泊松分布

商店缺货问题

满足条件

假定不存在季节因素，可以近似认为，这个问题满足以下三个条件：
（1）顾客购买水果罐头是小概率事件。
（2）购买水果罐头的顾客是独立的，不会互相影响。
（3）顾客购买水果罐头的概率是稳定的。

在统计学上，只要某类事件满足上面三个条件，它就服从"泊松分布"。

泊松分布公式：

各个参数的含义：

P：每周销售k个罐头的概率。
　　X：水果罐头的销售变量。
　　k：X的取值（0，1，2，3...）。
　　λ：每周水果罐头的平均销售量，是一个常数，本题为2。

计算器：

https://web2.0calc.com

e^- = 0.135

根据公式，计算得到每周销量的分布：

每周销量k	概率 p	累积概率P = ∑(p)	发生缺货概率 1/(1-P)(周）
k = 0	p = 0.135 *1/1	0.135	1 ≈ 1.156
k = 1	p = 0.135 *2/1 = 0.271	0.406 = 0.271+0.135	2 ≈ 1.684
k = 2	p = 0.135 *4/2 = 0.271	0.677 = 0.271+0.406	3 ≈ 3.096
k = 3	p = 0.135 *8/6 = 0.180	0.857 = 0.180+ 0.677	7 ≈ 6.993
k = 4	p = 0.135 *16/24 = 0.090	0.947 = 0.090 + 0.857	19 ≈ 18.868
k = 5	p = 0.135 *32/120 = 0.036	0.983 = 0.036 + 0.947	59 ≈ 58.824
k = 6	p = 0.135 *64/720 = 0.012	0.995 = 0.012 + 0.983	200
k = 7	p = 0.135 *128/5040 = 0.00343	0.9984 = 0.00343 + 0.995	625
k = 8	p = 0.135 *256/40320 = 0.00086	0.9993 = 0.00086 + 0.9984	1429 ≈ 1428.571
k = ∞	p ≈ 0	1	∞

从上表可见，如果存货4个罐头，95%的概率不会缺货（平均每19周发生一次）；如果存货5个罐头，98%的概率不会缺货（平均59周发生一次）。

http://www.ruanyifeng.com/blog/2013/01/poisson_distribution.html

用py写一下美国枪击案的泊松分布概率

资料显示，1982年至2012年，美国共发生62起（大规模）枪击案。其中，2012年发生了7起，是次数最多的一年。
　　（1）枪击案是小概率事件。
　　（2）枪击案是独立的，不会互相影响。
　　（3）枪击案的发生概率是稳定的。
显然，第三个条件是关键。如果成立，就说明美国的治安没有恶化；如果不成立，就说明枪击案的发生概率不稳定，正在提高，美国治安恶化。
根据资料，1982--2012年枪击案的分布情况如下：

#coding=utf-8
import math
print(u'初始化')
data = [4,10,7,5,4,0,0,1]
year = [1982,2012]
drtYear = year[1]-year[0]+1
total = 62
avg = total/drtYear

print(u'公式中常数')
ec = math.pow(math.e,-avg)
totalP = 0
for times in range(0,10):
    p = ec*math.pow(avg,times)/math.factorial(times)
    totalP+=p
    print(u'一年发生%d次枪击的概率为%f, %.2f年维持此概率, 实际%d年维持此概率'%(times,p,round(p*100*drtYear)/100, data[times] if times<len(data) else 0 ))

结果

一年发生0次枪击的概率为0.135335, 4.20年维持此概率, 实际4年维持此概率
一年发生1次枪击的概率为0.270671, 8.39年维持此概率, 实际10年维持此概率
一年发生2次枪击的概率为0.270671, 8.39年维持此概率, 实际7年维持此概率
一年发生3次枪击的概率为0.180447, 5.59年维持此概率, 实际5年维持此概率
一年发生4次枪击的概率为0.090224, 2.80年维持此概率, 实际4年维持此概率
一年发生5次枪击的概率为0.036089, 1.12年维持此概率, 实际0年维持此概率
一年发生6次枪击的概率为0.012030, 0.37年维持此概率, 实际0年维持此概率
一年发生7次枪击的概率为0.003437, 0.11年维持此概率, 实际1年维持此概率
一年发生8次枪击的概率为0.000859, 0.03年维持此概率, 实际0年维持此概率
一年发生9次枪击的概率为0.000191, 0.01年维持此概率, 实际0年维持此概率

实际发生概率和计算得到的概率对比