在六年级的时候，我们学习了有理数，有理数分为整数和分数，那我们的有理数的定义就是可比的数。但是还有一些数是我们没有探索到的。比如说一个正方形，它的边长为一，它的对角线长为多少呢？
我们没有探索这个数到底是什么，但如果他不是一个有理数，这就代表我们的树系得到了一个扩展。
虽然我们不知道一个边长为一的正方形的对角线的长度到底是多少，但是我们可以通过圆规将它表示在数轴上面。
这是浪漫的部分，我们回顾我们之前学到的有理数，也浪漫感知一下我们这一次要学习的内容。而我们这一次要探究的数，就称之为“无理数”。那什么是无理数呢？这里就可以带入一个符号，根号√。比如说根号4就等于2，因为2×2=4，它是一个算术平方根，它具有非负性。而平方根呢，比如说±√，根号4它就会等于±2，因为2的平方=2，-2的平方也等于2。
根号4很好理解，它就等于2，那么根号二它应该等于什么呢？首先根号2不可能等于整数，因为我们知道没有哪个整数的二次方等于2。那它有没有可能等于分数呢？我们不能确定，因为我们不清楚到底有没有一个分数的二次方等于2。
我们可以通过小数来将它表示出来，我们可以进行如下的一个乘法运算来把它乘出来。
但是我们发现他乘不到头，我们可以永远乘下去，所以我们就得出了一个结论。无理数不是一个有限小数，也不是一个无限循环小数。而是一个无限不循环的小数。其实我们在小学的时候不怎么会接触这种树，但是它其实在我们生活中出现数量很多。
其实我们有办法来证明，根号2它不是一个分数。证明过程如下。
但是根号2还是不那么普遍，所以我们可以把2变成a，那我们就要证明根号a它是不是一个分数。证明过程如下。结果我们发现根号a也不是一个分数。
前面我们说到了平方根和算术平方。但是还有一个符号叫做立方根——³√，比如说8的立方根，它就等于2。因为2的3次方等于8。那比如说-8的立方根的它就等于-2，因为-2的3次方就=-8。负数没有平方根，也没有算数平方根。但是负数有立方根，而立方根也没有像平方根那样有两个不同的结果。
我们都知道探究一个数最重要的三个点就是诞生、比大小和运算。诞生我们刚才已经讲过了，那接下来就应该讲一讲无理数的比大小了。
比如说我们想要将900的立方根和另外一个数比大小，那么又该怎么比呢？我们都知道900立方根它是一个无理数，我们不知道无理数的大小，所以这时候我们就要需要用到估算。估算是什么呢？看字面意思就知道它是一个估过程，它不一定准确，但是它可以在比大小方面帮我们解决一些我们目前没有办法解决出来的问题。
那接下来我们就来估算一下900的立方根的大小。10的三次方等于1000，9的三次方等于729。1000比729更接近900，所以我们估算900的立方根就等于10。
这是无理数的一个比大小那么无理数的运算呢，我们都知道现在我们知道的代数式可以进行加减乘除乘方以及混合运算。那么带有根号的代数式，我们就称它为根式，那我们现在主要聚焦的就是二次根式。
我们先来看一看，加和减，先来看根号2+2倍的根号2它应该等于多少呢？我们都知道根号二它可以变成乘1根号2那1×根号2+2×根号2，我们通过乘法分配率就可以得到它=1+2的和乘以根号2，就等于三倍的根号2。
那根号2可不可以加上根号3呢？那如果可以，根号2+根号3是不是等于根号5呢？其实是不对的，比如说1+1，我们的计算单位，0.1+0.3这个运算的单位就是0.1，那1/9+3/9，他的预算单位就是1/9，那么根号2加根号三它们的运算单位就是不一样的，所以他们没有办法进行合并。
那再来看一看乘除，根号5×根号三它应该等于多少呢？我们简单猜测一下，就可以猜测出来，根号5×根号3应该等于根号下5×3=根号15。可是这里我们不能讲究猜测，而是需要去证明出来。其实这个很好证明，如果我们将根号5×根号算他的他们同时平方，然后再进行一开方，它的大小是不变的。证明过程如下。
当然这也是一个比较特殊的例子，我们可以再将它普遍化一点。
那乘方的运算呢？比如说根号2的三次方，它其实就等于根号2的二次方，再乘以根号2。根号2的二次方就等于2，那2×根号2就等于2倍的根号2。这是二次根式的一个乘方运算。
那接下来我们就可以总结一下二次根式的运算法则如下。
那现在我们再来进行一个二次根式运算的分类讨论。如果两个有理数相加相减相乘相除，结果肯定是有理数。那比如说两个无理数相加相减相乘相除，结果一定等于无理数吗？其实是不一定的。那既然我们说，他不一定就需要举出反例，那么相加和相减，我们可以举出根号3加上根号3，它就等于0，而0不是一个无理数。负根号2+上根号2它就等于0。那相乘和相除就很好理解了，根号3×根号下1/3=1，根号3÷根号下1/3=3。
这就是二次根式的一个运算，那这里还要涉及到另一个东西，那就是化简。比如说在分数中我们知道有6/4，它可以化成3/2，那么根式同样也可以进行一个化解。比如说根号12他应该怎样化简呢？根号12通过二次根式的乘法法则，我们就可以得出根号12就等于根号下4×3那根号下4×3就，可以变成根号4再乘以根号3，根号4开方就变成了2，那结果就成了二倍的根号3。
那为何要把这些东西化成最简单的二次根式呢？那是为了更方便我们进行加减运算。我们在前面说过，不是同类的二次根式是无法合并的，那如果我们化简之后，它可能就会变成同类项，能够更好的合并。而化简我们也有一种方法叫做分母有理化过程如下。
我们这一章要学习的东西叫做实数，那么现在我们一直在研究无理数，那么实数无理数和有理数有什么样的关系呢？其实实数是一个有理数和无理数的统称。我们可以将实数做一个类。分类如下。
我们知道任意一个有理数都有相反数倒数和绝对值，那么任意一个实数也有相反数倒数和绝对值吗？其实是有的，比如说根号2-2它的相反数倒数和绝对值都分别是什么呢？
在最开始的浪漫中，我们已经把根号二通过圆规把它放到了数轴上，那么真的是任意一个有理数都可以找到它的数字上的对应点吗？其实是可以的，像我们不知道它的大大小到底是多少，但我们敢确定它就在这个数轴上，这时就需要我们靠想象。
虽然我们现在已经知道了实数是有理数无理数的统称，但是还有很多地方可以值得我们去探索，比如说，我们这次主要就教了二次的根式，那么三次根式4次根式又会怎么样呢？N次根式又会怎么样呢？其实我们已经可以通过原来的方法来证明出多次根式的一个运算了。虽然史书在我们中很少能够得到什么应用，但可能有些树就不是聚焦它的运用，而是聚焦他对我们思维的提升，还有他对我们后来要学习的东西的一个基础。
