介绍L1和L2
L1和L2正则常被用来解决过拟合问题。而L1正则也常被用来进行特征选择，主要原因在于L1正则化会使得较多的参数为0，从而产生稀疏解。我们可以将0对应的特征遗弃，进而用来选择特征。
角度一（从L1和L2的来源看）
当你想从一个手头的数据集中学习出一套规则时，贝叶斯学派认为仅仅使用这些数据是不够的，还需要加入先验知识。如果你在损失函数中使用了L1正则项，那么其实质就是加入了拉普拉斯先验分布，即认为数据是符合拉普拉斯分布的；如果你使用了L2正则项，那么就是加入了高斯先验分布，即认为数据是符合高斯分布的。一般由于推导和计算方便，会对分布函数取对数，然后再去优化。最终的结果是，由于你的模型参数考虑了数据先验，学习出来的规则就更加接近实际。
我们对高斯分布很熟悉，但是对拉普拉斯分布可能比较陌生，拉普拉斯密度函数的图形和表达式分别如下所示：
我们如果对拉普拉斯密度函数取对数,剩下的是一个一次项|x-u|，这就是L1范式；我们如果对高斯密度函数取对数剩下的就是一个二次项（x-u）^2，这就是L2范式。比较高斯分布的密度函数图像和拉普拉斯分布的密度函数图像，我们很容易看到，当x趋于正无穷和负无穷时，前者是逼近于0的，后者是等于0的。
角度二（从代价函数上看）
但为什么L1正则会产生稀疏解呢？这里利用公式进行解释。
假设只有一个参数为w，损失函数为L(w)，分别加上L1正则项和L2正则项后有：
假设L(w)在0处的倒数为d0，即
则可以推导使用L1正则和L2正则时的导数。
引入L2正则项，在0处的导数
引入L1正则项，在0处的导数
可见，引入L2正则时，代价函数在0处的导数仍是d0，无变化。而引入L1正则后，代价函数在0处的导数有一个突变。从d0+λ到d0−λ，若d0+λ和d0−λ异号，则在0处会是一个极小值点。因此，优化时，很可能优化到该极小值点上，即w=0处。
这里只解释了有一个参数的情况，如果有更多的参数，也是类似的。因此，用L1正则更容易产生稀疏解。
角度三（L1正则化本身的导数性质）
这个角度从权值的更新公式来看权值的收敛结果。
首先来看看L1和L2的梯度(导数的反方向）：
所以(不失一般性，我们假定：wi等于不为0的某个正的浮点数，学习速率η 为0.5)：
L1的权值更新公式为wi = wi - η * 1 = wi - 0.5 * 1，也就是说权值每次更新都固定减少一个特定的值(比如0.5)，那么经过若干次迭代之后，权值就有可能减少到0。
L2的权值更新公式为wi = wi - η * wi = wi - 0.5 * wi，也就是说权值每次都等于上一次的1/2，那么，虽然权值不断变小，但是因为每次都等于上一次的一半，所以很快会收敛到较小的值但不为0。
下面的图很直观的说明了这个变化趋势：
L1能产生等于0的权值，即能够剔除某些特征在模型中的作用（特征选择），即产生稀疏的效果。
L2可以得迅速得到比较小的权值，但是难以收敛到0，所以产生的不是稀疏而是平滑的效果。
角度四（几何空间）
这个角度从几何位置关系来看权值的取值情况。
直接来看下面这张图
高维我们无法想象，简化到2维的情形，如上图所示。其中，左边是L1图示，右边是L2图示，左边的方形线上是L1中w1/w2取值区间，右边得圆形线上是L2中w1/w2的取值区间，绿色的圆圈表示w1/w2取不同值时整个正则化项的值的等高线（凸函数），从等高线和w1/w2取值区间的交点可以看到，L1中两个权值倾向于一个较大另一个为0，L2中两个权值倾向于均为非零的较小数。这也就是L1稀疏，L2平滑的效果。
