I. INTRODUCTION

自组织网络（Self-Organizing Networks, SONs）
基站（Base Stations, BSs）
连续时间Markov链（Continuous Time Markov Chain, CTMC）

软件/硬件故障、多厂商不兼容、SON冲突，
影响网络的覆盖率和可靠度

对蜂窝网络的可靠性行为分析→基站失效率的量化模型→考虑各种故障情况

II. MODEL DEVELOPMENT

相位型分布（phase-type distribution）：指数相位的卷积，无记忆性

从一个状态由于失效和恢复转移到另一个状态的时刻服从指数分布

状态空间S = {1, 2, 3}，X(t)定义基站在t时刻的状态

X(t) = 1，最优状态，所有参数配置为最优值
X(t) = 2，次优状态，几个参数配置错误，性能下降
X(t) = 3，停机状态

故障分类：
（1）一般故障：发生率λ_t，不会造成停机，导致最优状态到次优状态，1→2
（2）关键故障：发生率λ_c，造成完全停机，1→3/2→3

恢复模块采用自协调框架
（1）检测到错误配置时重新配置参数为最优值
（2）重启基站软件或切换至备用硬件板

图1 - 支持自组织网络（SON）的基站（BS）的状态转移图

λ：Poisson过程
μ：指数分布
μ_dc：异常检测、诊断和补偿的时间
μ_c：补偿的时间

λ：arrival rate到达率=指数分布参数
μ：mean value的倒数=指数分布参数

X(t) ：齐次的连续时间Markov链（CTMC）
转移概率只依赖于时间间隔
在转移到另一个状态j之前，在状态i的时间服从指数分布

III. ANALYSIS

A. Transient Analysis（瞬态分析）

绝对分布p_j(t)，初始分布p_i(0)：
$p_{j}(t)=\operatorname{Pr}\{X(t)=j\}, j \in \boldsymbol{S}$

状态概率向量P(t)：
$p(t)=\left[p_{1}(t), p_{2}(t), p_{3}(t)\right]$

生成矩阵Q（转移速率）：
$\boldsymbol{Q}=\left[\begin{array}{ccc}-\lambda_{t}-\lambda c & \lambda_{t} & \lambda_{c} \\ \mu_{d c} & -\mu_{d c}-\lambda_{c} & \lambda_{c} \\ \mu_{c} & 0 & -\mu_{c}\end{array}\right]$

$\begin{aligned} q_{j}(t) &=-\left.\frac{\partial}{\partial t} p_{j j}(v, t)\right|_{v=t} \\ &=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{p_{j j}(t, t)-p_{j j}(t, t+h)}{h}=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1-p_{j j}(t, t+h)}{h} \end{aligned}$

$\begin{aligned} q_{i j}(t) &=\left.\frac{\partial}{\partial t} p_{i j}(v, t)\right|_{v=t} \\ &=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{p_{i j}(t, t)-p_{i j}(t, t+h)}{-h}=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{p_{i j}(t, t+h)}{h} \end{aligned}$

$q_{i i}(t)=-q_{i}(t)$

速率矩阵R：
与生成矩阵的差异在对角线元素
$\boldsymbol{R}=\left[\begin{array}{ccc}0 & \lambda_{t} & \lambda_{c} \\ \mu_{d c} & 0 & \lambda_{c} \\ \mu_{c} & 0 & 0\end{array}\right]$

均匀化（uniformization）：将CTMC简化为服从泊松过程的离散时间马尔可夫链(DTMC)
瞬态概率向量：
$\boldsymbol{P}(t)=\sum_{k=0}^{\infty} e^{-\beta t} \frac{(\beta t)^{k}}{k !} \widehat{\boldsymbol{P}}^{k}{\color{red}{·P(0)}}$
其中：
$\beta \geq \max _{i}\left|q_{i i}\right|$

$\widehat{\boldsymbol{P}}=\mathbf{I}+\boldsymbol{Q} / \beta$

$\epsilon=1-\sum_{k=0}^{M} e^{-\beta t} \frac{(\beta t)^{k}}{k !}$
M足够大，误差越小，计算量太大

Kolmogorov微分方程（向前方程）：
$\frac{d \boldsymbol{P}(t)}{d t}=\boldsymbol{P}(t) \boldsymbol{Q}$

一阶齐次线性微分方程求解，得转移概率矩阵：
${\boldsymbol{P}}(t)={\boldsymbol{P}}(0) e^{{\boldsymbol{Q}} t}$

CK方程：
${\boldsymbol{\pi}}(t) ={\boldsymbol{\pi}}(0) \cdot {\boldsymbol{P}}(t)$ P(t)为转移概率矩阵

$\frac{d \boldsymbol{\pi}(t)}{d t}=\boldsymbol{\pi}(0) \cdot \frac{d \boldsymbol{P}(t)}{d t}=\boldsymbol{\pi}(0) \cdot \boldsymbol{P}(t) \cdot {\boldsymbol{Q}}$

$\frac{d \boldsymbol{\pi}(t)}{d t}=\boldsymbol{\pi}(t) \cdot \boldsymbol{Q}(t)$

微分方程解得： $\boldsymbol{\pi}(t)=\boldsymbol{\pi}(0) \cdot e^{\boldsymbol{Q} t}$

B. Performance Metrics

量化网络的可靠性的性能矩阵

1）Occupancy Time（占用时间）

${\color{red}{L_j(T)}}$ ：[0, T]时间内在状态j停留的时间期望
$\Psi_{i, j}(T)=\int_{0}^{T} p_{i, j}(t) d t {\color{red}{×}}$
$L_{j}(t)=\int_{0}^{t} \pi_{j}(x) {\color{red}{√}}$

2）First Passage Time（首达时间）

$\zeta_{j}=E(T \mid X(0)=i)$ ：从状态i到状态j的首达时间期望
$T=\min \{t \geq 0: X(t)=j\}$

$\boldsymbol{R}=\left[\begin{array}{ccc}0 & \lambda_{t} & \lambda_{c} \\ \mu_{d c} & 0 & \lambda_{c} \\ \mu_{c} & 0 & 0\end{array}\right]$
${\color{red}{r_{i} \zeta_{i t}=1+\Sigma r_{i j} \zeta_{j t}}}$
去掉状态j→j的行（出发状态为j）和列（到达状态为j）
r_i为行和

3）Steady State Distribution（稳态分布）

$\psi_{j}=\lim _{t \rightarrow \infty} \operatorname{Pr}(X(t)=j)$
$\psi_{j} r_{j}=\sum_{i=1}^{N} \psi_{i} r_{i, j}$
$\color{red}{\pi r=\pi R}$
r为行和

$\mathbf{A} \boldsymbol{\psi}=\mathbf{B}$

$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ccc}\lambda_{t}+\lambda_{c} & -\mu_{d c} & -\mu_{c} \\ \lambda_{t} & -\left(\mu_{d c}+\lambda_{c}\right) & 0 \\ \lambda_{c} & \lambda_{c} & -\mu_{c} \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right]\ and\ \mathbf{B}=\left[\begin{array}{c}0 \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right]$

IV. NUMERICAL RESULTS

参数意义：

CaseⅠ：对照组
CaseⅡ：更高的故障率
CaseⅢ：更高效的检测和补偿

需要更高效的自修复SON函数
一般故障率极大地影响网络的可靠性
关键故障率太低，影响不大

V. UTILITY OF THE DEVELOPED MODEL : FAULT PREDICTION FRAMEWORK (FPF)

故障预测框架（Fault Predictive Framework, FPF)

基于过去的故障数据预测故障发生的概率

①根据过往故障数据估计λ和μ参数
②Q和R动态更新，相位型分布的数据拟合
④计算新的首次故障时间、停留时间及平稳分布
⑤预测值与真实值的偏差重新训练模型参数

基站的停机和衰退需要很大的检测开销，运用此模型预测首次次优状态的出现，在时间临近时进行检测和补偿，减少恢复时间

【文献精读】Continuous Time Markov Chain Based Reliability Analysis for Future Cellular Networks