关于导数和偏导数的一点思考

在学习偏导数的时候，我脑海里面闪过了一种疑惑：为什么对一元函数求导，在几何上对应的是函数在各点的切线的斜率。而对构成曲面的多元函数对x，y，z各求偏导，在几何上对应的是各点的法向量。很明显的，第一个的求导是与切线相关联，而第二个的求偏导却是与法线相关联了。难道求导和求偏导的性质有所不同吗？但这与定义是相悖的，几何意义不应该不相同。最终的思考结果如下。

一句话概括原因为：不是求导和求偏导的性质差异，导致求得的结果的性质差异。而是此处的处理实际上是不一样的，导致了结果不一样。

我们以球面 $x^2+y^2+z^2=14$ 和抛物线 $y=x^2$ 做比较。

对球面，我们令 $F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-16$ ，对其求对x，y，z的偏导得法向量 $\vec{n}=(F_{x},F_{y},F_{z})=(2x,2y,2z)$

对抛物线，我们对其求导得 $k=y’=2x$ 。

你可能发现了，在对两者的处理上是不一样的，我们对球面方程进行了移项处理。新形成的 $F(x,y,z)$ 函数在几何意义上是一个四维的图形，而球面方程仅仅是这个四维图形 $F(x,y,z)=0$ 时的特殊情况。类比于低一维度的情况：我们令 $f(x,y)=z=x^2+y^2-1$ ，其图形实际上是一个三维的旋转抛物面，而 $x^2+y^2-1=0$ 是一个二维的圆，其对应的是 $z=0$ 的时候的情况。即用平面 $z=0$ 截 $f(x,y)$ 所得的结果。

如果我们要对抛物线做想同的处理，不应该是直接求导，而应该令 $f(x,y)=x^2-y$ ，对其求对x，y的偏导得法向量 $\vec{n}=(F_{x},F_{y})=(2x,-1)$ 。然后我们将其放入 $y=x^2$ 的函数图像中去检验，发现其确实为对应的法向量（由法向量知法线的斜率为 $- \frac{1}{{2x}}$ ，对抛物线求导知切线的斜率为 $2x$ ，乘积为 $-1$ ）。

而对 $y=x^2$ 直接求导，得到结果 $2x$ ，实际上对应的应该是 $x^2=0$ 的法线。将 $x^2=0$ 放在一维空间时，其所代表的图形是点，并没有线相关的概念。将其放在二维空间时，其代表的图形为y轴，而y轴的法线对应的法向量为 $(1,0)$ 。 $2x$ 形成的法向量 $（2x,0)$ ，当x为0时，其为零向量，零向量方向任意，可以将其看作与y轴垂直。当x不为0时，其显然为y轴的法向量。当将其放在更高维空间时，结果相同。

因此，当上面的处理过程相同时，得到的结果的含义是相同的。对方程进行移向，再令其为一个新的多元函数，在几何上实际上是将其升了一维。对其求导/偏导得到的都是与法线相关的结果。至于直接求导得到的切线相关结果，应该类比于求因变量对某个方向的偏导得到的结果，其意义此时都是与切线相关。

还是以上面两个方程为例。

我们先对球面方程求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 。利用隐函数的求导公式，很容易得 $\frac{\partial z}{\partial x} =-\frac{x}{z}$ 。再以点 $(0,0,4)$ 为例，此点上x的偏导数为0，其几何含义如下：y=0的平面截球面得到一二维平面内的曲线（ $x^2+z^2=16$ ），曲线在此点的切线对x轴的斜率即为 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 。此时我们就发现偏导数实际上还是和切线相关联的。

综上，误以为求导和求偏导的性质不同实际上是混淆了不同的处理方式。与法线相关的 $(F_{x},F_{y},F_{z})$ 是对 $F(x,y,z)$ 求偏导。与切线相关的 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 是对 $z(x,y)$ 求偏导。

最后编辑于：2020.08.19 09:31:12