第一章 集合与函数的概念

1.1 集 合

• 集合：元素组成的主体叫做集合，集合常用大写字母 A,B,C....表示，元素常用小写字母 a,b,c.... 表示

• 集合的性质：

  确定性：要么属于该集合，要么不属于该集合。
  互异性：同一个集合中，相同的元素只能出现一次。
  无序性：集合中的元素没有先后顺序。
  
  注意：（应用广泛，求值时，用互异性判断所求值是否符合题意）
  

• 集合表示法：

  注意：
  ①：在使用列举法时，元素用，号隔开，不可以有重复的元素，只要元素相同，那么两个集合就相等，不在意顺序的。
  ②：若，用列举法表示很多元素，那么一定要元素间的规律列举出来之后，才可以写······

• 元素与集合的关系：属于 ∈ ，不属于 ∉。

• 集合的分类：

  集合：
      按元素属性分：
                数集（元素是数）
                点集（元素时点）
                其他集合
  
      按元素的多少分：
                有限集（元素的个数是有限个）
                无限集（元素的个数是无限个）
  

• 数集符号：
• N*：正整数集，也记作N₊
• N：非负整数集（或自然数集）。
• Z：整数集（所有整数）。
• Q：有理数集。
• R：实数集。
• C：负数集。

• 子集：若任意的 x ∈ A，都有 x ∈ B ，则A是B的子集，记作 A ⊆ B。

• 真子集：若 A ⊆ B，且B存在元素 b ∉ A，b ∈ B ，则 A是B的真子集，记作 A ⫋ B。

  ∈ ∉ 只能表示元素和集合之间的关系。
  ⊆ ⫋ = 只能表示集合与集合之间的关系。
  
  两个集合 如果 A ∈ B ，且 B ∈ A，则这两个集合相等 A = B 。
  

• 空集：不含任何元素的集合叫做空集，记作∅。

  注意在集合运算中别漏了 ∅。
  空集是任何集合的子集。      ∅ ∈ A
  空集和任何非空集合的真子集。 ∅ ∈ A (A ≠ ∅)
  

• Venn图：用平面上封闭曲线的内部代表集合，这样的图称为 Venn 图。

• 交集：由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合叫做 A B 的交集。记作 A ∩ B 。

  A ∩ B = { x | x ∈ A, 且x ∈ B }
  每个集合的交集是它本身。
  任何集合与空集的交集是空集。
  A 与 B 的交集 ，∈ A 也∈ B。
  

• 并集：由属于集合 A ，和属于集合 B 的所有元素组成的集合叫做 A B 的并集。记作 A ∪ B。

  并集也就是两个集合的所有元素加起来，并去除重复的元素就是并集。
  每个集合和空集的并集是它本身。
  A U B ，A 和 B  都∈ A ∪ B。
  

• 全集：如果一个集合包含我们研究问题汇总涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。记作 U。

• 全集性质：全集是相对于所研究问题而言的一个相对概念。它含有所研究问题有关的各个集合的全部元素。

  在研究数集时，常吧实数集R看做是全集。
  在研究三维空间时，平面是全集的一个子集。
  在研究平面集合中，整个平面可以看做是一个子集。
  

• 补集：设U是一个全集，A 是 U 的一个子集，（即A ∈ U），由U中所有不属于 A 的元素组成的集合叫做，子集 A 在全集 U 中的补集，记作 CuA,即 CuA = { x | x ∈ U ，且 x ∉ A}。

• 补集的性质：

  (1)：A ∪ CuA = U            集合A + 集合A 的 补集 = U  (一个集合和本身补集的 并集 等于 全集)
  (2)：A ∩ CuA = ∅             集合A与集合A补集的交集 = ∅
  (3)：Cu（CuA） = A           t集合A的补集的补集等于它本身。
  (4)：Cu（A∪B） = （CuA）∩（CuB）  集合A与集合B的并集的补集 = 集合A的补集 与 集合B的补集的 交集
  (5)：Cu（A∩B） = （CuA）∪（CuB）  集合A与集合B的交集的补集 = 集合A的补集 与 集合B的补集的 并集
  (6)：Cu∅ = U                 ∅的补集 = U
  (7)：CuU = ∅                 U的补集 = ∅
  

• 集合的运算律：

  交换律：
  A∩B = B∩A          A∪B = B∪A
  结合律：
  A∩(B∩C) = (A∩B)∩C          A∪(B∪C) = (A∪B)∪C
  分配率：
  A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)          A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)
  德·摩根定律
  Cu（A∪B） = （CuA）∩（CuB）      Cu（A∩B） = （CuA）∪（CuB）
  

• 集合中元素的个数：

  有限集合A的元素个数记作：card(A)
  card(A)∪card(B) = card(A) + card(B) - card(A∩B)
  如果集合A、B的交集为∅，那么：
  card(A)∪card(B) = card(A) + card(B)
  因为 card(空集) = 0
  

• 集合中子集的个数：

  首先要明白，子集包括：集合所有元素不同组合（不包括顺序不同）、∅和本身。
  然后，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。（∅不是∅的真子集）
  A的子集个数是2²
  A的真子集个数是2² - 1（前提是A不是∅，减去的1是A集合的本身）
  A的非空子集个数是2² - 1（这个没什么好说的，集合A的本身也是集合A的子集，减去的1是∅）
  A的非空真子集个数是2² - 2（减去 本身 和 ∅）
  
  注意：
  平凡子集：就是自身及空集这两种特殊情形。因为每一个集合都有这两种子集，常称之为平凡子集。
  

• 奇/偶数集：

  Z是全体整数组成的集合
  奇数集 = { x|x = 2n-1,n∈Z}
  偶数集 = { x|x = 2n,n∈Z}
  

• 化简集合：

  在解决集合问题时，要学会化简集合：
  1.等式条件，要化简等式
  2.大小关系，画数轴
  3.多个集合，涉及到集合之间的关系，就画venn图
  4.利用集合的性质：确定性，互异性，无序性。
  5.补集思想：也就是正难则反，当正面解决比较困难的时候，就采取从反面突击解决问题。
  

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