Beta分布\Gamma函数

链接：
Beta函数：https://www.bilibili.com/video/BV1a54y1z7a8?
Gamma函数：

  1. https://www.bilibili.com/video/BV1jJ411W7Qq?from=search&seid=6782305633691981421&spm_id_from=333.337.0.0
  2. https://www.bilibili.com/video/BV1Nt411Q7wr/?spm_id_from=333.788.recommend_more_video.3
    3.https://www.youtube.com/watch?v=sdYdnpYn-1o

from=search&seid=15033557643509996442&spm_id_from=333.337.0.0

Beta函数密度

B(a,b) = \int_{0}^{1}x^{a-1}(1-x)^{b-1}dx

Beta性质：

B(a,b) = B(b,a)
B(a,b)= \frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}

Beta分布B(a,b)

p(x) = \begin{cases}\frac{1}{B(a,b)}x^{a-1}(1-x)^{b-1},0<x<1\\0, \quad \quad \quad else\end{cases}

=\begin{cases}\frac{\Gamma(a+b)}{ \Gamma(a)\Gamma(b)}x^{a-1}(1-x)^{b-1},0<x<1\\0, \quad \quad \quad else\end{cases}

推导

\int p(x)dx = \int^1_0 \frac{1}{B(a,b)}x^{a-1}(1-x)^{b-1}dx

=\frac{B(a,b)}{B(a,b)} =1

平均值

Ex = \int^1_0xp(x)dx
= \int^1_0x\frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)}x^{a-1}(1-x)^{b-1}
= \frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)}\int^1_0x^a(1-x)^{b-1}dx
=\frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)}\frac{\Gamma(a+1)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b+1)}

最后编辑于 ：
©著作权归作者所有,转载或内容合作请联系作者
平台声明：文章内容（如有图片或视频亦包括在内）由作者上传并发布，文章内容仅代表作者本人观点，简书系信息发布平台，仅提供信息存储服务。

推荐阅读更多精彩内容

  • 概率的概率分布 Beta-分布（2）
    1. Beta分布的数学期望和方差为： 2. 共轭先验 2.1定义 共轭先验是指的在贝叶斯学派中，如果先验分布和后...
    生信编程日常阅读 5,028评论 0赞 3
  • Beta分布
    Beta分布 用一句话来说，beta分布可以看作一个概率的概率分布，当你不知道一个东西的具体概率是多少时，它可以给...
    岁月淡如水阅读 4,968评论 0赞 4
  • Beta 分布
    今天google到 Aerin Kim 对beta分布进行解释、推导的一篇文章，之前被beta分布复杂的概率密度函...
    汉江岳阅读 428评论 0赞 0
  • 机器学习笔记
    以西瓜书为主线，以其他书籍作为参考进行补充，例如《统计学习方法》，《PRML》等 第一章 绪论 1.2 基本术语 ...
    danielAck阅读 4,670评论 0赞 6
  • 统计学入门级：常见概率分布+python绘制分布图
    基本概念 离散型随机变量 如果随机变量X的所有取值都可以逐个列举出来，则称X为离散型随机变量。相应的概率分布有二项...
    诺馨阅读 11,446评论 0赞 0