从图形上可知，
P(A|B)= P(A∩B) / P(B) =P(AB) / P(B)
P(B|A) = P(AB) / P(A)）
P(A|B) 表示，B发生的条件下，A发生的概率；即 A与B的交集 占 B 的比例。
P(A∩B) 与 P(AB) 表示同一概念，即A和B的交集。
综合起来即 ：
P(A) * P(B|A) = P(B) * P(A|B) = P(AB)
从图形上可知，
P(A) = P(AB) + P(A∩(S-B)) = P(B) * P(A|B) + P(S-B) * P(A|(S-B))
假设 B1 ∪ B2 ∪ B3 ... Bn = S
则P(A) = P(AB1) + P(AB2) + .... + P（ABn）
=P(B1) * P(A|B1) + ... + P(Bn) * P(A | Bn)
贝叶斯公式例子应用：
一种癌症，得了这个癌症的人被检测出为阳性的几率为90%，未得这种癌症的人被检测出阴性的几率为92%，而人群中得这种癌症的几率为5%，一个人被检测出阳性，问这个人得癌症的几率为多少？
分析过程如下，
假设被检测出阳性为事件A1，未检测出阳性为事件A2， 患这种癌症为事件B1，未患这种癌症为事件B2，
则 P(B1) = 0.05,
P(B2) = 0.95,
P(A1|B1)=0.9,
P(A2|B2) = 0.92
P(A1 | B2) = 1 - P(A2|B2) = 0.08
我们所要求的是，P(B1|A1)
根据贝叶斯公式
P(B1|A1) = P(AB1) / P(A1)
P(A1B1) = P(B1) * P(A1|B1) =0.05*0.9=0.045
P(A1) = P(A1B1) + P(A1B2) = P(B1) * P(A1|B1) + P(B2) * P(A1|B2)
= 0.05*0.9 + 0.95*0.08=0.121
则P(B1|A1) = 0.0045/ 0.121 ≈ 0.037
即一个人被检测出了阳性，但真的患有该癌症的概率只有0.037
P(B2|A2) = P(A2B2) / P(A2) = P(A2 | B2) * P(B2) / P(A2) = 0.92 *0.95/(1-0.121) ≈ 0.9943
即检查结果为阴性时，99.43%的概率是未患该癌症
参考：
https://www.zhihu.com/question/21134457
