局部鞅 local martingale

用Ito积分定义的随机积分 $Z_{t}=\int_{0}^{t} A_{s} d B_{s}$ ，如果 $\int_{0}^{t} \mathbb{E}\left[A_{s}^{2}\right] d s<\infty\tag{1}$ 那么 $Z_t$ 是一个平方可积鞅。如果(1)式不成立， $Z_t$ 就有可能不是一个鞅。

考虑一个策略： $A_t$ 仅在 $t_{0}<t_{1}<t_{2}<\cdots<1$ （其中 $t_{n}=1-2^{-n}$ ）改变。

在开始的时候 $t\in[0, \frac{1}{2}],A_t=1$ ，从而 $Z_{{1}/{2}}=B_{1/2}$ $\mathbb{P}\left\{Z_{1 / 2} \geq 1\right\}=\mathbb{P}\left\{B_{1 / 2} \geq 1\right\}=\mathbb{P}\left\{B_{1} \geq \sqrt{2}\right\}=1-\Phi(\sqrt{2})=: q>0\tag{2}$

如果 $Z_t\geq 1$ ,就令 $A_t=0, t>1/2$ 。如果 $Z_t <1$ ，取 $x=1-Z_{1 / 2}>0$ ，通过 $\mathbb{P}\left\{a\left[B_{3 / 4}-B_{1 / 2}\right] \geq x\right\}=q$ 找出 $a$ ，再让 $A_{t}=a$ 对 $1 / 2 \leq t<3 / 4$ ，容易得到： $\mathbb{P}\left\{Z_{3 / 4}<1\right\}=(1-q)^{2}\tag{3}$