二叉树

二叉树的定义

二叉树（Binary Tree）是n（n≥0）个节点的有限集合，n = 0时，该集合为空集合称为空二叉树，或者由一个根节点和两棵互不相交的，分别称为根节点的左子树和右子树的二叉树组成。

二叉树的特点

每个节点最多有两颗子树（也就是说每个节点最多有两个子节点），所以在二叉树中不存在度大于2的节点。
左子树和右子树是有顺序的，次序不能颠倒。
即使树中某节点只有一棵子树，也要区分是左子树还是右子树。

特殊二叉树

1、斜树
所有的节点都只有左子树的二叉树叫左斜树；所有节点都只有右子树的二叉树叫由斜树。这两者统称为斜树。斜树的特点很明显就是每一层只有一个节点，节点的个数与二叉树的深度相同。其实线性表可以理解为树的一种极其特殊的形式。

2、满二叉树
在一棵二叉树中，如果所有分支节点都存在左子树和右子树，并且所有的叶子节点都在同一层上，这样的二叉树称为”满二叉树“。如下图：

image.png

满二叉树的特点：
（1） 叶子只能出现在最下一层。
（2）非叶子节点的度一定为2。
（3）在同样深度的二叉树中，满二叉树的节点个数最多，叶子数最多。
3、完全二叉树
对于一棵具有n个节点的二叉树按照层序编号，如果编号为i（1≤ i ≤ n）的节点与同样深度的满二叉树中编号为i的节点在二叉树中位置完全相同，则这棵二叉树称为”完全二叉树“。如下图：

image.png

把完全二叉树的节点与同样深度的满二叉树各个节点进行编号比较，所有节点出现的位置相同，则是完全二叉树。所以， 满二叉树一定是一棵完全二叉树，而完全二叉树不一定是满二叉树。
完全二叉树的特点：
（1） 叶子节点只能出现在最下两层。
（2）最下层的叶子一定集中左部连续位置。
（3）倒数第二层，若有叶子节点，一定都在右部连续位置。
（4）如果节点度为1，则该节点只有左孩子，即不存在右子树的情况。
（5）同样节点的二叉树，完全二叉树的深度最小。

二叉树的性质

1、在二叉树的第i层上至多有2^（i-1）个节点（i≥1）；比如第3层，至多有4个节点；

2、深度为k的二叉树至多有2^k - 1个节点（k≥1）；

3、对任何一颗二叉树T，如果某终端节点数为n0， 度为2的节点数为n2，则n0 = n2 + 1；

4、具有n个节点的完全二叉树的深度log2（n） + 1 个（|X|表示不大于X的最大整数）。

5、如果对一棵有n个节点的完全二叉树的节点按层序编号，对任一节点i（1≤ i ≤ n）有：
（1）如果i = 1， 则节点i是二叉树的根；如果i > 1，则父节点是 i / 2 ；
（2）如果2i > n，则节点i是叶子节点，否则其左子节点是2i；

二叉树存储结构

1、二叉树顺序存储结构
二叉树的顺序存储结构就是用一维数组存储二叉树中的节点，并且节点的存储位置，也就是数组下标要能够体现出节点之间的逻辑关系，比如父子关系、左右节点关系等。
对于如下图一棵完全二叉树：

image.png

顺序存储结构如下：

image.png

通过上面的存储结构，可以通过数组的下标体现出节点之间的逻辑关系，比如节点A的下标i是0，则
2 * i + 1 是节点A的左节点，即节点B是A的左节点；2 *（ i + 1） 是节点A的右节点，即节点C是A的右节点。对于一棵完全二叉树，可以很好的利用上面的存储结构，数组的每个位置都有值，但是对于普通二叉树，由于节点不是连续的形式，对于一些极端的情况可能只存在右子树，不存在左子树，则数组中会存在大量的存储空间被浪费，此时可以考虑另一种存储结构——二叉链表。
2、二叉链表
由于二叉树的每个节点最多有两个孩子，所以二叉链表的每个节点有一个数据域和两个指针域，指针域分别指向左子节点和右子节点。存储结构如下：

image.png

二叉链表表示法数据结构比较简单，这里不在做过多的描述。
五、二叉树遍历
二叉树的遍历是指从根节点出发，按照某种次序依次访问二叉树中的所有节点，使得每个节点被访问一次且仅被访问一次。以下面所示的二叉树为例，分析各种遍历方式的结果。如下图：

1、前序遍历
先访问根节点，然后前序遍历左子树，再前序遍历右子树。
遍历步骤：
（1）先访问根节点A，结果为A；
（2）前序遍历根节点A的左子树，左子树的根节点是B，此时结果是AB；
（3）继续前序遍历以B为根节点的左子树，此时的根节点是D，结果为：ABD；
（4）继续遍历以D为根节点的左子树H，此时结果为：ABDH；
（5）节点H不存在左子树，则遍历以D为根节点的右子树，此时结果为：ABDHI；
（6）递归遍历以B为根节点右子树E，由于E存在左子树J，此时结果为：ABDHIE；
（7）E存在左子树，此时结果为：ABDHIEJ；此时根节点Ａ的左子树遍历完成，开始遍历右子树；
（8）右子树根节点为Ｃ，此时结果为：ABDHIEJＣ；
（９）以C为根节点的子树存在左节点F，结果变为：ABDHIEJＣF；
（10）节点F不存在子节点，遍历C的右节点，前序遍历最后结果为：ABDHIEJＣFG；

2、中序遍历
先中序遍历根节点的左子树，然后访问根节点，再中序遍历右子树。
遍历步骤：
（1）根节点A存在左子树，先中序遍历以节点B为根节点的左子树；
（2）节点B存在左子树，中序遍历以节点D为根节点的左子树；
（3）节点D存在左叶子节点H，此时结果为：HD；
（4）节点D存在右叶子节点I，此时结果为：HDI；
（5）以节点B为根节点的左子树遍历完成，此时访问根节点B，结果为：HDIB；
（6）访问B节点的有子树，右子树根节点存在左节点J，此时结果为：HDIBJE；
（7）根节点A的左子树访问完成，访问根节点A，结果变为：HDIBJEA；
（8）遍历根节点A的右子树，右子树存在左叶子节点F，此时结果为：HDIBJEAF；
（９）然后访问右子树的根节点C，中序遍历最后结果为：HDIBJEAFCG；

3、后序遍历
先后序遍历根节点的左子树，然后后序遍历根节点的右子树，再访问根节点。
遍历步骤：
（1）根节点A存在左子树，先后续遍历以节点B为根节点的左子树；
（2）节点B存在左子树，后续遍历以节点D为根节点的左子树；
（3）节点D存在左叶子节点H，右子节点I，此时结果为：HID；
（4）节点B存在右子树，后续遍历以节点D为根节点的右子树；
（5）节点E存在左叶子节点，不存在右子节点，此时结果为：HIDJE；
（6）B节点的左子树、右子树遍历完成，访问B节点，结果为：HIDJEB；
（7）根节点的左子树遍历完成，后序遍历根节点的右子树，结果为：HIDJEBFGC；
（8）最后访问根节点，后序遍历最后结果为：HIDJEBFGCA；

4、层级遍历
从根所在的层开始，从上而下逐层进行遍历，在同一层中，按左到右的顺序对节点逐个访问。
遍历步骤：
（1）从第一层根节点开始访问，结果为：A；
（2）访问第二层，从左到右，结果为：ABC；
（3）访问第三层，结果为：ABCDEFG；
（4）访问第四层，层级遍历结果为：ABCDEFGHIJ；

package BinaryTree;


import java.util.Arrays;
import java.util.LinkedList;

public class BinaryTreeDemo {
    public static void main(String[] args) {
        LinkedList<Integer> link = new LinkedList<Integer>(Arrays.asList(new Integer []{3,2,9,null,null,10,null,null,8,null,4}));
        Node treeNode = contraBiTree(link);
        System.out.println(treeNode.getRight().no);
        System.out.println("************************层遍历*****************");
        levelOrder(treeNode);
        System.out.println("************************前序*****************");
        proOrder(treeNode);
        System.out.println("************************中序*****************");
        midOrder(treeNode);
        System.out.println("************************后序*****************");
        suffixOrder(treeNode);
    }
    //前序遍历
    public static void proOrder(Node node){
        if(node==null){
            return;
        }
        System.out.println(node.getNo());
        proOrder(node.getLeft());
        proOrder(node.getRight());

    }
    //中序遍历
    public static void midOrder(Node node){
        if(node==null){
            return;
        }


        midOrder(node.getLeft());
        System.out.println(node.getNo());
        midOrder(node.getRight());

    }
    //后续遍历
    public static void suffixOrder(Node node){
        if(node==null){
            return;
        }

        suffixOrder(node.getLeft());
        suffixOrder(node.getRight());
        System.out.println(node.getNo());
    }
    //构建树
    public static Node contraBiTree(LinkedList<Integer> link){
        Node node = null;
        if (link.isEmpty()||link==null){
            return null;
        }
        Integer data = link.removeFirst();
        if (data!=null){
            node= new Node(data);
            node.setLeft(contraBiTree(link));
            node.setRight(contraBiTree(link));
        }
        return node;
    }
    public static class Node{
        private int no;
        private Node left;
        private Node right;
        public Node(int no){
            this.no = no;
        }

        public int getNo() {
            return no;
        }

        public void setNo(int no) {
            this.no = no;
        }

        public Node getLeft() {
            return left;
        }

        public void setLeft(Node left) {
            this.left = left;
        }

        public Node getRight() {
            return right;
        }

        public void setRight(Node right) {
            this.right = right;
        }
    }
}
    public static void levelOrder(Node node){
        Queue<Node> queue = new LinkedList<Node>();
        queue.offer(node);
        while (!queue.isEmpty()){
            Node poll = queue.poll();
            System.out.println(poll.getNo());
            if (poll.getLeft()!=null) {
                queue.offer(poll.getLeft());
            }
            if (poll.getRight()!=null) {
                queue.offer(poll.getRight());
            }
        }
    }