学习“梯形的面积计算”时，教材98页编排有这样一道习题:“我们经常见到圆木、钢管等堆成像下图的形状，请计算图中圆木的总根数。”（如图1）

教学中，我让学生先自主尝试解答，之后组织全班交流。

从学生的角度看，这道题是安排在学习梯形面积之后的练习中，学生受思维定势的影响很容易想到梯形面积，而且这样计算的结果用计数法验证也是正确的。因此，班里大多数学生都认为，这堆圆木的“横截面像个梯形”，“上层根数相当于梯形的上底，下层根数相当于梯形的下底，层数相当于梯形的高”，而“梯形面积=（上底+下底）×高÷2”，所以，“圆木的总根数=（顶层根数+底层根数）×层数÷2”。甚至，还十分肯定地说：“求圆木总根数，就是应用梯形面积计算公式。”

我鼓励其他学生提出质疑：对于这种方法，你有什么疑问吗？

生：我有疑问，这道题目的要求是求圆木的总根数，而不是求那个“横截面”的面积，为什么能用梯形面积公式去计算呢？是什么道理？

师：谁能解答他的疑问？

生：因为这个梯形的面里摆满了圆木，所以求梯形面积其实就是求圆木的根数。

生：可是，如果仔细看，这个截面并不是一个标准的梯形啊，它的边线不是直的线段，而是一些弯的弧线。另外，圆木并没有填满整个梯形的“面”，圆木之间有空隙呀！

生：还有，为什么要把这堆圆木的层数看成梯形的“高”，而不把它看作梯形的“腰”呢？它看起来不是更像“腰”吗？

生：如果把“层数”看作“腰”，就跟求梯形面积的公式没关系了，这怎么能说“求圆木总根数,是应用梯形面积计算公式”呢？

几个同学的质疑让全班同学陷入了沉思，大家面面相觑，用期待的眼光盼着老师来指点迷津。

我说：除了用梯形面积公式计算圆木根数之外，刚才我还看到有同学这样列式，2+3+4+5+6+7+8，可以吗？（可以）怎样求它们的和呢？有巧算的办法吗？

生：可以用2+8=10，3+7=10，4+6=10，再用10×3+5=35（根）。

师：真好！如果把这一列数字倒着写过来，写成一列新数：8+7+6+5+4+3+2，也是7个数。再把两列共14个数相加，用（2+8）×7=70，也就是用（最上层根数+最下层根数）×层数，就算出了两列数字的和，再除以2就是一列数字的和了，70÷2=35。想一想，这种算法跟梯形面积的计算方法有联系吗？

生：哦，我明白啦！我们在研究梯形面积的计算方法时，是用两个完全一样的梯形拼成了一个平行四边形，用转化的方法来计算梯形的面积，如果再有同样的一堆木头，如果能倒放在旁边，也就能组成了一个平行四边形，这样每层的根数就一样多了，每层的根数就是2+8=10根，用10×7=70（根）就算出了两堆这样的木头的数量，然后除以2就是一堆的数量了。

全班同学对该生报以热烈掌声！

我说：如果在这堆木头再填上一层，最上层1根，这堆木头就堆成了什么形状了？

      生：三角形。

 出示图2：

 我说：堆成了三角形，又该怎样求这堆木头的根数呢？是用三角形面积公式吗？试一试。

生尝试列式，全班交流。

生：用三角形面积公式计算，8×8÷2=32（根）

我说：想一想，圆木的根数会是32根吗？

生：不可能！刚才还有35根呢，现在添上1根，怎么会是32根呢？

我说：看来，计算圆木根数，不能简单地理解成圆木堆成什么形状，就用那种形状的面积计算公式求圆木的根数。还有不同的想法吗？

生：（1+8）×8÷2=36（根）我想象有一堆完全一样的三角形圆木倒着放在旁边，就拼成了一个平行四边形。每层都是（1+8）根，共有8层，（1+8）×8就算出两个木堆的根数，再“÷2”就是一堆圆木的根数了。

看来，学生已经不再把这个计算方法看作梯形的面积公式了。他们在计算木头的根数没有死死盯住一个式子的表象，他们的脑子里是有具体的“形”的。

我说：现在我们明白了，求圆木总根数的计算公式可以写成：总根数=（顶层根数＋底层根数）×层数÷2,表面上看,它确实很像梯形面积计算公式：梯形面积=（上底+下底）×高÷2。但实质上并不是。其实，这道题是求等差数列2、3、4、5、…8的和的问题，计算公式应是：和=（首项+末项）×项数÷2，到了中学同学们就会学到这个知识了。

……

  学生惊奇地发现，这个算式就是自然数（即等差数列）的求和公式。在上述利用几何模型（梯形面积）得出自然数（等差数列）求和公式的过程中，不就自然渗透了几何直观的思想方法吗？

可见，“吃透”教材，弄清楚：数学内容的本质是什么？具体知识内容的来龙去脉是什么？……才能更好地开发与落实数学内容的教育价值。