【概率统计二】大数定律与中心极限定理

大数定律与中心极限定理

切比雪夫不等式

P(|X-EX|\geqslant \varepsilon) \leqslant {\sigma^2 \over \varepsilon^2}

大数定律

定义 依概率收敛 若 \lim\limits_{n\to \infty}P(|X_n- X|\leqslant\varepsilon)=1, 则称 X_n 依测度收敛于 X, 记作 X_n \overset{P}{\longrightarrow} X

Remark. 依概率收敛的概念来自依测度收敛. 后者的定义是
f_n \longrightarrow f \iff \forall \sigma>0, \lim mE[|f_n-f|\geqslant\sigma]=0
大数定律的一般形式: 满足一定条件时, \overline X \overset{P}{\longrightarrow} E(\overline X)

即, 样本均值 \overline X 依测度收敛于 \overline X 的期望E\overline X.

中心极限定理

中心极限定理的一般形式
\frac{\sum\limits_{i=1}^n{X_i}-E(\sum\limits_{i=1}^n{X_i})} {\sqrt{D(\sum\limits_{i=1}^n{X_i})}} \overset{\text {近似}}\sim N(0,1)
即, 当 n 充分大时, n 个随机变量的和 \sum\limits_{i=1}^n{X_i} 近似服从于正态分布.

最后编辑于 ：
©著作权归作者所有,转载或内容合作请联系作者
平台声明：文章内容（如有图片或视频亦包括在内）由作者上传并发布，文章内容仅代表作者本人观点，简书系信息发布平台，仅提供信息存储服务。