FTS HW4

1.

假设 {Y_t} 是 AR(1) 过程: Y_t=\phi Y_{t-1}+e_t, -1<\phi<1
{W_t = \nabla Y_t = Y_t - Y_{t-1}}
(a) 证明 Var(W_t)=2{\sigma_e}^2/(1+\phi)
(b) 求出这个序列用 \phi 和 {\sigma_e}^2 表示的自相关函数

2.

考虑 AR(1) 模型 Y_t=\phi Y_{t-1} + e_t，证明：若 |\phi|=1，则这个过程不可能平稳。（提示：求两边的方差）

3.

假设 {Y_t} 是 AR(1) 过程: Y_t=\phi Y_{t-1}+e_t, 定义 {b_t} 为 b_t=Y_t-\phi Y_{t+1}
(a) 证明 Cov(b_t,b_{t-k})=0, \forall t,k
(b) 证明 Cov(b_t,Y_{t+k})=0, \forall k>0, \forall t

4.

假设 {Y_t} 是 AR(1) 过程: Y_t=\phi Y_{t-1}+e_t, \phi = 0.5，给定 {e_t} 的前三项，计算前三项 {Y_t} 的值

t e_t Y_t
1 0.99
2 0.49
3 0.55
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