动态规划

动态规划法的求解过程：

1. 划分子问题：将原问题分解为若干个子问题，每个子问题对应一个决策阶段，并且子问题之间具有重叠关系。
2. 确定动态规划函数：根据子问题之间的重叠关系找到子问题满足的递推关系式(即动态规划函数)，这是动态规划法的关键。
3. 填写表格：设计表格，以自底向上的方式计算各个子问题的解并填表，实现动态规划过程。

动态规划算法的基本要素为最优子结构性质与子问题重叠性质。

当一个问题的最优解包含其子问题的最优解时，称此问题具有最优子结构性质，也称此问题满足最优性原理。

子问题重叠性质是指在用递归算法自顶向下对问题进行求解时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题会被重复计算多次。

背包问题

背包问题是一种组合优化的NP完全问题。问题可以描述为：给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价格，在限定的总重量内，如何选择，才能使得物品的总价格最高。

三种背包：

1. 01背包：物品只可以取一次
2. 完全背包：物品可以取无限次
3. 多重背包：物品可以取的次数有一个上限

01背包：设表示将n个物品装入容量为C的背包获得的最大价值，显然，初始子问题是把前面i个物品装入容量为0的背包和把0个物品装入容量为j的背包，得到的价值均为0，即：。在在决策时，已确定了，则问题处于下列两种状态之一：

1. 背包容量不足以装入物品i，则装入前i个物品得到的最大价值和装入前i-1个物品得到的最大价值是相同的，即，背包不增加价值。

2. 背包容量可以装入物品i，如果把第i个物品装入背包，则背包中物品的价值等于把前i-1个物品装入容量为的背包中的价值加上第i个物品的价值v；如果第i个物品没有装入背包，则背包中物品的价值等于把前i-1个物品装入容量为j的背包中所取得的价值。显然，取二者中价值较大者作为把前i个物品装入容量为j的背包中的最优解。则得到如下递推式：
   
   从的值向前推，如果，表明第n个物品被装入背包，前n-1个物品被装入容量为的背包中。

import java.util.Arrays;

public class DynamicProgramming {
    // 动态规划解决01背包
    public static int knapsack01(int[] weight, int[] value, int n, int capacity) {
        // 表格的行代表物品，列代表容量
        int[][] table = new int[n + 1][capacity + 1];
        // 初始化表格的第0列
        for (int c = 0; c <= n; c++)
            table[c][0] = 0;
        // 初始化表格的第0行
        for (int r = 0; r <= capacity; r++)
            table[0][r] = 0;
        // 填写表格
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= capacity; j++)
                if (j < weight[i]) // 此时的容量j，装不下物品i
                    // 此时价值为上一行这个容量时的价值
                    table[i][j] = table[i - 1][j];
                else // 此时的容量j，能装下物品i
                    table[i][j] = Math.max(table[i - 1][j], table[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
        }
        // 装入背包的物品：0未装入，1装入
        int[] loaded = new int[n + 1];
        for (int i = n, j = capacity; i > 0; i--)
            if (table[i][j] > table[i - 1][j]) {
                loaded[i] = 1;
                j = j - weight[i];
            } else {
                loaded[i] = 0;
            }
        System.out.println(Arrays.toString(loaded));
        return table[n][capacity];
    }

    public static void main(String[] args) {
        // 商品编号从1开始
        int[] weight = {0, 2, 12, 1, 1, 4};
        int[] value = {0, 2, 4, 2, 1, 10};
        // 物品数量
        int n = weight.length - 1;
        int capacity = 15;
        // [0, 1, 0, 1, 1, 1]
        // 15
        System.out.println(knapsack01(weight, value, n, capacity));
    }
}