二次曲线与对偶二次曲线

二次曲线

二次曲线（conic）又称圆锥曲线，包含3种基础类型：抛物线（parabola）、椭圆（ellipse）、双曲线（hyperbola），而圆（circle）是椭圆的特例。在几何上，二次曲线可以定义为一个平面与两个顶点相对的圆锥的交线，如下图所示：

不同的二次曲线

在上述情况中，平面没有穿过圆锥的顶点。而当平面与圆锥顶点相交时，二次曲线变成一个点或者一条直线或者两条相交直线，它们被称为退化二次曲线（degenerate conic）。

二次曲线的表达式

对于二维点 $(x,y)$ ，任意二次曲线可以用如下等式来描述：
$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 \tag{1}$
在齐次坐标系中，对于二维点 $x=[x_1,x_2,x_3]^T$ ，二次曲线表达式为：
$Ax_1^2 + Bx_1x_2 + Cx_2^2 + Dx_1x_3 + Ex_2x_3 + Fx_3^2 = 0 \tag{2}$
写成矩阵形式为：
$x^TCx=0 \tag{3}$
其中 $C$ 是二次曲线的系数矩阵：
$C=\begin{pmatrix} A & \frac{B}{2} & \frac{D}{2} \\ \frac{B}{2} & C & \frac{E}{2} \\ \frac{D}{2} & \frac{E}{2} & F \\ \end{pmatrix} \tag{4}$

二次曲线的判别式

二次曲线退化的充要条件是其参数矩阵 $C$ 非满秩。对于一个非退化二次曲线，如何判别它是椭圆、抛物线，还是双曲线呢？

考虑无穷远线 $l_\infty=[0,0,1]^T$ 上任意无穷远点 $[x_1,x_2,0]^T$ ，带入式(2)：
$Ax_1^2 + Bx_1x_2 + Cx_2^2 = 0 \tag{5}$
从而解得：
$\dfrac{x_1}{x_2}=\dfrac{-B\pm \sqrt{B^2-4AC}}{2A} \tag{6}$
当 $B^2-4AC>0$ 时，方程(5)有两个不等实根，二次曲线与无穷远线有两个交点，为双曲线；
当 $B^2-4AC=0$ 时，方程(5)有两个相等实根，二次曲线与无穷远线有一个切点，为抛物线；
当 $B^2-4AC<0$ 时，方程(5)有两个共轭虚根，二次曲线与无穷远线没有交点，为椭圆。
因此， $B^2-4AC$ 被称为二次曲线的判别式（discriminant）。