证明复平面的直线方程可以写成α乘z的共轭加α的共轭乘z等于c

证明复平面上的直线方程可写成:
α\overline{z} + \overline{α}z = c(α≠0为复常数, c为实常数)
        [证] 设复平面上任意点z=x+iy，其中x,y∈R。设非零复常数α=a+ib，其中a,b∈R，且a,b不同时为0(因为α≠0)，其共轭\overline{α}=a-ib，\overline{z}=x-iy。
        计算α\overline{z} + \overline{α}z:
        α\overline{z}=(a+ib)(x-iy)=ax-aiy+ibx+by=(ax+by)+i(bx-ay)
        \overline{α}z=(a-ib)(x+iy)=ax+aiy-ibx+by=(ax+by)+i(ay-bx)
        α\overline{z} + \overline{α}z=2(ax+by)
        原方程α\overline{z} + \overline{α}z = c等价于:
2(ax+by)=c \Rightarrow ax+by=\frac{c}{2}
        这是标准的二元一次实系数方程，且因为α≠0即a,b不同时为0，因此该方程恰好表示复平面(直角坐标系平面)上的一条直线。

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