透视投影

前言：图形学第四弹，透视投影！来吧，我们开始

先上图

原图

经过透视投影后的图

之前我们都是直接将图片投影到 $z=0$ 的平面上，没有用透视投影的方法。其实不难，来，让我们开始吧。

一图解决所有问题

在之前的博客中，我们直接用的是 $(x, y)$ ，代替投影以后的图。学习透视投影之后，我们将计算新的 $(x^1, y^1)$

如图由相似三角形可得

$x^1 = \frac{x}{1-\frac{z}{c}}$
$y^1 = \frac{y}{1-\frac{z}{c}}$
$z^1 = 0$

c 是相机的位置。也就是说，我们用透视投影，新的 $(x^1, y^1)$ 来代替直接投影。

实现

引入线性变换（Linear transformations）

有线性代数的基础的同学可以跳过

基础线性变化

公式

比如

实现这样的变化，红绿线是数轴

旋转

公式

:）

比如

引入齐次坐标（Homogeneous coordinates）

这一点可能很多人不知道，建议看看，有助于完成后面的代码

啥是齐次坐标

所谓齐次坐标就是将一个原本是 n 维的向量用一个 n+1 维向量来表示。比如二维 [1, 2] 可表示为三维 [1, 2, 1]，也可表示为 [2, 4, 2]也就是说将前面两个数除以后面那个数就可以得到二维平面的坐标。

注意！

如果最后一个数字不为 0 。那么表示点
如果最后一个数字为 0 。那么表示向量

为啥要用「齐次坐标」

齐次坐标的作用有很多，我也没搞透。只能举出一个应用于本次学习的例子。

齐次坐标应用在计算机图形中，可以用来计算投影。

记得我们在一开始提出的 $(x_1, y_1)$ 吗？它其实是 $(\frac{x}{1-z/c}, \frac{y}{1-z/c})$ 而且，在我们的模型中，他其实是还有 z 的值。这个 z 值有关于我们之前 3d 到 2d 的转换。

通过齐次坐标，我们可以用 $[x, y, z, 1-z/c]$ 表示我们新的坐标

代码

GitHub

最后实现渲染器的代码

运行

$ g++ tgaimage.cpp model.cpp geometry.cpp main.cpp -o main

参考

这是大神

先上图