用Ito积分定义的随机积分，如果
那么
是一个平方可积鞅。如果(1)式不成立，
就有可能不是一个鞅。
考虑一个策略：仅在
（其中
）改变。
在开始的时候，从而
如果,就令
。如果
，取
，通过
找出
，再让
对
，容易得到：
继续这样的操作，可以得到：显然，
，这时候，
不是一个鞅！
尽管随机积分的结果可能不是一个鞅，但它“几乎”就是一个鞅了，这就引出了局部鞅（local martingale）定义的初衷：
Definition of local martingale
很多时候，讨论积分最终能被推广到半鞅上。
