【概率统计二】大数定律与中心极限定理

大数定律与中心极限定理

切比雪夫不等式

$P(|X-EX|\geqslant \varepsilon) \leqslant {\sigma^2 \over \varepsilon^2}$

大数定律

定义依概率收敛 若 $\lim\limits_{n\to \infty}P(|X_n- X|\leqslant\varepsilon)=1,$ 则称 $X_n$ 依测度收敛于 $X,$ 记作 $X_n \overset{P}{\longrightarrow} X$

Remark. 依概率收敛的概念来自依测度收敛. 后者的定义是
$f_n \longrightarrow f \iff \forall \sigma>0, \lim mE[|f_n-f|\geqslant\sigma]=0$
大数定律的一般形式: 满足一定条件时, $\overline X \overset{P}{\longrightarrow} E(\overline X)$

即, 样本均值 $\overline X$ 依测度收敛于 $\overline X$ 的期望 $E\overline X$ .

中心极限定理

中心极限定理的一般形式
$\frac{\sum\limits_{i=1}^n{X_i}-E(\sum\limits_{i=1}^n{X_i})} {\sqrt{D(\sum\limits_{i=1}^n{X_i})}} \overset{\text {近似}}\sim N(0,1)$
即, 当 $n$ 充分大时, $n$ 个随机变量的和 $\sum\limits_{i=1}^n{X_i}$ 近似服从于正态分布.

最后编辑于：2020.09.02 10:44:24

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