第三章 线性系统的时域分析法

时域分析法是一种直接在时间域中对系统进行分析的方法，具有直观、准确的优点，并且可以提取系统时间响应的全部信息。

3.1 系统的时域性能指标

在一般情况下，控制系统的外加输入信号具有随机性而无法预测，因此需要选择若干典型输入信号。

3.1.1典型输入信号

典型输入信号是指根据系统常遇到的输入信号的形式，在数学描述上加以理想化的一些基本输入函数

名称 时域表达式 复数域表达式
单位阶跃函数 \varepsilon(t) \frac{1}{s}
单位斜坡函数 t \frac{1}{s^2}
单位加速度函数 \frac{1}{2}t^2 \frac{1}{s^3}
单位脉冲函数 \delta(t) 1
正弦函数 Asin\omega t \frac{A\omega}{s^2+\omega^2}
3.1.2 动态过程与稳态过程

在典型输入信号作用下，任何一个控制系统的时间响应都由动态过程和稳态过程两部分组成

动态过程又称过渡过程或瞬态过程，指系统在典型输入信号作用下，系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程。

稳态过程是指系统在典型输入信号作用下，当时间t趋于无穷时，系统输出量的表现方式，又称稳态响应

3.1.3 动态性能和动态指标

稳定是控制系统能运行的首要条件，因此只有动态过程收敛时，研究系统的动态性能才有意义。

  1. 动态性能

描述稳定的系统在单位阶跃函数的作用下，动态过程随时间t的变化状况的指标，称为动态性能指标。

假定系统在单位阶跃输入信号作用前处于静止状态，而且输出量及其各阶导数均等于零。

  • 上升时间t_{r} 指响应从终值10%上升到终值90%所需要的时间，对于有振荡的系统，亦可定义为响应从零第一次上升到终值所需的时间。
  • 峰值时间t_{p} 指响应超过其终值到达第一个峰值所需要的时间。
  • 调节时间t_{s} 指响应到达并保持在终值\pm 5 \%或终值\pm 2 \%误差内所需的最短时间
  • 超调量\sigma \% 指响应最大的最大偏离量c(t_{p})与终值c(\infty)的差\sigma_{p} 与终值c(\infty)比的百分数

\sigma \% =\frac{c(t_{p})-c(\infty)}{c(\infty)} \times100 \%

若c(t_{p})<c(\infty)，则响应无超调。

t_{r}或t_{p}评价系统的响应速度

\sigma \%或\sigma_{p}评价系统的阻尼程度

t_{s}同时反映系统的响应速度和阻尼程度

  1. 稳态性能

稳态误差是描述系统稳态性能的一种性能指标，若时间趋于无穷时，系统的输出量不等于输入量或输入量的确定函数则系统存在稳态误差。

3.2 一阶系统的时域分析

凡以一阶微分方程描述运动方程的控制系统，称为一阶系统。

3.2.1 一阶系统的数学模型

此处设一阶系统的传递函数如下，该传递函数决定了一阶系统的数学模型。

\Phi(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{1}{Ts+1}

3.2.2 一阶系统的单位阶跃响应

设输入信号r(t)=\varepsilon(t)，可得到一阶系统的单位阶跃响应为

c(t)=1-e^{-t/T},t \geq 0

  • 可用时间常数T去度量系统输出量的数值
  • 响应曲线的斜率初始为1/T，并随时间的推移而下降

系统的误差为

e(t)=r(t)-c(t)=e^{-t/T}

由于e(\infty)=0，故不存在稳态误差。

t_{r}=2.20T t_{s}=3T(\Delta=5\%)或 t_{s}=4T(\Delta=2\%)

峰值时间和超调量不存在

3.2.3 一阶系统的单位脉冲响应

设输入信号为r(t)=\delta(t)，可得到一阶系统的单位脉冲响应为

c(t)=\frac{1}{T}e^{-t/T},t \geq 0

系统的误差为

e(t)=r(t)-c(t)=-\frac{1}{T}e^{-t/T}

由于e(\infty)=0，故不存在稳态误差。

3.2.4 一阶系统的单位斜坡响应

设输入信号r(t)=t，可得到一阶系统的的单位斜坡响应为

c(t)=(t-T)+Te^{-t/T}, t \geq 0

系统的误差为

e(t)=r(t)-c(t)=T-Te^{-t/T}

由于e(\infty)=T，故在位置上存在稳态跟踪误差。

3.2.5 一阶系统的单位加速度响应

设输入信号r(t)=1/2t^2，可得到一阶系统的单位加速度响应为

c(t)=\frac{1}{2}t^2-Tt+T^2(1-e^{-t/T}),t \geq 0

系统的误差为

e(t)=r(t)-c(t)=Tt-T^2(1-e^{-t/T})

由于e(\infty)=\infty，因此，一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪。

3.3 二阶系统的时域分析

3.3.1 二阶系统的数学模型

此处设二阶系统的传递函数如下，决定了二阶系统的数学模型如下

\Phi(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\omega_{n}^2}{s^2+2\zeta\omega_{n}s+\omega_{n}^2}

其系统的结构图如下图所示

令传递函数的分母多项式为零，得二阶系统的特征方程为

s^2+2\zeta\omega_{n}s+\omega_{n}^2=0

其两个根为

s_{1,2}=-\zeta\omega_{n} \pm \omega_{n}\sqrt{\zeta^2-1}

下面根据\omega_{n}和\zeta的值进行讨论分析。

3.3.2 二阶系统的单位阶跃响应

根据《信号与线性系统分析》可知，系统的稳定性是系统的传递函数的极点位于s左半平面。

由于对于控制系统，我们研究的对象均为稳定的系统，故我们需要分析极点的分布情况

  • \zeta<-1 极点位于s右半平面的实轴上，系统不稳定。
  • -1<\zeta<0 极点的实部大于0，存在虚部，位于s平面的右半平面，系统不稳定。
  • \zeta=0 极点位于s平面的虚轴上，无阻尼情况
  • 0<\zeta<1 极点的实部小于0，存在虚部，位于s平面的左半平面，欠阻尼情况。
  • \zeta=1 两个极点相等，极点位于s左半平面的实轴上，临界阻尼情况。
  • \zeta>1 极点位于s左半平面的实轴上，过阻尼情况。

令\sigma=\zeta\omega_{n}，\omega_{d}=\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^2}，则有

s_{1,2}=-\sigma \pm j \omega_{d}

式中，\sigma为衰减系数，\omega_{d}为阻尼振荡频率。稍后将会讲述其物理意义。

  1. 欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应

C(s)=\frac{\omega_{n}^2}{s^2+2\zeta\omega_{n}s+\omega_{n}^2}\cdot \frac{1}{s} \\ =\frac{1}{s}-\frac{s+\zeta\omega_{n}}{(s+\zeta\omega_{n})^2+\omega_{d}^2}-\frac{\zeta\omega_{n}}{(s+\zeta\omega_{n})^2+\omega_{d}^2}

取拉普拉斯逆变换可得

c(t)=1-\frac{1}{\sqrt{1-\zeta^2}}e^{-\zeta\omega_{n}t}(\sqrt{1-\zeta^2}cos\omega_{d}t+\zeta sin\omega_{d}t) \\ =1-\frac{1}{\sqrt{1-\zeta^2}}e^{-\zeta\omega_{n}t}sin(\omega_{d}t+\beta)

式中，\beta=arccos\zeta，\beta称为阻尼角

由上述分析可知，欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应由两部分组成：稳态分量为1，表明系统在单位阶跃函数作用下不存在稳态位置误差；瞬态分量为阻尼振荡项，其振荡频率为\omega_{d}，故称为阻尼振荡频率。由于瞬态分量衰减的快慢取程度取决于包络线收敛的速度，当\zeta一定时，包络线的收敛速度取决于指数函数e^{-\zeta\omega_{n}t}的幂，所以称\sigma为衰减系数

特别地，当\zeta=0，则二阶系统无阻尼时的单位阶跃响应为

c(t)=1-cos \omega_{n}t

这是一条平均值为的1正、余弦形式的等幅振荡，其振荡频率为\omega_{n}，故可称为无阻尼振荡频率。

  1. 临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应

C(s)=\frac{\omega_{n}^2}{s(s+\omega_{n})^2}=\frac{1}{s}-\frac{\omega_{n}}{(s+\omega_{n})^2}-\frac{1}{s+\omega_{n}}

取拉普拉斯逆变换可得

c(t)=1-e^{-\omega_{n}t}(1+\omega_{n}t)

  1. 过阻尼二阶系统的单位阶跃响应

为了计算的方便，我们需要对二阶系统给的传递函数进行变换

T_{1}=\frac{1}{\omega_{n}(\zeta-\sqrt{\zeta^2-1})},T_{2}=\frac{1}{\omega_{n}(\zeta+\sqrt{\zeta^2-1})}

故过阻尼二阶系统的输出量的拉氏变换为

C(s)=\frac{\omega_{n}^2}{s(s+1/T_{1})(s+1/T_{2})}

其中，T_{1}和T_{2}称为过阻尼二阶系统的时间常数，显然T_{1}>T_{2}。

对上式取拉氏反变换

c(t)=1+\frac{e^{-t/T_{1}}}{T_{2}/T_{1}-1}+\frac{e^{-t/T_{2}}}{T_{1}/T_{2}-1}

上式表明，响应特性包含着两个单调衰减的指数项，其代数和决不会超过稳态值1，因而过阻尼二阶系统的单位阶跃响应式非振荡的，通常称为过阻尼响应。

3.3.3 欠阻尼二阶系统的动态过程分析

c(t)=1-\frac{1}{\sqrt{1-\zeta^2}}e^{-\zeta\omega_{n}t}sin(\omega_{d}t+\beta)

  1. 上升时间t_{r}的计算

令c(t_{r})=1，求得

\frac{1}{\sqrt{1-\zeta^2}}e^{-\zeta\omega_{n}t_{r}}sin(\omega_{d}t_{r}+\beta)=0

由于e^{-\zeta\omega_{n}t} \neq 0，故有

t_{r}=\frac{\pi-\beta}{\omega_{d}}

  1. 峰值时间t_{p}的计算

对c(t)进行求导，并令其为零可得

\zeta\omega_{n}e^{-\zeta\omega_{n}t_{p}}sin(\omega_{d}t_{p}+\beta)-\omega_{d}e^{-\zeta\omega_{n}t_{p}}cos(\omega_{d}t_{p}+\beta)=0

整理可得
tan(\omega_{d}t_{p}+\beta)=\frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta}

由于tan\beta=\sqrt{1-\zeta^2}/ \zeta

故可解得

t_{p}=\frac{\pi}{\omega_{d}}

  1. 超调量\sigma \%的计算

c(t_{p})=1-\frac{1}{\sqrt{1-\zeta^2}}e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}sin(\pi+\beta)

由于sin(\pi+\beta)=-\sqrt{1-\zeta^2}，故

c(t_{p})=1+e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}

\sigma \%=e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}} \%

  1. 调节时间t_{s}的计算

若取\Delta=0.05

t_{s}=\frac{3.5}{\zeta\omega_{n}}=\frac{3.5}{\sigma}

若取\Delta=0.02

t_{s}=\frac{4.4}{\zeta\omega_{n}}=\frac{4.4}{\sigma}

3.4 高阶系统的时域分析

3.4.1 高阶系统的单位阶跃响应
  • 方法1：利用拉普拉斯变换和拉普拉斯逆变换进行处理
  • 方法2：利用MATLAB进行处理

下面演示利用MATLAB解决高阶系统的单位阶跃响应的问题

设一个三阶系统闭环传递函数为

\Phi(s)=\frac{5(s^2+5s+6)}{s^3+6s^2+10s+8}

num0=5*[1 5 6];den0=[1 6 10 8] %描述闭环传递函数的分子、分母多项式
sys0=tf(num0,den0); %高阶系统建模
den=[1 6 10 8 0]; %描述C(s)的分母多项式
[z,p,k]=tf2zp(num0,den0); %对传递函数进行因式分解
sys=zpk[z,p,k]; %给出闭环传递函数的零极点形式
[r,p,k]=residue(num0,den) %部分分式展开
step(sys0) %计算高阶系统的单位阶跃响应
3.4.2 高阶系统闭环主导极点

如果在所有的闭环极点中，距虚轴最近的极点周围没有闭环零点，而其他闭环极点又远离虚轴，那么距虚轴最近的闭环极点所对应的响应分量，随时间的推移衰减缓慢，在系统的时间响应过程中起主导作用，这样的闭环极点称为闭环主导极点

3.5 线性系统的稳定性分析

稳定是控制系统的重要性能，也是系统能够正常运行的首要条件。

3.5.1 稳定性的概念

所谓稳定性，是指系统在扰动消失后，由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能

假设系统具有一个平衡工作状态，如果系统受到有界扰动作用偏离了原平衡状态，不论扰动引起的初始偏差有多大，当扰动取消后，系统都能以足够的准确度恢复到初始平衡状态，则这种系统称为大范围稳定的系统；如果系统受到有界扰动作用后，只有当扰动引起的初始偏差小于某一范围时，系统才能在取消扰动后恢复到初始平衡状态，则这样的系统称为小范围稳定的系统。

对于线性系统，必然在大范围和范围内都能稳定

对于非线性系统，可能在小范围稳定而大范围不稳定

对于系统的稳定性有多种定义方法。上述所阐述的稳定性概念，实则指平衡状态稳定性。

然而，在分析线性系统的稳定性时，我们所关心的是系统的运动稳定性，即系统方程在不受任何外界输入作用下，系统方程的解在时间t趋于无穷的渐进行为。

严格来讲，平衡状态稳定性与运动稳定性具有差别，但对于线性系统而言。运动的稳定性与平衡状态稳定性是等价的。

根据上述的讨论，我们给出线性系统稳定性更正式的定义。

若线性控制系统在初始扰动的影响下，其动态过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零(原平衡工作点)，则称系统渐进稳定，简称稳定；反之，若在初始扰动影响下，系统的动态过程随时间的推移而发散，则称系统不稳定。

3.5.2 线性系统稳定的充分必要条件

具体的推导证明见《信号与线性系统分析》

闭环系统特征方程的所有根均具有负实部；或者说，闭环传递函数的极点位于左半s平面。

3.5.3 劳斯稳定判据

此处，并不证明劳斯稳定判据。严格的数学证明将会在《A Mathematical Approach to Classical Control》给出，此处只讲述应用。

设线性系统的特征方程为

D(s)=a_{0}s^n+a_{1}s^{n-1}+\cdots+a_{n-1}s+a_{n}=0, a_{0}>0

线性系统稳定的必要条件是：在特征方程中，各项系数为正数。

列出劳斯表如下

s^{n} a_{0} a_{2} a_{4} a_{6} \cdots
s^{n-1} a_{1} a_{3} a_{5} a_{7} \cdots
s^{n-2} c_{13}=\frac{a_{1}a_{2}-a_{0}a_{3}}{a_{1}} c_{23}=\frac{a_{1}a_{4}-a_{0}a_{5}}{a_{1}} c_{33}=\frac{a_{1}a_{6}-a_{0}a_{7}}{a_{1}} c_{43} \cdots
s^{n-3} c_{14}=\frac{c_{13}a_{3}-a_{1}c_{23}}{c_{13}} c_{24}=\frac{c_{13}a_{5}-a_{1}c_{33}}{c_{13}} c_{34}=\frac{c_{13}a_{7}-a_{1}c_{43}}{c_{13}} c_{44} \cdots
s^{n-4} c_{15}=\frac{c_{14}c_{23}-c_{13}c_{24}}{c_{14}} c_{25}=\frac{c_{14}c_{33}-c_{13}c_{34}}{c_{14}} c_{35}=\frac{c_{14}c_{43}-c_{13}c_{44}}{c_{14}} c_{45} \cdots
\vdots \vdots \vdots \vdots
s^2 c_{1,n-1} c_{2,n-1}
s^1 c_{1}
s^0 c_{1,n+1}=a_{n}

线性系统稳定的充要条件是：劳斯表中第一列各值为正。如果劳斯表第一列中出现小于零的数值，系统就不稳定，且第一列各系数符号的改变次数，代表特征方程的正实部根的数目。

  • 当劳斯表中的某行的第一列项为零，而其余项不为零，或不全为零

用因子(s+a)乘以原特征方程，其中a可为任意正数，再对新的特征方程应用劳斯稳定判据。

  • 劳斯表中出现全零行

用全零行上面一行的系数构造一个辅助方程F(s)=0，并将辅助方程对复变量s求导，用所得导数方程的系数取代全零行的元。

为了使稳定的系统具有良好的动态响应，希望在s左半平面上系统特征根的位置与虚轴具有|a|的距离。此时，直接用新变量s_{1}=s+a代入原系统特征方程，得到一个新的方程，再利用劳斯稳定判据

3.6 线性系统稳态误差的计算

只有当系统稳定时，研究系统稳态误差才有意义；对于不稳定的系统而言，根本不存在研究稳态误差的可能性。

控制系统结构图如下图所示

误差信号，简称误差定义为：

E(s)=R(s)-H(s)C(s)

误差本身是时间的函数，其时域表达式为

e(t)=L^{-1}[\Phi_{e}(s)R(s)]

式中，\Phi_{e}(s)为系统误差传递函数

\Phi_{e}(s)=\frac{E(s)}{R(s)}=\frac{1}{1+G(s)H(s)}

在误差信号e(t)中，包含瞬态分量e_{ts}(t)和稳态分量e_{ss}(t)两部分。由于系统必须稳定，故当时间趋于无穷时，必有e_{ts}(t)趋于零。因而，控制系统的稳态误差定义为误差信号e_{t}的稳态分量e_{ss}(\infty)，常以e_{ss}简单标志

由终值定理可得：

e_{ss}(\infty)=\lim_{s \to 0}sE(s)=\lim_{s \to 0}\frac{sR(s)}{1+G(s)H(s)}

3.6.2 系统类型

在一般情况下，分子阶次为m，分母阶次为n的开环传递函数可表示为

G(s)H(s)=\frac{K\prod_{i=1}^{m}(\tau_{i}s+1)}{s^{v}\prod_{j=1}^{n-v}(T_{j}s+1)}

式中，K为开环增益，\tau_{i} 和 T_{j}为时间常数；v为开环系统在s平面上极点的重数。

v=0称为 0 型系统

v=1称为Ⅰ型系统

v=2称为Ⅱ型系统

为了便于讨论，令

G_{0}(s)H_{0}(s)=\frac{\prod_{i=1}^{m}(\tau_{i}s+1)}{\prod_{j=1}^{n-v}(T_{j}s+1)}

显然

\lim_{s \to 0}G_{0}(s)H_{0}(s)=1
故由上述分析，可以得到

e_{ss}(\infty)=\frac{\lim_{s \to 0}[s^{v+1}R(s)]}{k+\lim_{s \to 0}s^v}

3.6.3 阶跃输入作用下的稳态误差与静态位置误差系数

设输入信号为r(t)=R\varepsilon(t)，其中R为输入阶跃函数的幅值。

e_{ss}(\infty)=\lim_{s \to 0}{\frac{R}{1+\frac{K}{s^v}}}
分类讨论可知：

e_{ss}(\infty)=\begin{cases} R/(1+K)=常数, v=0 \\ 0,v \geq 0 \end{cases}

习惯上常采用静态位置误差系数K_{P}表示各型系统在阶跃输入作用下的位置误差。

e_{ss}(\infty)=\frac{R}{1+\lim_{s \to 0}G(s)H(s)}=\frac{R}{1+K_{p}}

式中

K_{p}=\lim_{s \to 0}G(s)H(s)=lim_{s \to 0}\frac{K}{s^v}=\begin{cases} K,v=0 \\ \infty, v \geq 1 \end{cases}

3.6.4 斜坡输入作用下的误差与静态速度误差系数

设输入信号r(t)=Rt，其中R表示速度输入函数的斜率

e_{ss}(\infty)=\lim_{s \to 0}{\frac{R}{s+\frac{K}{s^{v-1}}}}

分类讨论可知

e_{ss}(\infty)=\begin{cases} \infty, v=0 \\ R/K=常数,v=1 \\ 0, v \geq 2 \end{cases}

误差还可以表示为

e_{ss}(\infty)=\frac{R}{1+\lim_{s \to 0}sG(s)H(s)}=\frac{R}{1+K_{v}}

式中K_{v}称为静态速度误差系数

K_{v}=\lim_{s \to 0}sG(s)H(s)=lim_{s \to 0}\frac{K}{s^{v-1}}=\begin{cases} 0,v=0 \\K,v=1 \\ \infty, v \geq 2 \end{cases}

速度误差的含义并不是指系统稳态输出与输入之间存在速度上的误差，而是指系统在速度输入作用下，系统稳态输出与输入之间存在位置上的误差。

3.6.5 加速度输入作用下的稳态误差与静态加速度误差系数

设输入为r(t)=Rt^2/2，其中R为加速度输入函数的速度变化率

e_{ss}(\infty)=\lim_{s \to 0}{\frac{R}{s^2+\frac{K}{s^{v-2}}}}

分类讨论可知

e_{ss}(\infty)=\begin{cases} \infty, v=0,1 \\ R/K=常数,v=2 \\ 0, v \geq 3 \end{cases}

误差还可以表示为

e_{ss}(\infty)=\frac{R}{1+\lim_{s \to 0}s^2G(s)H(s)}=\frac{R}{1+K_{a}}

式中K_{v}称为静态加速度误差系数

K_{a}=\lim_{s \to 0}s^2G(s)H(s)=lim_{s \to 0}\frac{K}{s^{v-2}}=\begin{cases} 0,v=0,1 \\K,v=2 \\ \infty, v \geq 3 \end{cases}

加速度误差是指系统在加速度函数输入作用下，系统稳态输出与输入之间的位置误差。

3.6.6 扰动作用下的稳态误差

控制系统除承受输入信号作用外，还经常处于各种扰动作用之下，控制系统在扰动作用下的稳态误差值，反映了系统的抗干扰能力。直接利用终值定理求解。

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