林哈德函数（Lindhard Function）

林哈德函数（Lindhard Function）定义为

\mathcal{L}(\vec q,\omega) = 2 \sum\limits_k \frac{ n_k - n_{k+q} }{ \hbar \left( \omega - \omega_{kq} \right) + i \eta }

考虑变换

\vec k \to - \vec k - \vec q

\vec k + \vec q \to - k

并且

\omega_{kq } \to - \omega_{kq}

n_k \to n_{-k-q} = n_{k+q}

n_{k + q} \to n_{-k} = n_k

这里考虑电子的色散关系是自由的

E_k = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}

对应费米面是球对称的。

在以上变换下，林哈德函数（Lindhard Function）可以改写为

\mathcal{L}(\vec q,\omega) = - 2 \sum\limits_k \frac{ n_k - n_{k+q} }{ \hbar \left( \omega + \omega_{kq} \right) + i \eta }

把这两种表示“拼”在一起

\mathcal{L}(\vec q,\omega) = \sum\limits_k \left( n_k - n_{k + q} \right) \left\{ \frac{1}{\hbar \left( \omega - \omega_{kq} \right) + i \eta} - \frac{1}{ \hbar \left( \omega + \omega_{kq} \right) + i \eta } \right\}

首先小括号中的部分可恒等变形为

n_k - n_{k+q} = n_k \left( 1- n_{k+q} \right) - n_{k+q} \left( 1-n_k \right)

上式中两项分别乘以大括号中的表达式，对其中的第二项考虑变换

k \to - k -q

k + q \to -k

以及（因为还要乘以大括号中的内容）

\omega_{kq} \to - \omega_{kq}

林哈德函数整理后得到

\mathcal{L}(\vec q,\omega) = 2 \sum\limits_k n_k \left( 1-n_{k+q} \right) \left\{ \frac{1}{\hbar \left( \omega - \omega_{kq} \right) + i \eta} - \frac{1}{ \hbar \left( \omega + \omega_{kq} \right) + i \eta } \right\}

这个函数是复函数，取其实部

\Re \mathcal{L}(\vec q,\omega) = \frac{2}{\hbar} \sum\limits_k n_k \left( 1 - n_{k + q} \right) \frac{2 \omega_{kq}}{\omega^2 - \omega_{kq}^2}

上式中第二项

...\sum\limits_k n_k n_{k + q} \frac{\omega_{kq}}{\omega^2 - \omega_{kq}^2}

在变换

k \to - k - q

k+ q \to -k

\omega_{kq} = - \omega_{kq}

中，上式是“奇”函数，因此对波矢k的求和为0。

\Re \mathcal{L}(\vec q,\omega) = \frac{4}{\hbar} \sum\limits_k n_k \frac{ \omega_{kq}}{ \omega^2 - \omega_{kq}^2}

Bohm, D. and Pines, D., PR 82, 625 (1951);

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