概率统计组队学习之常见分布与假设验证

一、常见分布

1. 离散型随机变量

分布名称	满足条件	概率质量函数(PMF)	例子	图表
二项分布 (Binomial Distribution)	1. 试验次数是固定的 2. 每次试验都是独立的 3. 对于每次试验成功的概率都是一样的	$P(X=x)$ = $C_n^x p^x q^{n-x}$ Expectation: $np$ Variance: $np(1-p))$	1. 销售电话成功的次数 2. 一批产品中有缺陷的产品数量 3. 掷硬币正面朝上的次数 4. 在一袋糖果中取糖果吃，拿到红色包装的次数
泊松分布 (Poisson Distribution)	1. 试验次数n趋向于无穷大 2. 单次事件发生的概率p趋向于0 3. np是一个有限的数值	$P\lbrace X = i \rbrace$ = $e^{-λ} \frac{λ^i}{i!}$ Expectation: $\lambda$ Variance: $\lambda$	1. 一定时间段内，某航空公司接到的订票电话数 2. 一定时间内，到车站等候公交汽车的人数 3. 一匹布上发现的瑕疵点的个数 4. 一定页数的书刊上出现的错别字个数
几何分布 (Geometric Distribution)	1. 进行一系列互相独立的试验 2. 每一次试验都既有成功的可能，也有失败的可能，且单次试验成功的概率相同 3. 主要感兴趣取得第一次成功需要进行多少次试验	$P\lbrace X= n \rbrace$ = ${(1-p)}^{n-1} p$ Expectation: $\frac{1}{p}$ Variance: $\frac{1-p}{p^2}$	1. 打枪打中的概率 2. 滑雪滑到底不出事故的概率	第一次成功所需的试验次数（p=0.2）
负二项分布 (Negative Binomial Distribution)	1. 实验包含一系列独立的实验 2. 每个实验都有成功、失败两种结果 3. 成功概率恒定 4. 实验持续到r次失败，r可以为任意正数	$P\lbrace X= n \rbrace$ = $C_{n-1}^{r-1} p^r {(1-p)}^{n-r}$ Expectation: $\frac{r(1-p)}{p}$ Variance: $\frac{r(1-p)}{p^2}$	1. 一台设备在故障前运行，正常记为成功，故障记为失败 2. 动作员尝试射门得分前的尝试次数，每次不成功的尝试记为成功，得分记为失败
超几何分布 (Hypergeometric Distribution)	1. 从有限N个物件（其中包含M个指定种类的物件）中抽出n个物件，不放回 2. 成功抽出该指定种类物件的次数	$P\lbrace X= n \rbrace$ = $\frac {C_{k}^{x} C_{N-k}^{n-x}} {C_{N}^{n}}$ Expectation: $\frac{KM}{N}$ Variance: $\frac{KM}{N}\frac{(N-M)(N-K)}{N(N-1)}$	已知某事件的发生概率，判断从中取出一个小样本（不放回），该事件以某一个机率出现的概率问题

2. 连续型随机变量

分布名称	概率密度函数(PDF)	累计分布函数(CDF)	举例
均匀分布 (Uniform Distribution) 在定义域内概率密度函数处处相等的统计分布	$f(x)=\begin{cases}\frac {1} {b-a} , & a \leq x \leq b \\0, &others\end{cases}$ Expectation: $\frac{(a+b)}{2}$	$F(x)=\begin{cases}0 , & x< a \\(x-a)/(b-a), & a \leq x \leq b \\1, & x>b\end{cases}$ Variance: $\frac{(b-a)^2}{12}$	1. 一个理想的随机数生成器 2. 一个理想的圆盘以一定力度旋转后静止时的角度
正态分布 (Normal Distribution) 一种对称的分布，概率密度呈现钟摆的形状。一般正态分布可以通过公式变换将其转变为标准正态分布 $Z=\frac {X-μ} {σ}$ $Z$ ~ $N(0, 1)$	$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2π}\sigma}e^{\frac{-(x-u)^2}{2\sigma^2}}$ Expectation: $\mu$	Variance: $\sigma^2$	1. 成人的身高 2. 不同方向的气体分子的运动速度 3. 测量物体质量时的误差中心极限定理：一组独立同分布的随机样本的平均值近似为正态分布，无论总体符合何种分布
指数分布 (Exponential Distribution) 描述一个特定事件发生所需要的时间。指数分布中，有着很少的大数值和非常多的小数值	$f(x)=\begin{cases}λe^{-λx} , & x \geq 0 \\0, & x < 0\end{cases}$ Expectation: $\theta$	$F(a) = P\{X \leq a\} = 1-e^{-λa}, a\geq 0$ Variance: $\theta$	1. 顾客到达一家店铺的时间间隔 2. 从现在开始到发生地震的时间间隔 3. 在产线上收到一个问题产品的时间间隔

其他连续型分布：威布尔分布(Weibull Distribution)，伽玛分布(Gamma Distribution)

3. 补充：二项分布、泊松分布和正态分布关系

i. 当 $n$ 很大， $p$ 很小时，如 $n≥ 100$ and $np≤10$ 时，二项分布可以
近似为泊松分布。
ii. 当 $\lambda$ 很大时，如 $\lambda≥1000$ 时，泊松分布可以近似为正态分布。
iii: 当 $n$ 很大时， $np$ 和 $n(1-p)$ 都足够大时，如 $n≥100$ ,
$np≥10$ , $n(1-p) ≥10$ 时，二项分布可以近似为正态分布。

🍭 一些python代码实现

'''
产生特定分布的随机数，用到Numpy库
'''
import numpy as np

# 生成大小为1000的符合b(10,0.5)二项分布的样本集
s = np.random.binomial(n=10,p=0.5,size=1000)

# 生成大小为1000的符合P(1)的泊松分布的样本集
s = np.random.poisson(lam=1,size=1000)

# 生成大小为1000的符合U(0,1)均匀分布的样本集，边界值为左闭右开区间
s = np.random.uniform(low=0,high=1,size=1000)

# 生成大小为1000的符合N(0,1)正态分布的样本集
s = np.random.normal(loc=0,scale=1,size=1000)
s = np.random.standard_normal(size=1000)

# 生成大小为1000的符合E(1/2)指数分布的样本集，参数为指数分布参数λ的倒数
s = np.random.exponential(scale=2,size=1000)


'''
计算统计分布（PMF & PDF），使用 Scipy库
'''
from scipy import stats

# 计算二项分布B(10,0.5)的PMF
x=range(11)
p=stats.binom.pmf(x, n=10, p=0.5)

# 计算泊松分布P(1)的PMF
x=range(11)
p=stats.poisson.pmf(x, mu=1)

# 计算均匀分布U(0,1)的PDF
x = numpy.linspace(0,1,100)
p= stats.uniform.pdf(x,loc=0, scale=1)

# 计算正态分布N(0,1)的PDF
x = numpy.linspace(-3,3,1000)
p= stats.norm.pdf(x,loc=0, scale=1)

# 计算指数分布E(1)的PDF
x = numpy.linspace(0,10,1000)
p= stats.expon.pdf(x,loc=0,scale=1)


'''
计算CDF（以正态分布为例）
'''
# 计算正态分布N(0,1)的CDF
x = numpy.linspace(-3,3,1000)
p = stats.norm.cdf(x,loc=0, scale=1)


'''
统计分布可视化（以泊松分布为例）
'''
# 比较λ=2的泊松分布的真实概率质量和10000次随机抽样的结果
from scipy import stats
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
x=range(11)
t= stats.poisson.rvs(2,size=10000)
p=stats.poisson.pmf(x, 2)

fig, ax = plt.subplots(1, 1)
sns.distplot(t,bins=10,hist_kws={'density':True}, kde=False,label = 'Distplot from 10000 samples')
sns.scatterplot(x,p,color='purple')
sns.lineplot(x,p,color='purple',label='True mass density')
plt.title('Poisson distribution')
plt.legend()
plt.show()

# 比较不同参数λ对应的概率质量函数
# 可以验证随着参数增大，泊松分布逐渐对称，趋近于正态分布
x=range(50)
fig, ax = plt.subplots()
for  lam in [1,2,5,10,20] :
        p=stats.poisson.pmf(x, lam)
        sns.lineplot(x,p,label='lamda= '+ str(lam))
plt.title('Poisson distribution')
plt.legend()
plt.show()

poisson2.png

二、假设检验

1. 基本概念

在总体的分布函数完全未知或不知其参数的情况，为了推断总体的某些
未知特性，提出某些关于总体的假设，称为假设检验。

2. 基本步骤

1. 陈述研究假设，包含原假设 (null hypothesis) 和备择假设
(alternate hypothesis)。通常会把原假设设为变量之间不存在某种差异
或关联，备择假设则是存在某种差异或关联。
2. 为验证假设收集数据。
🍗 注意抽样的数据要具有代表性，考虑各种可能的影响因素。
3. 构造合适的统计测试量并测试。
所有的统计检验都是基于组内方差和组间方差的比较，如果组间方差
足够大，使得不同组之间几乎没有重叠，那么统计量会反映出一个
非常小的 $p$ 值，意味着不同组之间的差异不可能是由偶然性导致的。
4. 决定是接受还是拒绝原假设。
通常单侧检验情况下，以 $p=0.05$ 作为临界值。
5. 展示结论

3. 统计量的选择

i. 回归检验 (regression test)
回归检验适用于预测变量是数值型的情况，根据预测变量的数量和
结果变量的类型分为：

名称	预测变量（ $x$ ）特征	结果变量（ $y$ ）特征
简单线性回归	单个连续数值	连续数值
多重线性回归	多个连续数值	连续数值
Logistic回归	连续数值	二元类别（是或否）

ii. 比较检验 (comparison test)
比较检验适用于预测变量是类别型，结果变量是数值型的情况：

名称	预测变量（ $x$ ）特征	结果变量（ $y$ ）特征
Paired t-test	两组类别	组来自同一总体，数值
Independent t-test	两组类别	组来自不同总体，数值
ANOVA	两组及以上类别	单个数值
MANOVA	两组及以上类别	两个及以上数值

iii. 关联检验(correlation test)
常用的是卡方检验，适用于预测变量和结果变量均为类别型。

iv. 非参数检验

当以上参数条件不满足的时候，可以用非参数检验来代替。

非参数检验	用于替代的参数检验
Spearman	回归和关联检验
Sign test	T-test
Kruskal–Wallis	ANOVA
ANOSIM	MANOVA
Wilcoxon Rank-Sum test	Independent t-test
Wilcoxon Signed-rank test	Paired t-test

4. 两类错误

进行假设检验时可能有两类错误：一类错误（type I error）和
二类错误（type II error）。
一类错误：拒绝真的原假设
一类错误可以通过 α（显著性水平）来控制。以95%的
置信水平为例，a=0.05，这意味着我们拒绝一个真的
原假设的可能性是5%。
二类错误：接受错误的原假设
二类错误通常是由小样本或高样本方差导致的，可以
用β来表示。对于二类错误，可以从功效的角度来估
计，首先进行功效分析（power analysis）计算出功效
值1-β，进而得到二类错误的估计值β。