算。
练习
使用上面方法，计算立方根。注意立方根是方程\( f(x)=\dfrac {a} {x^{2}} \)的定点。
牛顿迭代法
我们说过，前面求平方根的方法其实是一种简化的牛顿迭代法的一个特例。这里我们简要说下牛顿法求解和定点的关系。
求根
我们要求方程\(f(x) = 0\)的近似解。那么和我们可以考虑使用定点来求解。
我们把上面的方程\(f(x) = 0\)改写为\(x = g(x)\)，即\(f(x) = g(x)-x\)，那么，\(x = g(x)\)的解，也就是\(g(x)\)的定点，也是\(f(x) = 0\)的解。
那么考虑下面这个算法：
$$ x_{n+1}=g(x_{n}), \text{ n=0,1,2,...}$$
如果\(f(x)\)是连续的而且\(x_{n}\)收敛于\(l_{0}\)，那么\(l_{0}\)就是\(g(x)\)的定点，也是\(f(x) = 0\)的解。
注意到牛顿迭代法的公式为：
$$ x_{n+1} = x_{n} - \dfrac {f(x_{n})} {f'(x_{n})} $$
令\(g(x) = x - \dfrac {f(x)} {f'(x)} \)，观察上面方程可见，如果数学上的前提条件成立，那么牛顿迭代法的公式是\(x = g(x)\)的一个特殊形式。
可见，牛顿迭代法是求\(g(x)\)的定点，\(f(x) = 0\)的解。
如果初始猜测值选择合适，牛顿迭代法可以很快收敛。
平方根求解再探
我们说过这个方程\( g(x)=\dfrac {a} {x} \)的定点就是\(f(x)=\sqrt{x}\)的根。我们之前只是证明了这个事实，但是并没有说明如何得到这个事实，下面我们尝试将它推导出来，并且看出阻尼平均就是牛顿迭代法在求平方根的时候的表现形式。
首先，我们来看怎么推导下面方程的根：
$$ f(x)=x^{2} - a $$
即：
$$ x^{2} = a $$
两边同时除以x:
$$ x = \dfrac {a} {x} $$
令\(g(x) = \dfrac {a} {x}\)，那么\(g(x)\)的定点就是\(f(x)\)的根。然后我们就可以使用阻尼平均的方法来求解了。
那么，阻尼平均和牛顿迭代法什么联系呢？我们将\(f(x)=x^{2} - a\)代入\(g(x) = x - \dfrac {f(x)} {f'(x)} \)，可得：
$$ g(x)=\dfrac {1} {2}(x + \dfrac {a} {x}) $$
即我们介绍的阻尼平均的形式。
使用牛顿迭代法
为了使用牛顿迭代法，我们首先要知道怎么计算导数。数学上，导数定义是这样的：
$$ f'(x) = \dfrac {f(x +dx)-g(x)} {dx} $$
其中，dx是一个很小的数。
那么，我们可以把求导写为以下Swift代码：
func deriv(function f:@escaping (Double) -> (Double)) -> (Double) -> Double {
let dx = 0.00001
return { (x) -> Double in
return (f(x + dx) - f(x))/dx
}
}
deriv { (x) -> (Double) in
x * x * x
}(5)
有了求导的能力，那么我们就可以开始使用牛顿迭代法了。观察下面牛顿迭代法：
$$ g(x) = x - \dfrac {f(x)} {f'(x)} $$
我们可以把以上迭代看作是一个函数变换的过程，即\(f(x) -> g(x)\)。我们将上面变换写为Swift函数：
func newtonTranform(function f: @escaping (Double) -> (Double)) -> (Double) -> Double {
return { (x) -> Double in
return x - (f(x) / deriv(function: f)(x)) // 返回g(x)
}
}
那么根据前面分析，牛顿迭代法求解f(x)的根，就是求解 g(x)的定点，写为Swift函数：
func newtonMethod(guess: Double, function f: @escaping (Double) -> Double) -> Double {
return fixedPointLoop(guess: guess, f: newtonTranform(function: f))
}
那么，如果还是求解平方根的话，我们还可以这样写：
func mySqrt3(_ num: Double) -> Double {
return newtonMethod(guess: 1) { (x) -> Double in
x * x - num
}
}
mySqrt3(4)
总结
求解平方根是一个具体的问题，这里我们使用了两种更加普遍的方法对它进行了求解，一个是定点方法，一个是牛顿迭代法。因为牛顿得代法本身和定点法的紧密关系，我们实际上学习了两种求解定点的方法。两个方法都是寻找一个函数的某种变换的定点。
这种普遍的思想写为Swift代码如下：
func fixedPointOfTransform(guess: Double, transform: (@escaping(Double) -> Double) -> (Double) -> Double, function f:@escaping (Double) -> Double) -> Double {
return fixedPointLoop(guess: guess, f: transform(f))
}
上面这个函数中，第一个参数是初始的猜测值，第二个参数是转换公式（也是一个函数），第三个参数是要求定点的函数，最后返回定点值。
如果使用上面函数求解平方根，那么可以这样：
func mySqrt4(_ num: Double) -> Double {
return fixedPointOfTransform(guess: 1, transform: averageDamp, function: { (x) -> Double in
num / x
})
}
mySqrt4(4)
根据前面知识，我们代入合适参数，就可以计算了。上面使用fixedPointOfTransform(guess:transform:function)，初始猜测值为1，使用变换方法为阻尼平均，要求的定点是方程\(num / x\)。
类似的，如果我们想使用牛顿迭代法，那么可以如下操作：
func mySqrt5(_ num: Double) -> Double {
return fixedPointOfTransform(guess: 1, transform: newtonTranform, function: { (x) -> Double in
x * x - num
})
}
mySqrt5(4)
可见，通过使用闭包和函数作为参数和返回值，我们实现了从普遍到具体的变化。作为程序员，我们应该锻炼识别程序中普遍的抽象的内容的能力，然后可以在其上实现更具体的方案，也可以想想我们是否可以继续将这个抽象的内容进一步抽象。
闭包在Swift中是一种数据类型，意味着我们可以像操作其他变量或者常量一样操作它。
