信号与系统

whye

信号

信号的分类

确定信号与不确定信号

确定信号

可以用函数表示的信号

不确定信号

不能用确定的函数表示，只能知道它的统计学性质。

连续信号和离散函数

连续信号通过取样成为离散信号

离散-》连续：零阶保持/分段线性

连续函数

定义域是连续的

如果函数值也连续，则称为模拟信号

离散函数

定义域是离散的

取值离散时称为数字信号

对于定义点等间隔的称为序列，其中自变量k称为序号。离散时间信号记f(kT)，也做f(k)

周期和非周期信号

两个周期信号合成后是否是周期信号

连续信号

如果信号的周期之比T1/T2都是有理数，那么合成信号周期为子信号的最小公倍数。如果多个信号
$T = m_iT_i; m_i = w_i/W(w的最小公倍数)$
如果信号周期之比是无理数，则合成信号是非周期信号。

离散信号

$f(k) = f(k+mN);m = ...,-1, 0, 1,...$

判断离散信号是否是周期信号：判断相应连续函数周期是否为有理数

周期序列之和一定是周期序列

能量信号与功率信号

将信号f(t)施加在1欧姆电阻上，他所消耗的瞬时功率为|f(t)|的平方，定义能量和平均功率信号为
$E = \int_{-\infty}^{+\infty}|f^2(t)|dt \qquad P = \lim_{T->\infty}\frac1T\int_{-\frac T2}^{+\frac T2}|f^2(t)|dt$
能量有限信号：E<无穷 P=0

功率有限信号：p<无穷 E=无穷

时限信号：在有限范围不为零
周期信号属于功率信号
非周期信号可能是能量信号也可能是功率信号
有些信号既不是能量信号也不是周期信号，如指数函数

因果信号的反因果信号

因果信号：t=0时接入信号，即t<0时f(t)<0

反因果信号：t>=0时，f(t)=0的信号（除0信号）

基本信号

阶跃信号

t>0时为1称为单位阶跃函数
$\xi(t)=\{_{0\qquad t<0}^{1\qquad t>0}$

可以表示分段信号

$f(t)=2\xi(t)-3\xi(t-1)+\xi(t-2)$

表示区间

$g(t)=f(t)[\xi(t-t_1)-\xi(t-t_2)]$

积分

$\int_{-\infty}^t\xi(t)dt=t\xi(t)$

冲激函数

阶跃函数的导数
$\sigma(t)=\frac {d\xi(t)}{dt}\qquad\xi(t)=\int_{-\infty}^{t}\sigma(t)dt$
高度无穷大，宽度无穷小，面积为1的对称窄脉冲。高度用（1）表示。

冲激函数可以描述断点处的导数，称为奇异函数

冲激函数在广义函数中的定义
$\int_{-\infty}^{+\infty}\sigma(t)\psi(t)dt=\psi(0) \\ 有\int_{-\infty}^{t}\sigma(t)\psi(t)dt=\psi(0)\xi(t)$
冲激函数\sigma(t)作用与检验函数\psi(t)的结果是赋值为\psi(0)，称为冲激函数的取样性质，即
$\psi(t)\sigma(t)=\psi(0)\sigma(t)$
注意积分区间是否包含积分时刻t=0

同理有
$\psi(t)\sigma(t-a)=\psi(a)\sigma(t-a)$

函数定义

普通函数

y=f(t)，将一维实数空间的数t经过f所规定的运算映射为一维实数空间的数y。

广义函数

选择一类性能良好的函数\psi(t)作为检验函数（相当于自变量），一个广义函数g(t)对检验函数空间中的每个函数\psi(t)赋予一个数值N的映射，记
$N_g(\psi(t))=\int_{-\infty}^{+\infty}g(t)\psi(t)dt$

冲激函数的导数

\sigma'(t)称为冲激偶
$[f(t)\sigma(t)]'=f(t)\sigma'(t)+f'(t)\sigma(t)\\ f(t)\sigma'(t)=[f(t)\sigma(t)]'-f'(t)\sigma(t)\\ f(t)\sigma'(t)=[f(0)\sigma(t)]'-f'(0)\sigma(t)\\ f(t)\sigma'(t)=f(0)\sigma'(t)-f'(0)\sigma(t)$
\sigma'(t)的定义
$\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\sigma'(t)dt=-f'(0)$
为什么用上面推导的式子积分结果比定义式多了一项，因为\sigma(t)是偶函数，他的导数\sigma'(t)是一个奇函数，在0的对称区间上积分为0

同理有
$\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\sigma'(t-a)dt=-f'(a)$
对n阶导数的推广
$\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\sigma^{(n)}(t)dt=(-1)^nf^{(n)}(0)$

冲激函数的尺度变化

注意，冲激函数的尺度变化时，冲击强度也要变化

一般的，有
$\sigma(at)=\frac{1}{|a|}\sigma(t)\\ \sigma^{(n)}(at)=\frac{1}{|a|a^n}\sigma^{(n)}(t)$

$对于a>0，有\\ \int_{-\infty}^{+\infty}\sigma(at)\psi(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}\sigma(x)\psi(\frac{x}a)\frac{dx}{|a|}=\frac1{|a|}\psi(0)\\a<0同理$

同理有
$\sigma(at-t_0)=\sigma[a(t-\frac{t_0}a)]=\frac1{|a|}\sigma(t-\frac{t_0}a)$

$当a=-1时，有\\ \sigma^{(n)}(-t)=(-1)^n\sigma^{(n)}(t)$

基本序列

单位阶跃序列和单位脉冲序列

和信号类似
$\xi(k)=\{_{0\qquad k<0}^{1\qquad k\geq0} \\ \sum_{k={-\infty}}^{k}f(k)\sigma(k-k_0)=f(k_0)\sigma(k-k_0)$
注意节约序列k=0是取值为1
$\sigma(k)=\xi(k)-\xi(k-1) \\ \xi(k)=\sum_{i=-\infty}^k\sigma(i) \\ or \\ \xi(k)=\sum_{j=0}^k\sigma(k-j)$

加减乘运算和反转

同一t和k进行加减乘

反转

由f(t)得到f(-t)

以y轴为对称轴做镜像处理

注意平移和反转都是对变量t进行操作
$先反转再平移\\\qquad f(t)->f(-t)->f(-(t-2)) \\ 先平移再反转\\\qquad f(t)->f(t+2)->f(-t+2)$

尺度变化

$f(t)->f(at)\\ a>1，收缩\\ 0<a<1，展开$

系统

信号定义：由若干相关事物组合而成具有特定功能的整体。

给定一个输入（激励），产生一个输出（响应）

系统的作用：将激励进行加工和处理，产生需要的输出。

集中参数系统：电路尺寸<<波长

分布参数系统：电路尺寸与波长相近，如微波线路

系统的状态：可能会被过去的输入所影响。由状态和输入就可以产生输出。

输入和状态都会对输出产生响应，因此有了零输入响应、零状态响应和全响应。

线性和非线性系统

线性：齐次性、可加性
$齐次性：y(af(t))=ay(f(t)) \\ 可加性：y(f_1(t)+f_2(t))=y(f_1(t))+y(f_2(t)) \\ 即\\ y(af_1(t)+bf_2(t))=ay(f_1(t))+by(f_2(t))$
记忆系统：响应会被过去的状态影响的系统

对于一个即时系统，可由上面的方式判断是否线性，对于一个记忆系统，可将其分为零状态和零输入
$完全响应：y(t)=T[\{f(t)\},\{x(0)\}] \\ 零状态：y_{zs}(t)=T[\{f(t)\},\{0\}] \\ 零输入：y_{zi}(t)=T[\{0\},\{x(0)\}]$
注意f代表激励，x代表状态，t代表时间

动态系统的线性判断：

可分解性：可以分解为零输入响应和零状态响应的和
零状态线性
零输入线性

时变系统和时不变系统

时不变系统：输入延迟多久，那么输出也延迟多久，即系统不随时间改变
$y(f(t+t_0))=y_{t+t_0}$
例
$y_{zs}(t)=f(-t)\\ 令g(t)=f(t-t_0)\\ T[g(t),\{0\}]=g(-t)=f(-t-t_0)\neq y_{zs(t-t_0)}\\ 即反转系统为时变系统$
理解f是输入，t是时间是关键。

简单判断方式：

如果在输入前出现变系数，或者时间上存在反转、展缩变换，那么为时变系统。

线性时不变系统称为LTI系统

积分特性和微分特性

微分特性
$y(f(t))=y(t)，有\\ y(f'(t))=y'(t)$
积分特性：
$y(f(t))=y(t)，有\\ y(f^{(-1)}(t))=y^{(-1)}(t)$

因果系统与非因果系统

因果系统：零状态响应不会出现在响应的激励之前的系统

例
$y(f(t))=f(t-1)$
非因果系统：零状态响应会出现在响应的激励之前的系统，即响应为未来的激励

例
$y(f(t))=f(t+1)，即y(f(1))=f(2)\\ y(f(t))=f(2t)，即y(f(1))=f(2)$

解LTI系统

例
$某LTI因果连续系统，初始状态为X(0\_)。已知：\\ 若X(0\_)=1，输入因果信号f_1(t)时，全响应为\\ y_1(t)=e^{-t}+cos(\pi t)，t>0；\\ 若X(0\_)=2，输入因果信号f_2(t)=3f_1(t)时，全响应为\\ y_2(t)=-2e^{-t}+3cos(\pi t)，t>0；\\ 求全响应和f_3(t)=f'_1(t)+2f_1(t-1)时，系统的零状态响应\\ 解：\\ 由于系统为LTI连续因果系统，有y=y_{zs}+y_{zi}\\ y=y_{zi}(x)+y_{zs}(f)\\ 即\\ y_1=y_{zi}(X(0\_))+y_{zs}(f_1(t))=y_{zi}(1)+y_{zs}(f_1)\\ y_2=y_{zi}(X(0\_))+y_{zs}(f_2(t))=y_{zi}(2)+y_{zs}(3f_1(t))=2y_{zi}(1)+3y_{zs}(f_1)\\ 即可解得y_{zi}和y_{zs}，y=y_{zi}+y_{zs}\\ y_{zs}=[-4e^{-t}+cos(\pi t)]\xi(t)；乘上\xi(t)表示因果系统\\ 那么y_{zs}(f'_1(t))=y'_{zs}(f_1(t))=-3\sigma(t)+[4e^{-t}-\pi sin(\pi t)]\xi(t)$
注意因果系统中，要在结果中乘上\xi(t)。

连续系统的时域分析

LTI系统的响应

加法器、乘法器、积分器

求和器表示了等式关系，从框图写出方程要从求和器开始。

求微分方程经典解

：齐次解+特解
$齐次解：\\ a_ny^{(n)}(t)+...+a_1y^{(1)}(t)=0\\ 有特征根方程\\ a_n\lambda^n+...+a_1\lambda^1=0\\ 解得根\lambda_n,...,\lambda_1\\ 每个\lambda构成一个解，每个解求和得到齐次解\\ 每个解得形式和根有关\\ 对于单根\lambda_k=r，解为Ce^{rt}\\ 对于二重根\lambda_m=\lambda_n=r，解为(C_1t+C_2)e^{rt}\\ 特解：\\ f(t)=t^m，特解形式为P_mt^m+P_{m-1}t^{m-1}+...+P_0\\ f(t)=e^{\alpha t}，特解形式为：\\ Pe^{\alpha t}\qquad \alpha 不等于特征根\\ (P_1t+P_0)e^{\alpha t}\qquad \alpha 等于单重特征根\\ (P_rt^r+...+P_1t+P_0)e^{\alpha t}\qquad \alpha 等于r重特征根$

齐次解由系统本身的性质确定与输入的激励无关，称为自由响应/固定响应；特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应。

求初值

$已知微分方程，y(0_-),y'(0_-)，求y(0_+),y'(0_+)或者反过来给出y(0_+)求y(0_-)\\ 例：y''(t)+3y'(t)+2y(t)=2f'(t)+6f(t)\\ y(0_-)=2\qquad y'(0_-)=0\qquad f(t)=\xi(t)\\ 求y(0_+)和y'(0_+)\\ 第一步：带入f(t),得\\ y''(t)+3y'(t)+2y(t)=2\sigma(t)+6\xi(t)\\ 方程右侧含有\sigma(t)那么方程左边最高阶导数中也含\sigma(t)\\ 因此y''(t)含\sigma(t)，y'(t)含\xi(t)，y(t)连续\\ 第二步：对方程两边同时在(0_-,0_+)上积分,得：\\ y'(0_+)-y'(0_-)+3y(0_+)-3y(0_-)+2Y(0_+)-2Y(0_-)=2\xi(0_+)-2\xi(0_-)\\ 由于只有y''(t)中含\sigma(t)，因此只有y'(t)在t=0处发生阶跃，得\\ y(0_-)=y(0_+),Y(0_-)=Y(0_+)，带入原方程，有\\ y'(0_+)-y'(0_-)=2,y'(0_+)=2\\ y(0_-)=y(0_+)=2$

零输入响应

和输入没关系，由状态产生，因此y_zi(0+)=y(0-),f(t)=0,求零输入响应也就是求状态为y(0-)的齐次解，解出零输入响应后要注明t>0。

零状态响应

和状态无关，即y_zs(0-)=y_zs'(t)=0，再求经典解即可。同样注明t>0，使\sigma(t)=0，\xi(t)=1

响应分类：

固有/自由响应：齐次解产生的响应，和特征根有关的响应
强迫响应：特解产生的响应
暂态响应：时间趋近于无穷大的时候，响应趋近于0的响应
稳态响应：稳定的响应如周期响应和阶跃响应

冲激响应

h(t),由单位冲激信号产生的零状态响应
$y''(t)+5y'(t)+6y(t)=f''(t)+2f'(t)+3f(t),f(t)=\sigma(t)\\ 分为两步：\\ x''(t)+5x'(t)+6x(t)=f(t)\\ y(t)=x''(t)+2x'(t)+3x(t)\\ 依次求解即可\\ 这里求解时$

阶跃响应

g(t),由单位阶跃信号产生的零状态响应
$两种解法，法一和冲激响应相同\\ 法二：\\ \xi(t)=\int_{-\infty}^t\sigma(\tau)d\tau\qquad \sigma(t)=\xi'(t)\\ 可以直接使用冲激/阶跃响应通过积分/微分求出另一个$

卷积

信号分解：将f(t)分解为基本信号的组合

卷积：将普通信号分割为无穷份，再积分
$\hat{f}(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}f(n\Delta)\Delta p(t-n\Delta)\\ \lim_{\Delta \to 0} \hat{f}(t)=f(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)\sigma(t-\tau)d\tau=f(t)*\sigma(t)\\ 将f(t)*\sigma(t)定义为卷积运算\\ \sigma(t)产生的响应为h(t)\\ 那么f(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)\sigma(t-\tau)d\tau产生的零状态响应y_{zs}=\int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)h(t-\tau)d\tau\\ =f(t)*h(t)$
卷积积分的严格定义
$已知定义在区间(-\infty,+\infty)上的两个函数f_1(t)和f_2(t)，则定义积分\\ f(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_1(\tau)f_2(t-\tau)d\tau\\ 为f_1(t)与f_2(t)的卷积积分，记\\ f_1(t)*f_2(t)\\ 有f_1(t)*f_2(t)=f_2(t)*f_1(t)$
卷积图解法

傅里叶变换和频率分析

信号正交的定义
$在(t_1,t_2)区间内定义的；两个函数\psi_1(t),\psi_2(t)，若满足\\ \int_{t_1}^{t_2}\psi_1(t)\psi_2^*(t)dt=0\\ 就认为\psi_1(t)和\psi_2(t)内积为0\\ 即\psi_1(t)和\psi_2(t)在(t_1,t_2)内正交\\ 其中\psi^*(t)表示\psi(t)的共轭函数，实函数的共轭函数就是它本身$

正交函数集

若n个函数在(t_1,t_2)区间内任意两个函数都正交，则称此函数集为区间(t_1,t_2)上的正交函数集。

标准正交函数集

若一个正交函数集中的任意一个函数与自身的内积为1，则称该函数集为标准正交函数集。

完备正交函数集

在一个正交函数集外，不存在一个不为0的函数满足该函数与该函数集中任意一个函数正交，则称这个函数集为完备正交函数集。
$两个典型的在区间(t_0,t_0+T)(T=2\pi/\Omega )上的完备正交函数集\\ 三角函数集：\{1, cos(n\Omega t), sin(n\Omega t), n=1,2,3...\}\\ 虚指数函数集：\{e^{jn\Omega t}, n=0,-1,1,-2,2...\}$

信号的分解

$对于一个(t_1,t_2)上的正交实函数集\{\psi_1(t), \psi_2(t),... \}\\ 可以将任意函数分解为该函数集中函数的正交和\\ f(t)=C_1\psi_1(t)+C_2\psi_2(t)+...+C_j\psi_j(t)+...=\sum_{j=1}^\infty C_j\psi_j(t)\\ 如何确定每一个系数C，由矢量分解推广\\ C_j=\frac{\int_{t_1}^{t_2}f(t)\psi_j(t)d(t)}{\int_{t_1}^{t_2}\psi_j^2(t)dt}=\frac 1 {K_j}\int_{t_1}^{t_2}f(t)\psi_j(t)dt\\ 其中K_j=\int_{t_1}^{t_2}\psi_j^2(t)dt，对于一个标准正交函数集，K_j=1\\ 分解的项数越多，均方误差越小，若n->\infty，则均方误差=0\\ 上述分解得到的级数称为广义傅里叶级数，系数C称为广义傅里叶系数$

周期信号的傅里叶级数

三角形式的傅里叶级数

$设周期信号f(t)，其周期为T，角频率\Omega=2\pi/T\\ 当它满足狄里赫利条件时，它可以分解为如下的傅里叶级数\\ f(t)=\frac {a_0}2+\sum_{n=1}^\infty a_ncos(n\Omega t)+\sum_{n=1}^\infty b_nsin(n\Omega t)\\ 狄里赫利条件：\\ 在一个周期内，函数只存在有限个第一类间断点和极值点，且在一周期内函数绝对可积\\ 其中直流分量\frac {a_0} 2=\frac 1 T\int_{-\frac T 2}^{\frac T 2}f(t)dt\\ 余弦分量系数a_n=\frac 2 T\int_{-\frac T 2}^{\frac T 2}f(t)cos(n\Omega t)dt\\ 正弦分量系数b_n=\frac 2 T\int_{-\frac T 2}^{\frac T 2}f(t)sin(n\Omega t)dt\\ 由辅助角公式有：\\ f(t)=\frac {A_0} 2+\sum_{n=1}^\infty A_ncos(n\Omega t+\psi_n)$

指数形式的傅里叶级数

$由欧拉公式将三级形式的傅里叶级数变换为指数形式的傅里叶级数\\ f(t)=\frac 1 2\sum_{n=-\infty}^\infty A_ne^{j\psi_n}e^{jn\Omega t}=\sum_{n=-\infty}^\infty F_ne^{jn\Omega t}\\ F_n=\frac 1 2A_ne^{j\psi_n}=\frac 1 2(a_n-jb_n)=\frac 1 T\int_{-\frac T 2}^{\frac T 2}f(t)e^{-jn\Omega t}dt\\ F_n称为复傅里叶系数$

两种傅里叶级数的转换

$三角到指数\\ F_n=\frac 1 2(a_n-jb_n)\\ 指数到三角\\ A_n=2|F_n|\\ \psi_n=\psi_n$

周期信号的频谱

振幅/相位在频率上的函数，称为振幅谱/相位谱，自变量为

三角形式中的n取值为n>0，那么频谱图分布在正半轴，称为单边谱，指数形式中n取值为负无穷到正无穷，称为双边谱

单边谱：
$f(t)=\frac {A_0} 2+\sum_{n=1}^\infty A_ncos(n\Omega t+\psi_n)$
双边谱：
$f(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty F_ne^{jn\Omega t}$
关系
$|F_n|=\frac 1 2A_n\\ \psi_n=-arctan \frac {b_n} {a_n}\\ |F_n|是n的偶函数，双边谱的高度是单边谱的一半；但是直流分量不变\\ \psi_n是n的奇函数，双边相位谱由单边相位谱直接关于零点对称$

parseval等式

$\frac 1 T\int_0^Tf^2(t)dt=(\frac {A_0} 2)^2+\sum_{n=1}^\infty\frac 1 2A_n^2=\sum_{n=-\infty}^\infty|F_n|^2$

傅里叶变换

$对于周期信号，有F_n=\frac 1 T\int _{-\frac T 2}^{\frac T 2}f(t)e^{-jn\Omega t}dt\\ 对于非周期信号，其周期T->\infty，F_n->0\\ \Omega->d\omega\qquad n\Omega->\omega\\ 引入一个新的函数：频谱密度函数\\ F(j\omega)=\lim_{T \to \infty}F_nT\\ 其含义为单位频率上的频谱数量\\ F(j\omega)=\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-j\omega t}dt\\ 即傅里叶变换\\ F(j\omega)一般为复函数，因此记作\\ F(j\omega)=|F(j\omega)|e^{j\psi(\omega)}\\ 其中|F(j\omega)|~\omega称为幅度频谱，是\omega的偶函数\\ \psi(\omega)~\omega称为相位频谱，是\omega的奇函数$

$反傅里叶变换\\ f(t)=\frac 1 {2\pi}\int_{-\infty}^\infty F(j\omega)e^{j\omega t}d\omega$

几个常见函数的傅里叶变换

$f(t)=\{_{0, |t|>\frac \tau 2}^{1,|t|<\frac \tau 2}=g_\tau(t)\\ F(j\omega)=\tau Sa(\frac {\omega \tau}2)=\frac 2 \omega sin(\frac {\omega t} 2)$

$f(t)=\sigma(t)\qquad F(j\omega)=1\\ f(t)=1\qquad F(j\omega)=2\pi\sigma(\omega)\\ f(t)=\xi(t)\qquad F(j\omega)=\pi\sigma(\omega)+\frac 1{j\omega}\\ f(t)=sgn(t)\qquad F(j\omega)=\frac 2 {j\omega}\\ f(t)=\sigma'(t)\qquad F(j\omega)=j\omega$

性质

线性

$若f_1(t)<->F_1(j\omega),f_2(t)<->F_2(j\omega)\\ 则af_1(t)+bf_2(t)<->aF_1(j\omega)+bF_2(j\omega)$

奇偶性

$若f(t)<->F(j\omega)\\ 则f(-t)<->F(-j\omega)$

对称性

$若f(t)<->F(j\omega)\\ 则F(jt)<->2\pi f(-\omega)$

尺度变化

$若f(t)<->F(j\omega)\\ 则f(at)<->\frac 1 {|a|}F(j\frac \omega a)\\ 其中a为非0实数$

时移特性

$若f(t)<->F(j\omega)\qquad 则f(t+t_0)<->e^{+j\omega t_0}F(j\omega)\\ 若F(j\omega)=|F(j\omega)|e^{j\psi(\omega)}\qquad则f(t+t_0)<->|F(j\omega)|e^{j[\psi(\omega)+\omega t_0]}\\ 时移不影响幅度只影响相位，相位频谱相移\omega t$

频移性质

$若f(t)<->F(j\omega)\\ 则e^{-j\omega_0t}f(t)<->F(j(\omega+\omega_0))\\ 其中\omega_0为常实数$

卷积定理

时域卷积定理

$若f_1(t)<->F_1(j\omega)\qquad f_2(t)<->F_2(j\omega)\\ 则f_1(t)*f_2(t)<->F_1(j\omega)F_2(j\omega)$

频域卷积定理

$若f_1(t)<->F_1(j\omega)\qquad f_2(t)<->F_2(j\omega)\\ 则f_1(t)f_2(t)<->\frac 1 {2\pi}F_1(j\omega)*F_2(j\omega)$

时域微积分特性

$若f(t)<->F(j\omega)\\ 则f^{(n)}(t)<->(j\omega)^nF(j\omega)\\ \int_{-\infty}^tf(x)dx<->\pi F(0)\sigma(\omega)+\frac {F(j\omega)}{j\omega}\\ 其中F(0)=F(j\omega)|_{\omega=0}\int_{-\infty}^\infty f(t)dt$

频域微积分性质

$若f(t)<->F(j\omega)\\ 则(-jt)^nf(t)<->F^{(n)}(j\omega)\\ \pi f(0)\sigma(t)+\frac {f(t)}{-jt}<->\int_{-\infty}^\omega F(jx)dx\\ 其中f(0)=\frac 1 {2\pi}\int_{-\infty}^\infty F(j\omega)d\omega$

能量谱

$时间(-\infty,+\infty)上信号的能量\\ E=\lim_{T \to \infty}\int_{-T}^T|f(t)|^2dt\\ 若能量有限，即0<E<\infty，则称该信号为能量信号\\ 有帕斯瓦尔方程：\\ E=\lim_{T \to \infty}\int_{-T}^T|f(t)|^2dt=\int_{-\infty}^\infty|f(t)|^2dt=\frac 1 {2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|F(j\omega)|^2d\omega\\ 有能量密度谱： E(\omega)=|F(j\omega)|^2\\ 即能量有限信号的能量谱E(\omega)与自相关函数R(\tau)是一对傅里叶变换$

功率谱

$P=\lim_{T \to \infty}\frac 1 T\int_{-\frac T 2}^{\frac T 2}|f(t)|^2dt\\ 若功率有限，即0<P<\infty，则称该信号为功率信号$

周期信号的傅里叶变换

正余弦的傅里叶变换

$1<->2\pi \sigma(\omega)\\ e^{j\omega_0t}<->2\pi\sigma(\omega-\omega_0)\qquad e^{-j\omega_0}<->2\pi\sigma(\omega+\omega_0)\\ cos(\omega_0t)=\frac 1 2(e^{j\omega_0t}+e^{-j\omega_0t})<->\pi[\sigma(\omega-\omega_0)+\sigma(\omega+\omega_0)]$

一般信号的傅里叶变换

$f_T(t)<->2\pi\sum_{n=-\infty}^{\infty}F_n\sigma(\omega-n\Omega)$

LTI系统的频域分析

基本信号e^{j\omega t}作用于LTI系统的响应

$傅里叶分析：将任意信号分解为无穷多项不同频率的虚指数函数之和\\ 周期信号：f(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty F_ne^{jn\Omega t}\qquad基本信号e^{jn\Omega t}\\ 非周期信号：f(t)=\frac 1 {2\pi}\int_{n=-\infty}^\infty F(j\omega)e^{j\omega t}d\omega\\ 频域分析中，基本信号的定义域为(-\infty,\infty)，而t=-\infty时总可认为系统状态为0\\ 因此此时的响应均为零状态响应$

$设LTI系统的冲激响应为h(t)，当激励时脚本里\omega的基本信号e^{j\omega t}时，其相应为\\ y(t)=h(t)*e^{j\omega t}\\ y(t)=H(j\omega)e^{j\omega t}\\ 其中H(j\omega)为h(t)的傅里叶变换，称为系统的频率响应函数$

一般信号f(t)作用于LTI系统的响应

$f(t)<->y(t)={\scr F^{-1}}[F(j\omega)H(j\omega)]<->F(j\omega)H(j\omega)$

傅里叶变换分析法（重点）

$一个f(t)，经过一个LTI系统，产生一个y(t)，如何计算y(t)\\ 求出输入f(t)的傅里叶变换F(j\omega)\\ 求出系统函数H(j\omega)\\ 求零状态响应y(t)的傅里叶变换Y(j\omega)=F(j\omega)H(j\omega)\\ 求Y(j\omega)的傅里叶逆变换y(t)={\scr F^{-1}}[F(j\omega)H(j\omega)]\\ 对于非周期信号，{\scr F}(f(t))=\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-j\omega t}dt\\ {\scr F^{-1}}(F(j\omega))=\frac 1 {2\pi}\int_{-\infty}^\infty F(j\omega)e^{j\omega t}d\omega\\$

$对于周期信号，有傅里叶级数法：\\ f_T(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty F_ne^{jn\Omega t}\\ y(t)=h(t)*f_T(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty F_n[h(t)*e^{jn\Omega t}]=\sum_{n=-\infty}^\infty F_nH(jn\Omega)e^{jn\Omega t}\\ 若f_T(t)=\frac {A_0}2+\sum_{n=1}^\infty A_ncos(n\Omega t+\psi_n)\qquad H(j\omega)=|H(j\omega)|e^{j\theta(\omega)}\\ 则有： y(t)=\frac {A_0}2H(0)+\sum_{n=1}^\infty A_n|H(jn\Omega)|cos[n\Omega t+\psi_n+\theta(n\Omega)]$

取样

通过周期脉冲序列在连续信号上抽取出一系列离散样本值的过程称为取样，经过取样得到的信号称为取样信号。

冲激取样

通过周期为T的冲激信号s(t)进行取样，是理想的取样方式
$s(t)=\sigma_{T_s}=\sum_{n=-\infty}^\infty \sigma(t-nt_s)<->\omega_s\sigma_{\omega_s}(\omega)=\omega_s\sum_{n=-\infty}^\infty \sigma(\omega-n\omega_s)\\ \omega_s=\frac {2\pi}{T_s}\\ F_s(j\omega)=(\frac 1{2\pi})F(j\omega)*\omega_s\sigma_{\omega s}(\omega)=\frac 1 {T_s}\sum_{n=-\infty}^\infty F[j(\omega-n\omega_s)]$

矩形取样

通过周期为T的矩形脉冲序列p(t)进行取样，称为矩形脉冲取样。
$s(t)=p_{T_s}(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty g_\tau(t-nT_s)\\ S(j\omega)=P(j\omega)=\frac {2\pi\tau}{T_s}\sum_{n=-\infty}^\infty Sa(\frac {n\omega_s\tau}2)\sigma(\omega-n\omega_s)\\ \omega_s=\Omega=\frac {2\pi}T\\ F_s(j\omega)=\frac 1 {2\pi}F(j\omega)*\frac {2\pi\tau}{T_s}\sum_{n=-\infty}^\infty Sa(\frac {n\omega_s\tau}2)\sigma(\omega-n\omega_s)\\ =\frac \tau T_s\sum_{n=-\infty}^\infty Sa(\frac {n\omega_s\tau}2)F[j(\omega-n\omega_s)]$

时域取样定理

频域取样定理

连续系统的s域分析

拉普拉斯变换

定义：对于一些不满足绝对可积的函数，不能求傅里叶变换，那么选择一个合适的衰减因子e^{-\sigma t}乘以信号f(t)，使f(t)可积，从而使f()e^{-\sigma t}得傅里叶变换存在。
$F_b(\sigma+j\omega)={\scr F}[f(t)e^{-\sigma t}]=\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-\sigma t}e^{-j\omega t}dt=\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-(\sigma+j\omega)t}dt\\ 相应的傅里叶逆变换\\ f(t)e^{-\sigma t}=\frac 1 {2\pi}\int_{-\infty}^\infty F_b(\sigma+j\omega)e^{j\omega t}d\omega\\ f(t)=\frac 1 {2\pi}\int_{-\infty}^\infty F_b(\sigma+j\omega)e^{(\sigma+j\omega)t}d\omega\\ 令s=\sigma+j\omega，d\omega=ds/j，有\\ F_b(s)=\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-st}dt\\ f(t)=\frac 1{2\pi j}\int_{\sigma-j\infty}^{\sigma+j\infty}F_b(s)e^{st}ds\\ 分别称为双边拉普拉斯变换和双边拉普拉斯反变换，合称为双边拉普拉斯变换对$

收敛域

使f(t)拉氏变换存在的\sigma取值范围
$对于因果信号f(t)=e^{\alpha t}\xi(t)，它的\sigma取值为\sigma>\alpha，收敛于\frac 1 {s-\alpha}\\ 对于反因果信号f(t)=e^{\beta t}\xi(-t)，它的\sigma取值为\sigma<\beta，收敛于\frac 1{-(s-\beta)}\\ 记Re(s)为求收敛域运算\\ 一个f(t)可能对应多个不同收敛域的F_b(s)\\ 通过F_b(s)和收敛域可以和f(t)建立一一对应的关系$

单边拉普拉斯反变换

对于t<0,f(t)=0的函数，有单边拉氏变换：
$F(s)=\int_{0_-}^\infty f(t)e^{-st}dt\\ f(t)=[\frac 1{2\pi j}\int_{\sigma-j\infty}^{\sigma+j\infty}F_b(s)e^{st}ds]\xi(t)\\ 单边拉氏变换中，f(t)和F(s)是一一对应的$

拉普拉斯变换的性质

$若f_1(t)<->F_1(s)\qquad Re(s)>\sigma_1\\ f_2(t)<->F_2(s)\qquad Re(s)>\sigma_2\\ f(t)<->F(s)\qquad Re(s)>\sigma\\ 线性：\\ a_1f_1(t)+a_2f_2(t)<->a_1F_1(s)+a_2F_2(s)\qquad Re(s)>max(\sigma_1,\sigma_2)\\ 尺度变换：\\ f(at)<->\frac 1 aF(\frac s a)\qquad Re(s)>a\sigma\\ 时移：\\ 对t_0>0，有\\ f(t-t_0)\xi(t-t_0)<->e^{-st_0}F(s)，Re(s)>\sigma\\ 复频域特性：\\ 对复常数s_a=\sigma_a+j\omega_a，有\\ f(t)e^{s_at}<->F(s-s_a)\qquad Re(s)>\sigma+\sigma_a\\ 时域微分：\\ f'(t)<->sF(s)-f(0_-)\qquad Re(s)>\sigma\\ 时域积分：\\ 对于因果信号，若f^{(n)}(t)<->F(s)\\ 则f(t)<->\frac {F(s)}{s^n}\\ s域微分积分：\\ -tf(t)<->\frac {dF(s)}{ds}\\ \frac {f(t)}t<->\int_s^\infty F(\eta)d\eta\\ 时域卷积定理：\\ f_1(t)*f_2(t)<->F_1(s)F_2(s)\\ 复频域卷积定理：\\ f_1(t)f_2(t)<->\frac 1 {2\pi j}\int_{c-j\infty}^{c+j\infty}F_1(\eta)F_2(s-\eta)d\eta\\ 初值定理：\\ 若f(t)不含\sigma(t)及其各阶导数，那么有：\\ f(0_+)=\lim_{t \to 0_+}f(t)=\lim_{s \to \infty}sF(s)\\ 终值定理：\\ 若f(t)当t->\infty时存在，且\sigma<0，那么有：\\ f(\infty)=\lim_{s\to0}sF(s)$

拉普拉斯逆变换

$对于一个有理分式F(s)，有：\\ F(s)=\frac{a_ms^m+...+a_0s^0}{b_ns^n+...+b_0s^0}\\ 若m>=n，即F(s)为假分式，有：\\ F(s)=P(s)+\frac{B(s)}{A(s)}\\ P(s)可以反变换后由冲激函数组成，这里讨论\frac{B(s)}{A(s)}的反变换\\ 首先令A(s)=0，求出n个特征根，这n个特征根p_i称为F(s)的极点\\ 若F(s)没有重根，那么有\\ \frac{B(S)}{A(S)}=\frac{K_1}{s-p_1}+\frac{K_2}{s-p_2}+...+\frac{K_i}{s-p_i}+...+\frac{K_n}{s-p_n}\\ K_i=(s-p_i)F(s)|_{s=p_i}\qquad {\scr L}^{-1}[\frac 1{s-p_i}]=e^{p_it}\xi(t)$

复频域分析

微分方程的变换解

$第一步：两边同时取拉氏变换\\ 求出Y_{zs}和Y_{zi}\\ 逆变换求出y_{zs}和y_{zi}$

系统函数

$H(s)=\frac{Y_{zs}(s)}{F(s)}=\frac{B(s)}{A(s)}\\ 它只与系统的固有特性有关，与输入、初始状态无关\\ H(s)={\scr L}[h(t)]$

系统函数

$对于系统函数H(s)=\frac{B(s)}{A(s)}，\\ A(s)=0的解称为系统的极点\\ B(s)=0的解称为系统的零点$

若系统函数的极点在左半开平面

t->\infty时，响应趋近于0，属于暂态响应
单极点在虚轴上p=0或p=+-j\beta

稳态响应
r重极点在虚轴上

递增函数
极点在右半平面

递增函数

稳定系统的判断

三个充要条件
- 绝对可积
- 极点都在左半平面
- 收敛域包含虚轴
一个必要条件
$H(s)=\frac{B(s)}{A(s)}\\ A(s)=a_ns^n+...+a_0s^0\\ 要求a_i>0$

流图

节点：变量/信号
支路：有向线段
支路增益：支路上的放大倍数
源点：只有支出没有汇入的点
汇点：只有汇入没有支出的点
通路：路径
闭通路：环
不接触回路：没有公共节点的回路
前向通路：从源点到汇点的开通路

梅森公式
$H(s)=\frac 1 \Delta\sum_{i}p_i\Delta_i\\ 其中i为前向通路数量\\ p_i为第i条通路的前向增益\\ \Delta=1-\sum_jL_j+\sum_{m,n}L_mL_n-...称为特征行列式 \\ L_j为为第i条回路的增益，L_mL_n为两条不相交回路的增益积 \Delta_i为第i条通路的剩余特征行列式$

零极点配置的作用

极点增益作用
零点抑制作用

信号与系统

信号

信号的分类

确定信号与不确定信号

确定信号

不确定信号

连续信号和离散函数

连续函数

离散函数

周期和非周期信号

连续信号

离散信号

能量信号与功率信号

因果信号的反因果信号

基本信号

阶跃信号

冲激函数

函数定义

普通函数

广义函数

冲激函数的导数

冲激函数的尺度变化

基本序列

单位阶跃序列和单位脉冲序列

加减乘运算和反转

反转

尺度变化

系统

线性和非线性系统

时变系统和时不变系统

积分特性和微分特性

因果系统与非因果系统

解LTI系统

连续系统的时域分析

LTI系统的响应

求微分方程经典解

求初值

零输入响应

零状态响应

响应分类：

冲激响应

阶跃响应

卷积

傅里叶变换和频率分析

信号的分解

周期信号的傅里叶级数

三角形式的傅里叶级数

指数形式的傅里叶级数

两种傅里叶级数的转换

周期信号的频谱

parseval等式

傅里叶变换

几个常见函数的傅里叶变换

性质

线性

奇偶性

对称性

尺度变化

时移特性

频移性质

卷积定理

时域卷积定理

频域卷积定理

时域微积分特性

频域微积分性质

相关定理

能量谱

功率谱

周期信号的傅里叶变换

正余弦的傅里叶变换

一般信号的傅里叶变换

LTI系统的频域分析

基本信号e^{j\omega t}作用于LTI系统的响应

一般信号f(t)作用于LTI系统的响应

傅里叶变换分析法（重点）

取样

冲激取样

矩形取样

时域取样定理

频域取样定理