通信原理的那些定理

前言

这些定理是参照《通信原理》（北京邮电大学出版，周炯槃）一书整理的。

奈奎斯特采样定理

若频带宽度有限的，要从抽样信号中无失真地恢复原信号，抽样频率应大于2倍信号最高频率。适用于时间连续信号（模拟信号）
设抽样信号的最高频率是f_H，奈奎斯特采样速率为R_s=2f_H
采样速率低于R_s，信号的频谱会有混杂
采样速率高于R_s，信号的频谱无混杂

无码间干扰基带传输的奈奎斯特准则

数字基带传输系统简略图

基带传输系统的合成冲激响应
x(t)=g1(t)*c(t)*g2(t)
[*为卷积符号]，傅里叶变换为
X(f)
，
T_s
是M进制符号的周期。无码间干扰基带传输的奈奎斯特准则可表述为如下：

x(nT_s)=\left\{ \begin{aligned} 1 &&n=0\\ 0 & &else \end{aligned} \right.
\sum_{m=-\infty}^{\infty}X(f+\frac{m}{T_s} )=T_s

区分：奈奎斯特第一准则（奈氏准则）

在理想低通信道下的最高码元传输速率=2W (Baud)
W是理想低通信道的带宽，单位为赫兹
Baud是波特，即码元传输速率的单位，1波特为每秒传送1个码元

无失真离散信源编码定理

不仅使传送的编码序列的信息速率尽量小，还要从该编码序列无失真地恢复出原信源的输出符号，即能正确进行反变换或译码，称此信源为无失真离散信源编码。

设输入符号序列x=(x_1...x_L)，共有L位，每一位有n种，共有n^L种消息序列；输出S=(S_1...S_K)
x=(x_1...x_L)\rightarrow S=(S_1...S_K)

  • 典型香农第一等长编码定理: \forall \varepsilon >0 ,\delta>0 , 只要\frac{K}{L}logm\geq H(x)+\varepsilon，当L足够大时，必使译码差错<\delta
  • 典型香农第一变长编码定理：当L足够大时，必存在一种编码方式，使编码器的输出符号最小信息率R(bit/symbol)略大于H(X)，可几乎做到近似无失真。R=\frac{\bar{K}}{L}log(m)\geq H(x)
  • 单消息信源的最佳变长编码：哈夫曼编码

香农信道编码定理

对任意给定的信道，设其容量为C，则一定存在一种信道编码，当其传输速率低于C时，收端译码后的差错率可以做到无穷小；反之，若传输速率大于C，任何编码都不可能做到差错率很小

  • 香农公式 C=B\log_{2}(1+\frac{S}{\sigma^2})   (bit/s)
    发送信号功率为S，带宽为B，噪声功率为\sigma^2=N_0B
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