蚂蚁橡皮筋问题

在喜马拉雅《大老李聊数学》栏目中听到一道比较反直觉的题目，很有意思。

有一根1m的橡皮筋，一只蚂蚁以1cm/s的速度从一头爬向另一头。但与此同时，橡皮经以1m/s的速度被拉长。问：蚂蚁最终能否达到另一头？如果能，需要多长时间？

第一感觉是不是觉得蚂蚁离终点会越来越远，永远不可能到达另一头？对不对呢，现在来看看怎么解吧。

图1

我们已知的不变的参数有3个，橡皮筋初始长度为 $l$ ，橡皮筋拉长速度为 $u$ ，蚂蚁速度为 $v$ 。如图1所示，我们以终点为参考点，那么起点就以速度 $u$ 向右运动，蚂蚁相对于其所在点的橡皮筋以速度 $v$ 向左运动。而蚂蚁的绝对速度我们设为 $V$ ，方向向左，很明显它与橡皮筋的总长度 $L$ 和蚂蚁到终点的距离 $S$ 的关系是 $V=v-\frac{S}{L} \ast u$ ，方向向左。代入 $L=l+ut$ 得到：

$V=v-\frac{S}{l+ut}*u$

我们的未知数就是两个与 $t$ 有关的函数 $S(t)$ 和 $V(t)$ ，而根据速度是距离的导数有（注意速度是往距离减小的方向，所以有负号）：

$\dot{S} =-V$

根据上两式，最终得到：

$\dot{S} -(\frac{u}{l+ut} )S+v=0$

这是一个一阶线性非齐次微分方程，解肯定是不会解的了。百度了一下，代入一大坨求根公式和初始条件（过程略），得到：

$S(t)=(1-\frac{v}{u} *\ln (\frac{l+ut}{l} ) )(l+ut)$

代入 $l=1$ ， $u=1$ ， $v=0.01$ 得

$S=(1-0.01\ln (1+t) )(1+t)$

蚂蚁到达终点之时，就是 $S(t)=0$ 时，解得

$t=e^{100} -1$

这个时间等于八千五百亿亿亿亿年，可以让宇宙重新来过五千亿亿亿遍，虽然有点长，但它终于还是到了！

上面这种方法是通常最容易想到的解题思路，下面来看看另一种更巧妙的思路，可以绕开复杂的数学计算。现在我们把蚂蚁的速度从“距离速度”m/s换作“百分比速度”%/s，即单位时间运动整个橡皮筋的百分比，那么总距离就是1。然后考虑到橡皮筋是均匀伸长的，假设蚂蚁走到橡皮筋10%的位置突然觉得累了，停住在原地休息，那么之后无论橡皮筋如何伸长，蚂蚁一直都会在10%的位置。也就是说，蚂蚁已完成的百分比不会随着时间变化，之后完成的部分只会在之前的部分上叠加。那么完成的总比例就是每个单位时间内完成的比例之和，即积分。

$t$ 时刻的百分比速度为蚂蚁相对橡皮筋的速度除以橡皮筋的总长度，即 $\frac{v}{l+ut}$ ， $t$ 时刻完成的总比例设为 $W(t)$ ，那么

$W(t)=\int_{0}^{t} \frac{v}{l+ut} dt=\frac{v}{u} *\ln (l+ut)$

代入 $l=1,u=1,v=0.01$

$W=0.01\ln(1+t)$

其实简单的理解就是速度为 $\frac{1}{t}$ ，路程为 $\ln t$

$W=1$ 时推出：

$t=e^{100} -1$

是不是计算简单很多。

分析 $W=0.01\ln(1+t)$ 可以知道，走开始的1%非常容易，只需要 $e-1$ 秒钟，之后每个1%都要付出比前一次多 $e$ 倍的时间。其实百分比速度 $\frac{v}{l+ut} \approx \frac{1}{100t}$ ，积分到1，就跟调和级数 $1+\frac{1}{2} +\frac{1}{3} +\frac{1}{4} +\cdot \cdot \cdot$ 要加多少项才能到100的情况是一致的。越到后面，想增加一点就越困难，但最终这个数列是发散的，可以加到任意大。在很长一段时间内，蚂蚁到终点的路程距离都在不断增大，我们的感觉也是这样。那什么时候变得不再增加，而是逐渐越来越近了呢？那就是在 $e^{99}$ 秒，完成了99%百分比距离时。

有兴趣还可以根据以上的公式画出蚂蚁距离和时间的函数图像，推导其他性质。

End