因式分解技巧

学习指南

本文是《奥数小丛书》系列笔记，作用有以下两点：

整理教材框架
加深方法理解

本文对于基本概念的表达并不完善，对于习题的表述也很缺失。

因此如果有兴趣学习，应当自行购买一本教材。

应当指出，学习不应该急功近利。至少在很长的一段时间里，只有踏踏实实完成学习，加深理解、灵活运用才能有所收获、取得成绩。

对于数学科目，尤其应当在充分理解公式和性质的前提下总结解题方法。踏踏实实指的绝不是对基本概念倒背如流，而是对学科框架有总体认识，对学科知识有相互联系，对解题思路有充分整理，在学习中注重辩证法的运用。

0 - 什么是因式分解

把一个整式写成几个整式的乘积，称为因式分解，每一个乘式称为积的因式。

在因式分解中，通常要求各个乘式都是既约多项式，这样的因式称为质因式。

因式分解的方法，我们将逐一介绍。

1 - 提公因式

“一提、二代、三分组”

2 - 应用公式

$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+3b^3$

$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-3b^3$

$a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^2$

$(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)=a^4+a^2b^2+b^4$

在 $n$ 为正整数时
$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1})$

在 $n$ 为正奇数时
$a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-\cdots-ab^{n-2}+b^{n-1})$

3 - 分组分解

graph TD
A[分组] --> B[处理]
B[处理] --> C[再处理] 
F[分组分解基本过程]

平均分配

提公因式

如
$\begin{align*} x^3-2x^2-x+2+x^5-2x^4&= (x^5-2x^4)+(x^3-2x^2)-(x-2)\\ &=(x-2)(x^4+x^2-1)\end{align*}$

瞄准公式

代入公式

如
$\begin{align*} -1-2x-x^2+y^2&=y^2-(x+2x+1)\\ &=y^2-(x+1)^2\\ &=(y+x+1)(y-x-1) \end{align*}$

从零开始

分组不恰当时，应当回到分组前的状况，考虑新的分组。

4 - 拆项与添项

拆开中项

在分组分解时，常常将项数平均分配，当项数不足时，可以考虑拆开中项。

皆大欢喜

拆项的目的无非是在适当分组之后使得每一组都可以“提”或者“代”，因此有时也不一定是拆开中项，可以考虑拆常数项。

无中生有

$\begin{align*} m^4+4n^4&=m^4+4n^4+4m^2n^2-4m^2n^2\\ &=(m^2+2n^2)^2-(2mn)^2\\ &=(m^2+2n^2+2mn)(m^2+2n^2-2mn) \end{align*}$

配成平方

5 - 十字相乘

特别地，当系数和为 $0$
$ax^2+bx+c=(x-1)(ax-c)$

6 - 二元二次式的分解

欲擒故纵

三元齐次

项数不全

能否分解

7 - 综合运用

换元法

主元法

一题多解

展开处理

巧运匠心

添 $x$ 观察十字相乘

8 - 多项式的一次因式

余数定理

$x-c除f(x)时，所得余数为f(c)$

有理根的求法

$有理根 c=\frac{p}{q} 的分子 p 为常数项系数 a_0 的因数，分子q为首项系数a_n因数$

首 $1$ 多项式

此时有 $c=\frac{p}{q}$ 的 $q=1$ ，有理根均为整数根

字母系数

9 - 待定系数法

二次因式分解

既约

10 - 轮换式与对称式

典型方法

基本轮换式

一次齐次

$l(x+y+z)$

二次齐次

$l(x^2+y^2+z^2)+m(xy+yz+zx)$

三次齐次

$l(x^3+y^3+z^3)+m(x^2y+y^2z+z^2x)+n(xy^2+yz^2+zx^2)+kxyz$

齐次与非齐次

齐次

$易知(y-z)^5+(z-x)^5+(x-y)^5在x=y时，原式=0，则有因式(x-y)(y-z)(z-x)\\ \begin{align*} (y-z)^5+(z-x)^5+(x-y)^5&=(x-y)(y-z)(z-x)[l(x^2+y^2+z^2)+m(xy+yz+zx)]\\ &=(x-y)(y-z)(z-x)[5(x^2+y^2+z^2)-5(xy+yz+zx)] \end{align*}$

互换时变号

$若互换时有f(x)=-f(y)，换元记-y为z$

非齐次

将非齐次轮换式表示为齐次轮换式之和或差。

$a^3+b^3+c^3-3abc$

$\begin{align*} a^3+b^3+c^3-3abc&=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\\&=\frac{1}{2}(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]\end{align*}$

焉用牛刀

整除问题

原来是 $0$

四元多项式

11 - 实数集与有理数集内的分解

求根公式

$x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$

代数基本定理

$在复数集内,每一个 x 的(不是常数的)多项式至少有一个根 \\ 对于f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}+x^{n-2}+\cdots +a_1x+a_0,必有复数c使f(x)=0$

复数 ? $a+bi$

虚数 ? $b\neq0$

共轭复数 ? $a+bi$ 和 $a-bi$

$若x_1=a+bi,x_2=a-bi,有:\\ (x-x_1)(x-x_2)=x-2ax+(a^2+b^2)为实系数多项式$
因此,实系数多项式的虚根两两共轭

单位根

多项式 $x^n-1$ 的根称为 n 次单位根
$一般地,在复数集内有n个n次单位根,他们是:\\ cos\frac{2k\pi}{n}+i\sin\frac{2k\pi}{n} \space(k=1,2,3,\cdots,n)\\ 其中,cos\frac{2n\pi}{n}+i\sin\frac{2n\pi}{n}=1$