Beta分布\Gamma函数

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Gamma函数：

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Beta函数密度

B(a,b) = $\int_{0}^{1}x^{a-1}(1-x)^{b-1}dx$

Beta性质：

B(a,b) = B(b,a)
B(a,b)= $\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}$

Beta分布B(a,b)

p(x) = $\begin{cases}\frac{1}{B(a,b)}x^{a-1}(1-x)^{b-1},0<x<1\\0, \quad \quad \quad else\end{cases}$

= $\begin{cases}\frac{\Gamma(a+b)}{ \Gamma(a)\Gamma(b)}x^{a-1}(1-x)^{b-1},0<x<1\\0, \quad \quad \quad else\end{cases}$

推导

$\int p(x)dx$ = $\int^1_0 \frac{1}{B(a,b)}x^{a-1}(1-x)^{b-1}dx$

= $\frac{B(a,b)}{B(a,b)}$ =1

平均值

Ex = $\int^1_0xp(x)dx$
= $\int^1_0x\frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)}x^{a-1}(1-x)^{b-1}$
= $\frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)}\int^1_0x^a(1-x)^{b-1}dx$
= $\frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)}\frac{\Gamma(a+1)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b+1)}$

最后编辑于：2022.01.29 19:43:14

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Beta分布B(a,b)

推导

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