第18课 行列式及其性质

方阵的两大话题

  • 方阵的行列式
  • 行列式和它的原因

需要行列式的重要原因是求特征值，行列式是跟每个方阵都有关的数

行列式：

  • 记作detA或|A|,表示矩阵的行列式
  • 矩阵可逆等价于行列式非零
  • 行列式为零时，矩阵是奇异的
  • 行列式可以检验矩阵的可逆性

行列式性质：

  1. 单位阵的行列式值为1

  2. 交换行，行列式值的符号会相反

  3. a，用一个数乘以一行，相当于一个数乘以整个行列式
    \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}\rightarrow\begin{vmatrix}ta&tb\\ c&d\end{vmatrix}=t\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}
    b,
    \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix} \rightarrow \begin{vmatrix}a+a'&b+b'\\c&d\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}a'&b'\\c&d\end{vmatrix}
    行列式是一个线性函数。第一行表现为线性函数，如果基于行都保持不变（每一行的线性性，每一行都单独成立）

  4. 两行相等使得行列式为0

  5. 从行k减去行j的i倍，关键是行列式不因此改变

    一行不变，另一行为它们的组合运用第三点b条得：
    \begin{vmatrix}a&b\\c-ia&d-ib\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}a&b\\-ia&-ib\end{vmatrix}
    运用第三点a条得：
    \begin{vmatrix}a&b\\-ia&-ib\end{vmatrix}=-i\begin{vmatrix}a&b\\a&b\end{vmatrix}
    运用第4点得：
    -i\begin{vmatrix}a&b\\a&b\end{vmatrix} = 0

  6. 若有一行是0，那行A的行列式就是0

  7. 任何数学软件都采用这种上三角形式计算行列式值(包括matlab)，先消元成三角阵，再把主元相乘
    U=\begin{vmatrix}d_1&\times&\dots&\times\\0&d_2&\ddots&\vdots\\\vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\0&\dots&0&d_n\end{vmatrix} = \underbrace{(d_1)(d_2)\dots(d_n)}_{乘积}

  8. 当A是奇异矩阵时|A|=0，当A是非奇异矩阵时|A|\neq 0

  9. det(AB) =(detA)(detB)

    (detA)\neq 0;detA^{-1}=\frac{1}{detA}
    A^{-1}A=I \rightarrow (detA^{-1})(detA)=1

    A=\begin{bmatrix}2&0\\0&3\end{bmatrix} A^{-1}=\begin{bmatrix}\frac{1}{2}&0\\0&\frac{1}{3}\end{bmatrix}\\ detA^2=(detA)^2\\ det2A=2^ndetA_{n\times n}

  10. detA^T = detA

    证明：|A^T|=|A|

    A消元得LU，转置得U^TL^T

    运用性质第9条得：|LU=|L||U|

    先把矩阵化简为三角阵，再化简到对角阵，行列式值等于对角线乘积

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