全国2019年10月00023高等数学（工本）真题 开始---------------------------------------------------
2019年10月高等教育自学考试全国统一命题考试
高等数学 (工本)
（课程代码 00023）
注意事项：
1．本试卷分为两部分，第一部分为选择题，第二部分为非选择题。
2．应考者必须按试题顺序在答题卡（纸）指定位置上作答，答在试卷上无效。
3．涂写部分，画图部分必须使用 2 B 铅笔，书写部分必须使用黑色字迹签字笔。
\section*{第一部分 选择题}
一，单项选择题：本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分。在每小题列出的备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其选出。
1．在空间直角坐标系中，点 $(0,0,-2)$ 在
A．$x$ 轴上
B．$y$ 轴上
C．$z$ 轴上
D．$o x y$ 平面上
2．函数 $f(x, y)=\sqrt{x+y}$ 在点 $(0,0)$ 处
A．连续
B．间断
C．偏导数存在
D．可微
3．已知 $\cos x \cos y \mathrm{~d} x-\sin x \sin y \mathrm{~d} y$ 是某个函数 $u(x, y)$ 的全微分，则 $u(x, y)=$
A． $\sin y \cos x$
B． $\sin x \sin y$
C．$-\sin x \cos y$
D． $\sin x \cos y$
4．下列微分方程中，属于一阶线性非齐次微分方程的是
A． $3 y \mathrm{~d} y=(x+y) \mathrm{d} x$
B．$x \mathrm{~d} y=\left(x^{2}+3 y\right) \mathrm{d} x$
C．$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}-x \sin y=19$
D．$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+x y^{2}=9$
5．下列无穷级数中，绝对收敛的无穷级数是
A．$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{3^{n}}$
B．$\sum_{n=1}^{m}(-1)^{n} 2^{n}$
c．$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n}$
D．$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{*} n}{2 n+1}$
\section*{第二部分 非选择题}
二，填空题：本大题共 5 空，每空 2 分，共 10 分。
6．与向量 $\boldsymbol{\alpha}=|\sqrt{2}, 0,-\sqrt{2}|$ 同方向的单位向量是 $\qquad$ .
7．设函数 $f(x+y, x-y)=x^{2}-y^{2}$ ，则 $f(x, y)=$ $\qquad$ $-$
8．设积分区域 $D: x^{2}+y^{2} \leqslant 9$ ，则二重积分 $\iint_{D} f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 在极坐标下的二次积分为
$\qquad$ ．
9．微分方程 $y^{\prime \prime}+(x-1) y^{\prime}+6 y=12$ 的特解 $y^{*}=$ $\qquad$ ．
10．设函数 $f(x)$ 是周期为 $2 \pi$ 的周期函数 $f(x)$ 的傅里叶级数为 $\frac{\pi}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} \sin n x$ ，则 $f(x)$ 的傅里叶系数 $a_{0}=$ $\qquad$ ．
三，计算题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
11．已知平面 $\pi_{1}: x+2 y-z-2=0$ 和平面 $\pi_{2}: 2 x+y+z-19=0$ ，求这两个平面的夹角 $\theta$ ．
12．设函数 $z=\ln \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ ，求 $\frac{\partial z}{\partial y}$ ．
13．设函数 $z=x \sin (x-2 y)$ ，求全微分 $\mathrm{d} z$ ．
14．设方程 $x^{x}=z^{y}$ 确定函数 $z=z(x, y)$ ，求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ ．
15．设函数 $f(x, y, z)=x^{3} y+y^{3} z+x z^{3}$ ，求 $\operatorname{grad} f(1,1,-1)$ ．
16．计算二重积分 $\iint_{D}(1-2 x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中积分区域 $D$ 是由 $y=1-x^{2}$ 和 $x$ 轴所围成的区域．
17．计算对弧长的曲线积分 $\int_{C} \sqrt{1+4 x^{2}} \mathrm{~d} s$ ，其中 $C$ 是 $y=x^{2}(0 \leqslant x \leqslant 1)$ 一段弧．
18．计算对坐标的曲线积分 $\int_{C}\left(6 x y^{2}-y^{3}\right) \mathrm{d} x+\left(6 x^{2} y-3 x y^{2}+1\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $C$ 是由 $(0,0)$ 到 $(1,1)$ 的直线段．
19．求微分方程 $\mathrm{d} y=\frac{x}{y}$ 满足初始条件 $y(0)=1$ 的特解．
口终史利讧 题㖪合条识ر口䚺1言
20．求微分方程 $y^{\prime \prime}-y=0$ 的通解
21．判断无穷级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^{*}}$ 的敛散性．
22．求箱级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n}$ 的和函数．
四，綜合题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
23．求函数 $f(x, y)=x^{2}+2 x y-y^{2}-2 x+6 y-8$ 的极值．
24．求曲面 $x^{2}+2 y^{2}-z^{2}=2$ 在点 $P_{0}(1,-1,1)$ 处的法线方程．
25．用定义证明无穷级数 $\sum_{i=1}^{\infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$ 发散．
\section*{绝密 $\star$ 启用前}
\section*{2019年10月高等教育自学考试全国统—命题考试}
\section*{}
\section*{（课程代码 00023）}
一，单项选择题：本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分。
1．C
2．A
3．D
4．B
5．A
二，填空题：本大题共 5 空，每空 2 分，共 10 分。
6．$\left|\frac{\sqrt{2}}{2}, 0,-\frac{\sqrt{2}}{2}\right|$
7．$x y$
8． $\int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{3} f\left(r^{2}\right) r d r$
9.2
10．$\pi$
三，计算题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
11．解：法向量 $n_{1}=|1,2,-1|, n_{2}=|2,1,1|$
$$
\begin{equation*}
\text { 夹角余弦 } \cos \theta=\frac{\left|n_{1} \cdot n_{2}\right|}{\left|n_{1}\right| \cdot\left|n_{2}\right|}=\frac{1}{2} \tag{3分}
\end{equation*}
$$
所以夹角 $\theta=\frac{\pi}{3}$
12．解：令 $u=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ ，则 $z=\ln u$
$$
\begin{align*}
\frac{\partial z}{\partial y} & =\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} u} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} \tag{2分}\\
& =\frac{1}{u} \cdot \frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \\
& =\frac{y}{x^{2}+y^{2}} \tag{3分}
\end{align*}
$$
13．解：$\frac{\partial z}{\partial x}=\sin (x-2 y)+x \cos (x-2 y)$
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial z}{\partial y}=-2 x \cos (x-2 y) \tag{2分}
\end{equation*}
$$
$$
\begin{equation*}
\text { 所以 } \mathrm{d} z=[\sin (x-2 y)+x \cos (x-2 y)] \mathrm{d} x+[-2 x \cos (x-2 y)] \mathrm{d} y \tag{3分}
\end{equation*}
$$
14．解：令 $F(x, y, z)=x^{4}-z^{2}$ ，则
$$
\begin{equation*}
F_{x}=x x^{x-1}, F_{1}=x^{2} \cdot \ln x-y \cdot z^{y-1} \tag{2分}
\end{equation*}
$$
高等数学（工本）试题答案及评分参考第1页（共3页）
$$
\begin{equation*}
\text { 所以 } \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_{x}}{F_{z}}=-\frac{z x^{x-1}}{x^{z} \cdot \ln x-y \cdot z^{y-1}}=-\frac{\frac{z}{x}}{\ln x-\frac{y}{z}} \tag{3分}
\end{equation*}
$$
15．解：$\frac{\partial f}{\partial x}=3 x^{2} y+z^{3}, \frac{\partial f}{\partial y}=x^{3}+3 y^{2} z, \frac{\partial f}{\partial z}=y^{3}+3 x z^{2}$
有 $\operatorname{grad} f(x, y, z)=\left|3 x^{2} y+z^{3}, x^{3}+3 y^{2} z, y^{3}+3 x z^{2}\right|$
所以 $\operatorname{grad} f(1,1,-1)=|2,-2,4|$
16．解：在直角坐标系中，区域 $D$ 可表示为 $0 \leqslant y \leqslant 1-x^{2},-1 \leqslant x \leqslant 1$ ．
$$
\begin{align*}
& \int_{D}(1-2 x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\int_{-1}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{1-x^{2}}(1-2 x) \mathrm{d} y \tag{3分}\\
= & \int_{-1}^{1}(1-2 x)\left(1-x^{2}\right) \mathrm{d} x=\int_{-1}^{1}\left(2 x^{3}-x^{2}-2 x+1\right) \mathrm{d} x \\
= & \frac{4}{3} \tag{2分}
\end{align*}
$$
17．解： $\mathrm{d} s=\sqrt{1+4 x^{2}} \mathrm{~d} x$
$$
\begin{align*}
\int_{C} \sqrt{1+4 x^{2}} d s & =\int_{0}^{1}\left(1+4 x^{2}\right) d x \tag{3分}\\
& =\frac{7}{3} \tag{2分}
\end{align*}
$$
18．解：$C$ 的方程为 $y=x, x$ 从 0 变到 1 ，
$$
\begin{align*}
& \int_{C}\left(6 x y^{2}-y^{3}\right) \mathrm{d} x+\left(6 x^{2} y-3 x y^{2}+1\right) \mathrm{d} y \\
= & \int_{0}^{1}\left(6 x^{3}-x^{3}\right) \mathrm{d} x+\left(6 x^{3}-3 x^{3}+1\right) \mathrm{d} x \\
= & \int_{0}^{1}\left(8 x^{3}+1\right) \mathrm{d} x \tag{3分}\\
= & 3 \tag{2分}
\end{align*}
$$
19．解：分离变量得方程 $y \mathrm{~d} y=x \mathrm{~d} x$
两边积分 $\int y \mathrm{~d} y=\int x \mathrm{~d} x$ ，解得 $\frac{1}{2} y^{2}=\frac{1}{2} x^{2}+C_{0}$
即 $y^{2}=x^{2}+C\left(C=2 C_{0}\right)$
又 $: \quad y(0)=1, \quad \therefore \quad C=1$
特解为：$y^{2}=x^{2}+1$
20．解：特征方程为 $r^{2}-1=0$ ，特征根 $r_{1}=-1, r_{2}=1$ ．
所以方程通解为 $y=C_{1} e^{-x}+C_{2} \mathrm{e}^{*}$
21．角 $1 u_{c}=\frac{n}{2} \cdot \frac{u_{m+1}}{u_{s}}=\frac{n+1}{2 n}$
71） $\lim _{x+1}^{4}=\frac{1}{2}<1$
设和甬数为 $S(x)$ ，即 $S(x)=\sum_{i=1}^{\infty} \frac{x^{*}}{n}, x \in(-1,1)$
而 $S^{\prime}(x)=\sum_{i=1}^{\infty} x^{-1}=\frac{1}{1-x^{x}},|x|<1$ ．
所以 $S(x)=\int_{0} \frac{1}{1-x} d x=-\ln (1-x) \quad x \in[-1,1)$
四，㕸合厚：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
23．系：令 $\left\{\begin{array}{l}f(x, y)=2 x+2 y-2=0 \\ f_{y}(x, y)=2 x-2 y+6=0\end{array}\right.$
敏得妵点 $(-1,2)$
又因为 $A=f_{m}=2, B=f_{m}=2, C=f_{m}=-2$
且 $B^{B}-A C=8>0$ ，所以 $(-1,2)$ 不是极隹点，读屚数无作值
24．料，令 $F(x, y, z)=x^{2}+2 y^{2}-z^{2}-2$
$$
F_{f}=2 x, F,=4 y, F,=-2 x
$$
在 $P_{8}(1,-1,1)$ 处的時向量为 $n=|2,-4,-2|$
U世绕方根为 $\frac{x-1}{2}=\frac{z+1}{-4}=\frac{z-1}{-2}$
$$
\begin{equation*}
\text { m, } \frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{-2}=\frac{t-1}{-1} \tag{2分}
\end{equation*}
$$
25．進联的 $=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$
\section*{}
$$
\begin{align*}
& S_{4}=(\sqrt{1+1}-\sqrt{1})+(\sqrt{2+1}-\sqrt{2})+\cdots+(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) \\
& =\sqrt{A+1}-1 \tag{3妿}
\end{align*}
$$
全国2019年10月00023高等数学（工本）真题 结束---------------------------------------------------
全国2020年8月00023高等数学（工本）真题 开始---------------------------------------------------
\title{
全国2020年8月高等教育自学考试高等数学（工本）试题课程代码：00023
}
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂，写在答䉓纸上。
\section*{选择题部分}
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的考试课程名称，姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
2．每小题选出答案后，用 $2 B$ 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。
一，单项选择题：本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分。在每小题列出的备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其选出。
1．在空间直角坐标系中，点 $(-2,0,19)$ 在
A．$o x y$ 平面上
B．$o x z$ 平面上
C．$o y z$ 平面上
D．$y$ 轴上
2．函数 $f(x, y)=|x|+|y|$ ，在点 $(0,0)$ 处
A．连续
B．间断
C．偏导数存在
D．可微
3．设 $f(x)$ 具有连续的一阶导数且 $3 x^{2} y^{2} \mathrm{~d} x+y f(x) \mathrm{d} y$ 是某函数 $u(x, y)$ 的全微分，则
A．$f(x)=3 x^{2}$
B．$f(x)=6 x^{2}$
C．$f(x)=2 x^{3}$
D．$f(x)=6 x^{3}$
4．以 $y=C_{1} \mathrm{e}^{x}+C_{2} \mathrm{e}^{2 x}$ 为通解的微分方程是
A．$y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+2 y=0$
B．$y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=0$
C．$y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+2=0$
D．$y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2=0$
5．下列无穷级数中，发散的无穷级数是
A．$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}}$
B．$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2^{n}}$
C．$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$
D．$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$
\section*{非选择题部分}
注意事项：
用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
\section*{二，填空题：本大题共 5 空，每空 2 分，共 10 分。}
6．设向量 $\boldsymbol{\alpha}=\{4,-2,6\}, \boldsymbol{\beta}=\{1,1,-1\}$ ，则 $\boldsymbol{\alpha}+2 \boldsymbol{\beta}=$ $\qquad$ ．
7．极限 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{\sin (x y)}{x}=$ $\qquad$ ．
8．设 $C: x+y=1(0 \leqslant x \leqslant 1)$ ，则对弧长的曲线积分 $\int_{C} \sqrt{2} \mathrm{~d} s=$ $\qquad$ ．
9．微分方程 $y^{\prime \prime}+9 y=18$ 的特解 $y^{*}=$ $\qquad$ ．
10．设函数 $f(x)$ 是周期为 $2 \pi$ 的周期函数，$f(x)$ 的傅里叶级数为 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{(-1)^{n-1}}{n^{2}} \cos n x+\right.$ $\left.\frac{4}{n} \sin n x\right)$ ，则 $f(x)$ 的傅里叶系数 $b_{1}=$ $\qquad$ ．
三，计算题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
11．已知直线 $L$ 过点 $P(-1,-1,2)$ ，并且与平面 $\pi: 2 x-y+z=0$ 垂直，求直线 $L$ 的方程．
12．设函数 $z=\mathrm{e}^{x+y} \sin (x-2 y)$ ，求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ ．
13．设函数 $z=x^{3} y+x y^{3}$ ，求全微分 $\mathrm{d} z$ ．
14．设方程 $x y z-\ln z=0$ 确定函数 $z=z(x, y)$ ，求 $\frac{\partial z}{\partial y}$ ．
15．设函数 $f(x, y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ ，求 $f(x, y)$ 在点 $(1,2)$ 处的梯度 $\operatorname{grad} f(1,2)$ ．
16．计算二重积分 $\iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中积分区域 $D: x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ ．
17．计算三重积分 $\iiint_{\Omega}(x+3 y+3 z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中积分区域 $\Omega: 0 \leqslant x \leqslant 2,-2 \leqslant y \leqslant 2$ ， $-1 \leqslant z \leqslant 1$ ．
18．计算对坐标的曲线积分 $\int_{C}(x-2 y) \mathrm{d} x+(2 x-y) \mathrm{d} y$ ，其中 $C$ 是由点 $(-1,3)$ 沿直线 $2 x+y=1$ 到点 $(0,1)$ 的直线段．
19．求微分方程 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{1+2 x}{1+2 y}$ 满足 $y(0)=1$ 的特解．
20．求微分方程 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+\frac{y}{x}=3 x$ 的通解．
21．判断无穷级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}}{n^{2} \cdot 5^{n}}$ 的敛散性．
22．将函数 $f(x)=\frac{1}{3+x}$ 展开为 $x$ 的幂级数，并写出收敛区间．
四，综合题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
23．求函数 $f(x, y)=7+14 x+32 y-8 x y-2 x^{2}-10 y^{2}$ 的极值．
24．求曲线 $x=t, y=t^{2}, z=t^{3}$ 在 $t=1$ 对应点处的法平面方程．
25．用定义证明无穷级数 $\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)}+\cdots$ 收敛，并且收敛于 1 ．
\section*{绝密 大启用前}
\section*{2020 年 8 月高等教育自学考试全国统一命题考试 \\ 高等数学（工本）试题答案及评分参考}
（课程代码 00023）
一，单项选择题：本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分。
1．B
2．A
3．C
4．B
5．D
二，填空题：本大题共 5 空，每空 2 分，共 10 分。
6．$\{6,0,4\}$
7.0
8． 2
9． 2
10.4
\section*{三，计算题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。}
11．$\because$ 直线 $L$ 与平面 $\pi$ 垂直
$\therefore$ 方向向量 $S=\{2,-1,1\}$
又直线过点 $P(-1,-1,2)$ ，
则直线 $L$ 的方程为 $\frac{x+1}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-2}{1}$
12．$\frac{\partial z}{\partial x}=\mathrm{e}^{x+y} \sin (x-2 y)+\mathrm{e}^{x+y} \cos (x-2 y)$
$$
=\mathrm{e}^{x+y}[\sin (x-2 y)+\cos (x-2 y)]
$$
13．$\frac{\partial z}{\partial x}=3 x^{2} y+y^{3}, \quad \frac{\partial z}{\partial y}=x^{3}+3 x y^{2}$
$\therefore \quad \mathrm{d} z=\frac{\partial z}{\partial x} \mathrm{~d} x+\frac{\partial z}{\partial y} \mathrm{~d} y=\left(3 x^{2} y+y^{3}\right) \mathrm{d} x+\left(x^{3}+3 x y^{2}\right) \mathrm{d} y$
14．设 $F(x, y, z)=x y z-\ln z$ ，则
$$
\begin{gather*}
F_{y}=x z, F_{z}=x y-\frac{1}{z} . \tag{3分}\\
\text { 从而 } \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_{y}}{F_{z}}=-\frac{x z}{x y-\frac{1}{z}}=-\frac{x z^{2}}{x y z-1} \tag{2分}
\end{gather*}
$$
15．$\because \quad \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$
$$
\begin{align*}
\therefore \quad \operatorname{grad} f(1,2) & =\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} i+\left.\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \boldsymbol{j}\right|_{(1,2)} \\
& =\frac{1}{\sqrt{5}} i+\frac{2}{\sqrt{5}} j \tag{3分}
\end{align*}
$$
16．在极坐标系中，$D: 0 \leqslant \rho \leqslant 1,0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi$ ．
$$
\begin{align*}
\iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y & =\int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{1} \rho^{4} \rho \mathrm{~d} \rho \tag{3分}\\
& =\int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{1} \rho^{5} \mathrm{~d} \rho \\
& =2 \pi \cdot \frac{1}{6} \\
& =\frac{\pi}{3} \tag{2分}
\end{align*}
$$
17．积分区域 $\Omega: 0 \leqslant x \leqslant 2,-2 \leqslant y \leqslant 2,-1 \leqslant z \leqslant 1$ 可得：
$$
\begin{align*}
\iiint_{\Omega}(x & +3 y+3 z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z \\
& =\int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{-2}^{2} \mathrm{~d} y \int_{-1}^{1}(x+3 y+3 z) \mathrm{d} z \tag{2分}\\
& =\int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{-2}^{2} 2(x+3 y) \mathrm{d} y \\
& =\int_{0}^{2} 8 x \mathrm{~d} x=16 \tag{3分}
\end{align*}
$$
18．$\because \quad C: y=1-2 x, x$ 从 -1 变到 0 ，
$$
\begin{align*}
& \therefore \quad \int_{C}(x-2 y) \mathrm{d} x+(2 x-y) \mathrm{d} y \\
& \quad=\int_{-1}^{0}[(x-2+4 x)+(2 x-1+2 x) \cdot(-2)] \mathrm{d} x \tag{3分}\\
& \quad=\int_{-1}^{0}(-3 x) \mathrm{d} x \\
& \quad=\frac{3}{2} \tag{2分}
\end{align*}
$$
19．分离变量得 $(1+2 y) \mathrm{d} y=(1+2 x) \mathrm{d} x$
两端积分得 $y+y^{2}=x+x^{2}+C$
代人 $y(0)=1$ 得 $C=2$
则所求特解为 $y+y^{2}=x^{2}+x+2$
20．$P(x)=\frac{1}{x}, Q(x)=3 x$
$$
\begin{align*}
y & =\mathrm{e}^{-\int P(x) \mathrm{d} x}\left(\int Q(x) \mathrm{e}^{\int P(x) \mathrm{d} x} \mathrm{~d} x+C\right) \\
& =\mathrm{e}^{-\int \frac{1}{x} \mathrm{~d} x}\left(\int 3 x \mathrm{e}^{\int \frac{1}{x} \mathrm{~d} x} \mathrm{~d} x+C\right) \tag{2分}\\
& =\frac{1}{x}\left(\int 3 x \cdot x \mathrm{~d} x+C\right) \\
& =\frac{1}{x}\left(x^{3}+C\right) \tag{3分}
\end{align*}
$$
21．$\because \quad \frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{2^{n+1}}{(n+1)^{2} \cdot 5^{n+1}} \cdot \frac{n^{2} \cdot 5^{n}}{2^{n}}=\frac{2 n^{2}}{5(n+1)^{2}}$
$\therefore \quad \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2 n^{2}}{5(n+1)^{2}}=\frac{2}{5}$
又 $\frac{2}{5}<1$ ，由比值审玫法可知所给级数收玫．
22．$\because \frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} x^{n} \quad(-1<x<1)$
$$
\begin{align*}
\therefore \quad \frac{1}{3+x} & =\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1+\frac{x}{3}}=\frac{1}{3} \cdot \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\left(\frac{x}{3}\right)^{n} \\
& =\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{n}}{3^{n+1}} \quad(-3<x<3) \tag{3分}
\end{align*}
$$
四，综合题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
23．由 $\left\{\begin{array}{l}f_{x}(x, y)=14-8 y-4 x=0 \\ f_{y}(x, y)=32-8 x-20 y=0\end{array}\right.$ 可解得 $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{3}{2} \\ y=1\end{array}\right.$
又 $A=f_{x x}\left(\frac{3}{2}, 1\right)=-4, B=f_{x y}\left(\frac{3}{2}, 1\right)=-8, C=f_{y y}\left(\frac{3}{2}, 1\right)=-20$
则 $A C-B^{2}>0$ ，且 $A<0$ ，所以函数在 $\left(\frac{3}{2}, 1\right)$ 处有极大值 $f\left(\frac{3}{2}, 1\right)=\frac{67}{2}$ ．
24．$\because \quad x_{t}^{\prime}=1, y_{t}^{\prime}=2 t, z_{t}^{\prime}=3 t^{2}$
$\therefore t=1$ 时，$T=\{1,2,3\}$
又 $t=1$ 对应点为 $(1,1,1)$ ，则所求法平面方程为
$$
\begin{equation*}
(x-1)+2(y-1)+3(z-1)=0 \tag{2分}
\end{equation*}
$$
即 $x+2 y+3 z=6$
25．$\because \quad u_{n}=\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
$\therefore \quad S_{n}=\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)}$
$=\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$
$$
\begin{equation*}
=1-\frac{1}{n+1} \tag{3分}
\end{equation*}
$$
从而 $\lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)=1$
则由定义可知该级数收敛，且收敛于 1 ．
全国2020年8月00023高等数学（工本）真题 结束---------------------------------------------------
全国2020年10月00023高等数学（工本）真题 开始---------------------------------------------------
\section*{绝密 $\star$ 考试结束前}
\section*{全国2020年10月高等教育自学考试高等数学（工本）试题}
\section*{课程代码：00023}
1．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂，写在答题纸上。
2．答题前，考生务必将自己的考试课程名称，姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
\section*{选择题部分}
注意事项：
每小题选出答案后，用 2 B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。
一，单项选择题：本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分。在每小题列出的备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其选出。
1．在空间直角坐标系中，点 $(2,-1,-9)$ 在
A．第一卦限
B．第四卦限
C．第五卦限
D．第八卦限
2．极限 $\lim _{\substack{x \rightarrow 2 \\ y \rightarrow 0}} \frac{\sin (3 x y)}{y}$
A．等于 2
B．等于 3
C．等于 6
D．不存在
3．已知 $\mathrm{e}^{x-y} \mathrm{~d} x-\mathrm{e}^{x-y} \mathrm{~d} y$ 是某函数 $u(x, y)$ 的全微分，则 $u(x, y)=$
A． $\mathrm{e}^{x-y}$
B．$-\mathrm{e}^{x-y}$
C． $\mathrm{e}^{y-x}$
D．$-\mathrm{e}^{y-x}$
4．方程 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=y$ 的通解为
A．$y=\mathrm{e}^{C_{x}}$
B．$y=C \mathrm{e}^{x}$
C．$y=C+\mathrm{e}^{x}$
D．$y=\mathrm{e}^{c}+\mathrm{e}^{x}$
5．下列无穷级数中，条件收玫的无穷级数是
A．$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}}$
B．$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \cdot 5^{n}}{2^{n}}$
C．$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \cdot n}{n+1}$
D．$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2^{n}}$
\section*{非选择题部分}
\section*{注意事项：}
用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
\section*{二，填空题：本大题共 5 空，每空 2 分，共 10 分。}
6．设向量 $\boldsymbol{\alpha}=\{-1,1,0\}, \boldsymbol{\beta}=\{3,2,-1\}$ ，则 $2 \boldsymbol{\alpha}-\boldsymbol{\beta}=$ $\qquad$ ．
7．已知 $f(x y, x-y)=(x+y)^{2}$ ，则 $f(x, y)=$ $\qquad$ ．
8．设 $C: x+y=4(0 \leqslant x \leqslant 4)$ ，则对弧长的曲线积分 $\int_{C} \sqrt{2}(x+y) \mathrm{d} s=$ $\qquad$ ．
9．微分方程 $y^{\prime}=2 x$ 满足初始条件 $y(0)=0$ 的特解 $y^{*}=$ $\qquad$ ．
10．设函数 $f(x)$ 是周期为 $2 \pi$ 的周期函数，$f(x)$ 的傅里叶级数为 $\frac{1}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} \cdot 2}{n} \sin n x$ ，则 $f(x)$ 的傅里叶系数 $a_{1}=$ $\qquad$ ．
三，计算题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
11．已知平面过点 $P_{1}(1,2,-1), P_{2}(0,-3,1)$ 及 $P_{3}(3,2,0)$ ，求该平面方程．
12．设函数 $z=x^{3}+\arctan \frac{x}{y}$ ，求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ ．
13．设函数 $z=\mathrm{e}^{2 x+y} \cos (x-y)$ ，求全微分 $\mathrm{d} z$ ．
14．设方程 $z^{x}=y^{z}$ ，确定函数 $z=z(x, y)$ ，求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ ．
15．设函数 $f(x, y)=5-x^{2}-y^{2}$ ，求梯度 $\operatorname{grad} f(2,1)$ ．
16．计算二重积分 $\iint_{D} 2 x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中积分区域 $D: x \geqslant 0, y \geqslant 0, x+y \leqslant 1$ ．
17．计算三重积分 $\iint_{\Omega} 6 x^{2} y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中积分区域 $\Omega: 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 2,0 \leqslant z \leqslant 3$ ．
18．计算对坐标的曲线积分 $\int_{C}(x-2 y) \mathrm{d} x$ ，其中 $C$ 为从 $(-1,0)$ 沿 $y=1-x^{2}$ 到 $(1,0)$ 的弧段．
19．求微分方程 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{1+y^{2}}{1+x^{2}}$ 满足初始条件 $y(0)=1$ 的特解．
20．求微分方程 $y^{\prime \prime}+y^{\prime}=0$ 的通解．
21．判断无穷级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n} n!}{n^{n}}$ 的敛散性．
22．将函数 $f(x)=\frac{1}{4+x}$ 展开为 $x$ 的幂级数．
四，综合题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
23．求函数 $f(x, y)=6 y-6 x-x^{2}-y^{2}+3$ 的极值．
24．求曲面 $z=x^{2}+y^{2}$ 在点 $P_{0}(-1,-1,2)$ 处的法线方程．
25．用定义证明无穷级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$ 发散．
\title{
2020 年 10 月高等教育自学考试全国统一命题考试高等数学（工本）试题答案及评分参考
}
\section*{（课程代码 00023）}
一，单项选择题：本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分。
1．D
2．C
3．A
4．B
5．A
二，填空题：本大题共 5 空，每空 2 分，共 10 分。
6．$\{-5,0,1\}$
7． $4 x+y^{2}$
8.32
9．$x^{2}$
10.0
三，计算题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
11．$\because \quad \vec{P}_{1} P_{2}=\{-1,-5,2\},{\overrightarrow{P_{1} P}}_{3}=\{2,0,1\}$
$\therefore \quad n=\overrightarrow{P_{1} P_{2}} \times \overrightarrow{\mathrm{P}_{1} \mathrm{P}_{3}}=\left|\begin{array}{ccc}i & j & k \\ -1 & -5 & 2 \\ 2 & 0 & 1\end{array}\right|=-5 i+5 j+10 k$
则所求平面方程为 $-5(x-3)+5(y-2)+10 z=0$
$$
\begin{equation*}
\text { 即 } x-y-2 z-1=0 \tag{2分}
\end{equation*}
$$
12．$\frac{\partial z}{\partial x}=3 x^{2}+\frac{1}{1+\left(\frac{x}{y}\right)^{2}} \cdot \frac{1}{y}$
$$
\begin{equation*}
=3 x^{2}+\frac{y}{x^{2}+y^{2}} \tag{2分}
\end{equation*}
$$
13．$\because \quad \frac{\partial z}{\partial x}=\mathrm{e}^{2 x+y}[2 \cos (x-y)-\sin (x-y)]$
$$
\begin{align*}
\frac{\partial z}{\partial y} & =\mathrm{e}^{2 x+y}[\cos (x-y)+\sin (x-y)] \tag{2分}\\
\therefore \quad \mathrm{d} z & =\frac{\partial z}{\partial x} \mathrm{~d} x+\frac{\partial z}{\partial y} \mathrm{~d} y \\
& =\mathrm{e}^{2 x+y}[2 \cos (x-y)-\sin (x-y)] \mathrm{d} x+\mathrm{e}^{2 x+y}[\cos (x-y)+\sin (x-y)] \mathrm{d} y \tag{3分}
\end{align*}
$$
14．设 $F(x, y, z)=z^{x}-y^{z}$ ，则
$$
\begin{equation*}
F_{x}=z^{x} \cdot \ln z, F_{z}=x z^{x-1}-y^{z} \cdot \ln y \tag{3分}
\end{equation*}
$$
从而 $\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_{x}}{F_{z}}=\frac{z^{x} \cdot \ln z}{y^{z} \cdot \ln y-x z^{x-1}}$
15．$\because \quad \frac{\partial f}{\partial x}=-2 x, \frac{\partial f}{\partial y}=-2 y$
$\therefore \quad \operatorname{grad} f(2,1)=\frac{\partial f}{\partial x} \boldsymbol{i}+\left.\frac{\partial f}{\partial y} \boldsymbol{j}\right|_{(2,1)}$
$$
\begin{equation*}
=-4 i-2 j \tag{3分}
\end{equation*}
$$
16．由 $D: x \geqslant 0, y \geqslant 0, x+y \leqslant 1$ 可得
$$
\begin{align*}
\iint_{D} 2 x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y & =\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{1-x} 2 x y \mathrm{~d} y \tag{2分}\\
& =\int_{0}^{1}\left[x y^{2}\right]_{0}^{1-x} \mathrm{~d} x \\
& =\int_{0}^{1} x(1-x)^{2} \mathrm{~d} x \\
& =\frac{1}{12} \tag{3分}
\end{align*}
$$
17．由 $\Omega: 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 2,0 \leqslant z \leqslant 3$ ，可得
$$
\begin{align*}
\iiint_{\Omega} 6 x^{2} y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z & =6 \int_{0}^{1} x^{2} \mathrm{~d} x \int_{0}^{2} y \mathrm{~d} y \int_{0}^{3} z \mathrm{~d} z \tag{3分}\\
& =6 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2^{2}}{2} \cdot \frac{3^{2}}{2} \\
& =18 \tag{2分}
\end{align*}
$$
18．$\because \quad C: y=1-x^{2}, x$ 从 -1 到 1
$$
\begin{align*}
\therefore \quad \int_{C}(x-2 y) \mathrm{d} x & =\int_{-1}^{1}\left(x-2+2 x^{2}\right) \mathrm{d} x \tag{3分}\\
& =2 \int_{0}^{1}\left(2 x^{2}-2\right) \mathrm{d} x \\
& =-\frac{8}{3} \tag{2分}
\end{align*}
$$
19．分离变量得 $\frac{\mathrm{d} y}{1+y^{2}}=\frac{\mathrm{d} x}{1+x^{2}}$
两端积分得 $\arctan y=\arctan x+C$
代入 $y(0)=1$ ，则 $C=\frac{\pi}{4}$ ，
从而所求特解为 $\arctan y=\arctan x+\frac{\pi}{4}$ ．
高等数学（ 工本）试题答案及评分参考第2页（共3页）
20．特征方程为 $r^{2}+r=0$
其根为 $r_{1}=-1, r_{2}=0$
则所求通解为 $y=C_{1} \mathrm{e}^{-x}+C_{2}$
21．$\because \quad \frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{2^{n+1}(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^{n}}{2^{n} n!}=\frac{2 n^{n}}{(n+1)^{n}}$
$\therefore \quad \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2 n^{n}}{(n+1)^{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}}=\frac{2}{\mathrm{e}}$
又 $\frac{2}{\mathrm{e}}<1$ ，由比值审敛法可知所给级数收敛．
22．$\because \quad \frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} x^{n} \quad(-1<x<1)$
$\therefore \quad \frac{1}{4+x}=\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1+\frac{x}{4}}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{n}}{4^{n+1}} . \quad(-4<x<4)$
四，综合题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
23．由 $\left\{\begin{array}{l}f_{x}(x, y)=-6-2 x=0 \\ f_{y}(x, y)=6-2 y=0\end{array}\right.$ 可解得 $\left\{\begin{array}{l}x=-3 \\ y=3\end{array}\right.$
又 $f_{x x}(-3,3)=-2, f_{x y}(-3,3)=0, f_{y y}(-3,3)=-2$
则由 $A C-B^{2}>0, A<0$ 可知函数在 $(-3,3)$ 处有极大值 $f(-3,3)=21$ ．
24．设 $F(x, y, z)=z-x^{2}-y^{2}$ ，则
$\boldsymbol{n}=\left\{\boldsymbol{F}_{x}, F_{y}, \boldsymbol{F}_{z}\right\}=\{-2 x,-2 y, 1\}$
代人点 $P_{0},\left.\boldsymbol{n}\right|_{P_{0}}=\{2,2,1\}$
从而所求法线方程为 $\frac{x+1}{2}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1}$
25．$\because \quad u_{n}=\frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$
$\therefore \quad S_{n}=2[(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+\cdots+(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})]$
$$
\begin{equation*}
=2(\sqrt{n+1}-1) \tag{3分}
\end{equation*}
$$
从而 $\lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} 2(\sqrt{n+1}-1)=\infty$
因此所给级数发散．
全国2020年10月00023高等数学（工本）真题 结束---------------------------------------------------
全国2021年4月00023高等数学（工本）真题 开始---------------------------------------------------
\section*{D005•00023（通卡）}
绝密 $\star$ 启用前
\section*{2021年4月高等教育自学考试全国统一命题考试}
高等数学（工本）
（课程代码 00023）
（不允许使用计算器）
注意事项：
1．本试卷分为两部分，第一部分为选择题，第二部分为非选择题。
2．应考者必须按试题顺序在答题卡（纸）指定位置上作答，答在试卷上无效。
3．涂写部分，画图部分必须使用 2 B 铅笔，书写部分必须使用黑色字迹签字笔。
\section*{第一部分 选择题}
一，单项选择题：本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分。在每小题列出的备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其选出。
1．在空间直角坐标系中，点 $(-3,5,9)$ 在
A．第一卦限
B．第二卦限
C．第三卦限
D．第四卦限
2．函数 $f(x, y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 在点 $(0,0)$ 处
A．连续
B．间断
C．偏导数存在
D．可微
3．设 $f(x, y)$ 具有连续的偏导数，且 $f(x, y)(x \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} y)$ 是某函数 $u(x, y)$ 的全微分，则
A．$x \frac{\partial f}{\partial y}=-y \frac{\partial f}{\partial x}$
B．$x \frac{\partial f}{\partial x}=-y \frac{\partial f}{\partial y}$
C．$x \frac{\partial f}{\partial y}=y \frac{\partial f}{\partial x}$
D．$x \frac{\partial f}{\partial x}=y \frac{\partial f}{\partial y}$
4．下列微分方程中，是可分离变量的微分方程为
A．$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\mathrm{e}^{\mathrm{xy}}$
B．$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=2 x y$
C．$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=x^{2}+y^{2}$
D．$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=x \sin (x+y)$
5．帛级数 $1+x+x^{2}+\cdots+x^{n-1}+\cdots \quad(-1<x<1)$ 的和函数 $S(x)$ 为
A．$\frac{x}{1+x}$
B．$\frac{1}{1+x}$
C．$\frac{x}{1-x}$
D．$\frac{1}{1-x}$
\title{
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\section*{第二部分 非选择题}
\section*{二，填空题：本大题共 5 空，每空 2 分，共 10 分。}
6．设向量 $\boldsymbol{\alpha}=\{2,-2,1\}$ ，则向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 的模等于 $\qquad$ $-$
7．极限 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{\sin \left(x^{2}+y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}}=$ $\qquad$ ．
8．设积分区域 $\Omega: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1$ ，则三重积分 $\iint_{\Omega} 3 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=$ $\qquad$ －
9．微分方程 $x^{2} y^{\prime \prime}+\left(1-x^{2}\right) y^{\prime}-y=1$ 的特解 $y^{*}=$ $\qquad$ ．
10．设函数 $f(x)$ 是周期为 $2 \pi$ 的周期函数，$f(x)$ 的傅里叶级数为 $1+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}-4}{n^{2}} \cos n x$ ，则 $f(x)$ 的傅里叶系数 $a_{1}=$ $\qquad$ －
三，计算题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
11．求平面 $\pi: x-2 y-z+4=0$ 和直线 $L: \frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+3}{2}$ 的夹角 $\varphi$ ．
12．设函数 $z=\mathrm{e}^{2 x-y} \cos (x+y)$ ，求 $\frac{\partial z}{\partial y}$ ．
13．设 $z=x^{2} y+x y^{2}$ ，求全微分 $\mathrm{d} z$ ．
14．设方程 $x^{x}+9=z^{y}$ 确定函数 $z=z(x, y)$ ，求 $\frac{\partial z}{\partial y}$ ．
15．设 $f(x, y, z)=\ln \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ ，求 $\operatorname{grad} f(1,-1,1)$ ．
自考历年真题及押题 q 344647
16．计算二重积分 $\iint_{D} \sin \left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中积分区域 $D: x^{2}+y^{2} \leqslant 4$ ．
17．计算对弧长的曲线积分 $\int_{C}\left(x^{2}-y+3\right) \sqrt{1+4 x^{2}} \mathrm{~d} s$ ，其中 $C: y=x^{2}(-1 \leqslant x \leqslant 1)$ 一段弧．
18．计算对坐标的曲线积分 $\int_{C}(x+y) \mathrm{d} x+(x-y) \mathrm{d} y$ ，其中 $C$ 是从点 $(1,0)$ 到点 $(2,0)$ 的直线段．
19．求微分方程 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=x+y$ 的通解．
20．求微分方程 $y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}+6 y=0$ 的通解．
21．判断无穷级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5^{n} \cdot n!}{n^{n}}$ 的敛散性．
22．求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n^{2} \cdot 2^{n+1}}$ 的收敛半径和收敛区间．
四，综合题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
23．求函数 $f(x, y)=64 x+32 y-2 x^{2}+4 x y-4 y^{2}-14$ 的极值点，并说明是极大值点还是极小值点．
24．求曲面 $x^{2}+2 y^{2}+z^{2}=4$ 在点 $P_{0}(1,1,1)$ 处的切平面方程．
25．证明无穷级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}$ 收敛．
\section*{绝密 启用前}
\section*{2021年4月高等教育自学考试全国统一命题考试高等数学（工本）试题答案及评分参考}
（课程代码 00023）
一，单项选择题：本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分。
1．B
2．A
3．C
4．B
5．D
二，填空题：本大题共 5 空，每空 2 分，共 10 分。
6.3
7． 1
$8.4 \pi$
9．-1
10.4
三，计算题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
11．解：$n=\{1,-2,-1\} \quad s=\{1,1,2\}$
$\sin \varphi=\frac{|n \cdot s|}{|n| \cdot|s|}=\frac{1}{2}$
$\therefore \varphi=\frac{\pi}{6}$
12．解：令 $u=2 x-y, v=x+y$ ，则 $z=e^{*} \cdot \cos v$
$$
\begin{align*}
\because \quad \frac{\partial z}{\partial y} & =\frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial y} \tag{2分}\\
\therefore \quad \frac{\partial z}{\partial y} & =e^{x} \cdot \cos v \cdot(-1)+e^{x} \cdot(-\sin v) \cdot 1 \\
& =-\mathrm{e}^{x} \cdot(\cos v+\sin v) \\
& =-\mathrm{e}^{2 x-y} \cdot[\cos (x+y)+\sin (x+y)] \tag{3分}
\end{align*}
$$
13．解：$\frac{\partial z}{\partial x}=2 x y+y^{2} \quad \frac{\partial z}{\partial y}=x^{2}+2 x y$
$\therefore \quad \mathrm{d} z=\left(2 x y+y^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(x^{2}+2 x y\right) \mathrm{d} y$
14．解：令 $F(x, y, z)=x^{z}-z^{y}+9$
$$
\begin{align*}
& F_{y}=-z^{y} \cdot \ln z \quad F_{z}=x^{z} \cdot \ln x-y z^{y-1} \tag{2分}\\
& \therefore \quad \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_{y}}{F_{z}}=\frac{z^{y} \cdot \ln z}{x^{x} \cdot \ln x-y z^{y-1}} \tag{3分}
\end{align*}
$$
15．解：$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \quad \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \quad \frac{\partial f}{d z}=\frac{z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$
$\therefore \quad \operatorname{grad} f(x, y, z)=\frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}(x i+y j+z k)$
$\therefore \quad \operatorname{grad} f(1,-1,1)=\frac{1}{3} i-\frac{1}{3} j+\frac{1}{3} k$
16．解：在极坐标系中，区域 $D$ 可表示为： $0 \leqslant \rho \leqslant 2,0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi$
$$
\begin{align*}
\therefore \iint_{D} \sin \left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y & =\iint_{D} \sin \left(\rho^{2}\right) \cdot \rho \mathrm{d} \rho \mathrm{~d} \theta \tag{2分}\\
& =\int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{2} \sin \left(\rho^{2}\right) \rho \mathrm{d} \rho \\
& =\pi(1-\cos 4) \tag{3分}
\end{align*}
$$
17．解： $\mathrm{d} s=\sqrt{1+4 x^{2}} \mathrm{~d} x$
$$
\begin{align*}
\therefore \quad \int_{c}\left(x^{2}-y+3\right) \sqrt{1+4 x^{2}} \mathrm{~d} s & =\int_{-1}^{1}\left(x^{2}-x^{2}+3\right)\left(1+4 x^{2}\right) \mathrm{d} x \tag{3分}\\
& =6 \int_{0}^{1}\left(1+4 x^{2}\right) \mathrm{d} x \\
& =14 \tag{2分}
\end{align*}
$$
18．解：$C$ 的方程为 $y=0, x$ 从 1 变到 2 ．
$$
\begin{align*}
\therefore \quad \int_{C}(x+y) \mathrm{d} x+(x-y) \mathrm{d} y & =\int_{1}^{2}(x+0) \mathrm{d} x \tag{3分}\\
& =\frac{3}{2} \tag{2分}
\end{align*}
$$
19．解：微分方程可化为 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}-y=x$ ．
所以通解为 $y=\mathrm{e}^{-\int(-1) \mathrm{dd}}\left[\int x \mathrm{e}^{\int(-1) \mathrm{dt}} \mathrm{d} x+C\right]$
$$
\begin{align*}
& =\mathrm{e}^{x}\left[\int x \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x+C\right] \tag{3分}\\
& =\mathrm{e}^{x}\left[-x \mathrm{e}^{-x}-\mathrm{e}^{-x}+C\right] \\
& =C \mathrm{e}^{x}-x-1 \tag{2分}
\end{align*}
$$
20．解：特征方程为 $r^{2}-5 r+6=0$ ，特征根 $r_{1}=2, r_{2}=3$ ．
方程通解为 $y=C_{1} \mathrm{e}^{2 x}+C_{2} \mathrm{e}^{3 x}$
高等数学（工本）试题答案及评分参考第2页（共3页）
21．解：$u_{n}=\frac{5^{n} \cdot n!}{n^{n}} \quad \frac{u_{n+1}}{u_{n}}=5 \cdot\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}$
$\because \quad \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{5}{e}>1$
$\therefore$ 由比值审敛法知，该级数发散．
22．解：$a_{n}=\frac{1}{n^{2} \cdot 2^{n+1}}$
$$
\begin{equation*}
\because \quad \rho=\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^{2}}{2(n+1)^{2}}=\frac{1}{2} \tag{2分}
\end{equation*}
$$
$\therefore$ 收敛半径 $R=2$ ，收敛区间为 $(-2,2)$
四，综合题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
23．解：令 $\left\{\begin{array}{l}f_{x}(x, y)=64-4 x+4 y=0 \\ f_{y}(x, y)=32+4 x-8 y=0\end{array}\right.$
$$
\begin{equation*}
\text { 解得驻点 }(40,24) \tag{2分}
\end{equation*}
$$
又因为 $A=f_{x x}=-4, B=f_{x y}=4, C=f_{y}=-8$
且 $B^{2}-A C=-16<0$ ，所以 $(40,24)$ 是极值点．
又 $A=-4<0$ ，从而 $(40,24)$ 是极大值点．
24．解：令 $F(x, y, z)=x^{2}+2 y^{2}+z^{2}-4$
$$
F_{z}=2 x, F_{y}=4 y, F_{z}=2 z
$$
且在 $P_{0}(1,1,1)$ 处的法向量 $\boldsymbol{n}=\{2,4,2\}$
切平面方程为： $2(x-1)+4(y-1)+2(z-1)=0$
即：$x+2 y+z-4=0$
25．证明：令 $u_{n}=\frac{1}{n}$ ，则交错级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} u_{n}$
满足条件 $(1) u_{n}=\frac{1}{n}>\frac{1}{n+1}=u_{n+1}(n=1,2, \cdots)$
$$
\begin{align*}
& \quad \text { (2) } \lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}=0 \tag{3分}\\
& \therefore \quad \text { 级数 } \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} \text { 收敛. } \tag{2分}
\end{align*}
$$
全国2021年4月00023高等数学（工本）真题 结束---------------------------------------------------
全国2021年10月00023高等数学（工本）真题 开始---------------------------------------------------
\section*{2021年10月高等教育自学考试全国统一命题考试}
\section*{高等数学（工本）}
\section*{课程代码 00023}
\section*{注意事项：}
1．本试卷分为两部分，第一部分为选择题，第二部分为非选择题。
2．应考者必须按试题须序在答题卡（纸）指定位置上作答，答在试卷上无效。
3．涂写部分，画图部分必须使用 2 B 铅笔，书写部分必须使用黑色字迹签字笔。
\section*{第一部分 选择题}
一，单项选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题列出的备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其选出。
1．设向量 $\boldsymbol{\alpha}=\{0,-1,1\}$ ，则向量 $2 \boldsymbol{\alpha}$ 的模为
A． 1
B．$\sqrt{2}$
C． 2
D． $2 \sqrt{2}$
2．设函数 $z=\ln \left(x^{2}+y^{2}\right)$ ，则 $\frac{\partial z}{\partial x}=$
A． $2 x$
B．$\frac{2 x}{x^{2}+y^{2}}$
C．$\frac{2 y}{x^{2}+y^{2}}$
D．$\frac{2 x+2 y}{x^{2}+y^{2}}$
3．下列微分方程中，不是一阶微分方程的是
A．$x^{2} y^{\prime \prime}-x y^{\prime}+y=0$
B．$\left(x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} y=0$
C．$x\left(y^{\prime}\right)^{2}-2 x y^{\prime}+x=0$
D．$y^{\prime}+y=\sin ^{2} x$
4．幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 在 $x=2$ 处发散，则该幂级数在 $x=-3$ 处
A．绝对收敛
B．条件收敛
C．发散
D．敛散性不确定
5．设积分区域 $D:(x-1)^{2}+y^{2} \leqslant 1$ ，则二重积分 $\iint_{D}(3-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$
A． 0
B．$\pi$
C． $2 \pi$
D． $3 \pi$
6．在直线 $L:\left\{\begin{array}{l}x+2 y-z-7=0 \\ 2 x-y-z-7=0\end{array}\right.$ 上的点是
A．$(2,1,-4)$
B．$(1,-2,-3)$
C．$(0,0,-7)$
D．$(0,0,7)$
7．函数 $z=3-x^{2}-y^{2}$ 在点 $(0,0)$ 处
A．取得极大值
B．取得极小值
C．没有取得极值
D．不能确定是否取得极值
8．设积分区域 $\Omega:-1 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1,0 \leqslant z \leqslant 2$ ，则三重积分 $\iint(4+x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=$
A． 14
B． 16
C． 18
D． 20
9．级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}$ 的和为
A．$\frac{1}{4}$
B．$\frac{1}{2}$
C． 1
D． 2
10．设 $C$ 是任意常数，则微分方程 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=2 x y$ 的通解 $y=$
A．$x+C$
B．$\frac{C}{x}$
C．$C \mathrm{e}^{x}$
D．$C \mathrm{e}^{\mathrm{x}^{2}}$
\section*{第二部分 非选择题}
二，计算题：本大题共 10 小题，每小题 6 分，共 60 分。
11．求过点 $M(-1,-2,3)$ 且与平面 $x-2 y-z+5=0$ 平行的平面方程．
12．求过两点 $M_{1}(3,1,-2)$ 和 $M_{2}(1,0,2)$ 的直线方程．
13．求空间曲线 $\Gamma: x=t, y=t, z=t^{2}-3 t$ 在点 $A(1,1,-2)$ 处的切线方程．
14．求函数 $u=x y z$ 在点 $A(2,1,1)$ 处的梯度．
15．设 $z=z(x, y)$ 由方程 $\mathrm{e}^{x}+2 x y-3 y z=0$ 所确定，求 $\frac{\partial z}{\partial y}$ ．
16．计算二重积分 $\iint_{D}(2 x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中积分区域 $D$ 是由 $x+y=2, y=x$ 及 $x$ 轴所围的闭区域．
17．计算对孤长的曲线积分 $I=\int_{L}(x+y) \mathrm{d} s$ ，其中 $L$ 是由点 $A(2,-1)$ 沿直线 $x-2 y-4=0$到点 $B(4,0)$ 的直线段．
18．计算对坐标的曲线积分
$$
I=\oint_{L}\left(1-2 x \sin y+3 x^{2} y^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(2 x y-x^{2} \cos y+x\right) \mathrm{d} y
$$
其中 $L$ 为圆 $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ 的逆时针方向．
19．判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n-1}{5^{n}}$ 的敛散性．
20．求微分方程 $y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=0$ 的通解．
三，综合题：本大题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分。
21．判断级数 $\sum_{x=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} n}{3^{n-1}}$ 是否收敛？若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？
22．计算对坐标的曲面积分 $I=\iint_{\Sigma}\left(1-z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\Sigma$ 是半球面 $z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ 被三个坐标面所截得在第一卦限部分曲面的上侧。
\section*{高等数学（工本）试题答案及评分参考}
\section*{（课程代码 00023）}
一，单项选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。
1．D
2．B
3．A
4．C
5．D
6．C
7．A
8．$B$
9．C
10．D
二，计算题：本大题共 10 小题，每小题 6 分，共 60 分。
11．解：由平面与平面平行，则所求平面的法向量可取为
$$
\begin{equation*}
n=\{1,-2,-1\} \tag{3分}
\end{equation*}
$$
又平面过点 $M(-1,-2,3)$ ，则所求方程为
$$
\begin{equation*}
x-2 y-z=0 \tag{3分}
\end{equation*}
$$
12．解：直线过两点 $M_{1}(3,1,-2)$ 和 $M_{2}(1,0,2)$ ，
则方向向量可取为 $\overrightarrow{M_{1} M_{2}}=\{-2,-1,4\}$ ，
又直线过点 $M_{1}(3,1,-2)$ ，
则所求方程为 $\frac{x-3}{-2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z+2}{4}$
13．解：曲线 $\Gamma$ 上任一点处的切向量为 $S=\{1,1,2 t-3\}$ ，
又点 $A(1,1,-2)$ 对应 $t=1$ ，则该点处 $S=\{1,1,-1\}$ ，
从而所求切线方程为
$$
\begin{equation*}
\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+2}{-1} \tag{2分}
\end{equation*}
$$
14．解：由 $\frac{\partial u}{\partial x}=y z, \frac{\partial u}{\partial y}=x z, \frac{\partial u}{\partial z}=x y$ ，
可得： $\operatorname{grad} u(2,1,1)=\{1,2,2\}$ ．
高等数学（工本）试题答案及评分参考第1页（共3页）
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16．解： $\iint_{D}(2 x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{y}^{2-y}(2 x+y) \mathrm{d} x$
$$
\begin{align*}
& =\left.\int_{0}^{1}\left(x^{2}+x y\right)\right|_{y} ^{2-y} \mathrm{~d} y=\int_{0}^{1}\left(4-2 y-2 y^{2}\right) \mathrm{d} y \\
& =\left.\left(4 y-y^{2}-\frac{2}{3} y^{3}\right)\right|_{0} ^{1}=\frac{7}{3} \tag{3分}
\end{align*}
$$
由格林公式，得：
$I=\oint_{L}\left(1-2 x \sin y+3 x^{2} y^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(2 x y-x^{2} \cos y+x\right) \mathrm{d} y$
$=\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D}\left(2 y+1-6 x^{2} y\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$
$=\iint_{D}\left(2-6 x^{2}\right) y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y+\iint_{D} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$
$=0+\iint_{D} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\pi a^{2}$
19．解：$u_{n}=\frac{n-1}{5^{n}}, \frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{1}{5} \frac{n}{n-1}$
2． $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{1}{5}<1$
$\therefore$ 由比值审玫法知，该级数收敛．
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三，综合题：本大题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分。
21．解：令 $u_{n}=\frac{n}{3^{n-1}}$ ，则交错级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} n}{3^{n-1}}=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} u_{n}$
考虑正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n-1} n}{3^{n-1}}\right|=\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}, \frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{1}{3} \frac{n+1}{n}$
$\because \quad \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{1}{3}<1$
所以正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n-1} n}{3^{n-1}}\right|$ 是收敛的，
从而原级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} n}{3^{n-1}}$ 收玫，且为绝对收玫．
（3 分）
22．解：$\Sigma: z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}(x \geqslant 0, y \geqslant 0)$ ，
$\Sigma$ 在 $o x y$ 平面上的投影为 $D_{x y}: x^{2}+y^{2} \leqslant 1, x \geqslant 0, y \geqslant 0$ ，
$\Sigma$ 的法向量与 $z$ 轴正向的夹角小于 $\frac{\pi}{2}$ ，
得 $I=\iint_{\Sigma}\left(1-z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=+\iint_{D_{g}}\left(1-\left(1-x^{2}-y^{2}\right)\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$
$$
=\iint_{D_{r}}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{1} r^{2} \cdot r \mathrm{~d} r
$$
$=\frac{\pi}{8}$
（3 分）
高等数学（工本）试题答案及评分参考第3页（共3 页）
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