闭值域定理相关的小结论

设 $X$ , $Y$ 是 $\mathbb{K}$ ( ${\mathbb{R}}$ 或 $\mathbb{C}$ )上的Banach空间, $B(X,Y)$ 是 $X$ 到 $Y$ 的所有有界线性算子之集.

命题1. 设 $T\in B(X,Y)$ . 则
(1) $\ker T\perp\operatorname{im}T^*$ ;
(2) $\ker T^*\perp\operatorname{im}T$ .
证明. 直接验证即可. $\blacksquare$

推论2. 上面的命题直接告诉我们:
(1) $\ker T\subset\ ^\perp(\operatorname{im}T^*)$ , $\operatorname{im}T^*\subset(\ker T)^\perp$ ;
(2) $\ker T^*\subset(\operatorname{im}T)^\perp$ , $\operatorname{im}T\subset\ ^\perp(\ker T^*)$ .

自然, 我们希望上面的所有包含号实际上都是等号. 但是首先一个问题是, $T$ 和 $T^*$ 的值域不一定是闭的; 而对任何集合 $A\subset X$ , $A^\perp$ 总是闭的, 对任何 $B\subset X^*$ , $^\perp B$ 也总是闭的. 所以我们退一步, 希望

$\ker T=\ ^\perp(\operatorname{im}T^*)$ , $\overline{\operatorname{im}T^*}=(\ker T)^\perp$ ;
$\ker T^*=(\operatorname{im}T)^\perp$ , $\overline{\operatorname{im}T}=\ ^\perp(\ker T^*)$ .

这看起来有点不太好记/不美观, 因为有的加了闭包, 有的没有加. 不过我们可以注意到一件事:

命题3. (1)设 $M$ 是 $X$ 的子空间, 则 $M^\perp=\overline M^\perp$ ;
(2)设 $M$ 是 $X^*$ 的子空间, 则 $^\perp M=\ ^\perp\overline M$ .
证明. (1)由于 $M\subset\overline M$ , 有 $M^\perp\supset\overline M^\perp$ . 但是任何在 $M$ 上为零的连续线性泛函也在 $\overline M$ 上为零, 故 $M^\perp\subset\overline M^\perp$ .
(2)由于 $M\subset\overline M$ , 有 $^\perp M\supset\ ^\perp\overline M$ . 另一方面把 $X$ 中的元素看作 $X^*$ 的连续线性泛函, 和上面一样的论证即可得到 $^\perp M\subset\ ^\perp\overline M$ . $\blacksquare$

这告诉我们, 写 $\ker T=\ ^\perp(\operatorname{im}T^*)$ , $\ker T^*=(\operatorname{im}T)^\perp$ 是可以的, 写 $\ker T=\ ^\perp(\overline{\operatorname{im}T^*})$ , $\ker T^*=(\overline{\operatorname{im}T})^\perp$ 也是可以的, 这两种写法是完全一样的.

现在我们来证明主要的命题.

命题4. 设 $T\in B(X,Y)$ , 则
(1) $\ker T=\ ^\perp(\operatorname{im}T^*)$ , $\overline{\operatorname{im}T^*}\subset(\ker T)^\perp$ ;
(2) $\ker T^*=(\operatorname{im}T)^\perp$ , $\overline{\operatorname{im}T}=\ ^\perp(\ker T^*)$ .
证明. (1)前面推论2已经证明了一半(注意由于 $(\ker T)^\perp$ 是闭的, 所以 $\operatorname{im}T^*\subset(\ker T)^\perp$ 说明 $\overline{\operatorname{im}T^*}\subset(\ker T)^\perp$ ), 所以我们只需要证明 $\ker T\supset\ ^\perp(\operatorname{im}T^*)$ 就好了.
设 $x\in\ ^\perp(\operatorname{im}T^*)$ , 对任何 $f\in Y^*$ , 有 $\langle Tx,f\rangle=\langle x,T^*f^*\rangle=0$ , 故 $Tx=0$ , $x\in\ker T$ . 这就说明了 $\ker T\supset\ ^\perp(\operatorname{im}T^*)$ .
(2)同样地, 推论2已经证明了一半, 我们只需要证明 $\ker T^*\supset(\operatorname{im}T)^\perp$ , $\overline{\operatorname{im}T}\supset\ ^\perp(\ker T^*)$ . 和(1)同样的论证可以证明 $\ker T^*\supset(\operatorname{im}T)^\perp$ (我检查过了). 现在来证明 $\overline{\operatorname{im}T}\supset\ ^\perp(\ker T^*)$ .
任取 $y\notin\overline{\operatorname{im}T}$ , 我们来证明 $y\notin\ ^\perp(\ker T^*)$ . 由Hahn-Banach延拓定理, 存在 $f\in Y^*$ 使得 $f|_{\overline{\operatorname{im}T}}=0$ , $f(y)=1$ .这样一来, $T^*f=0$ , 但 $\langle y,f\rangle=1\ne0$ , 故 $y\notin\ ^\perp(\ker T^*)$ . 这说明 $\overline{\operatorname{im}T}\supset\ ^\perp(\ker T^*)$ . $\blacksquare$

这个结论十分对称好记, 只是非常可惜有一点点瑕疵. 事实上如果试图像上面一样用Hahn-Banach定理证明 $\overline{\operatorname{im}T^*}\supset(\ker T)^\perp$ 时会发现由于 $X$ 不一定自反, 类似的论证翻车了(请自行检查, 我检查了). 如果 $X$ 自反, 那么瑕疵就被修复了. 我们把这段评述写成命题.

命题5. 设 $X$ 自反, $T\in B(X,Y)$ , 则 $\overline{\operatorname{im}T^*}=(\ker T)^\perp$ .

另一种修复瑕疵的方式是通过闭值域定理(即 $\operatorname{im}T$ 闭等价于 $\operatorname{im}T^*$ 闭)的一半.

命题6. 设 $T\in B(X,Y)$ , 且 $\operatorname{im}T$ 闭, $\overline{\operatorname{im}T^*}=(\ker T)^\perp$ .
证明. 把 $T$ 沿着 $\operatorname{coker}T=X/\ker T$ 分解, 即
$X\overset{\pi}{\rightarrow}X/\ker T\overset{\widetilde{T}}{\rightarrow}\operatorname{im}T\overset{i}{\rightarrow}Y$
这样有 $T=i\widetilde T\pi$ , 故 $T^*=\pi^*\widetilde T^* i^*$ . 注意由于 $\operatorname{im}T$ 是闭的, 我们有 $\widetilde T$ 是拓扑同胚, $\widetilde T^*((\operatorname{im}T)^*)=(X/\ker T)^*$ . 由Hahn-Banach定理, 又有 $i^*(Y^*)=(\operatorname{im}T)^*$ , 所以 $T^*(Y^*)=\pi^*\widetilde T^* i^*(Y^*)$ $=\pi^*\widetilde T^*((\operatorname{im}T)^*)=\pi^*((X/\ker T)^*)=(\ker T)^\perp$ . 最后一步是因为子空间和商空间的对偶, 即 $\pi^*$ 是 $(\operatorname{im}T)^*$ 到 $(\ker T)^\perp$ 的保范同构(自己验证).
这个论证(实际上这个论证还证明了闭值域定理)说明 $\operatorname{im}T^*=(\ker T)^\perp$ , 结论由此易得. $\blacksquare$

最后一件事情是, 这个瑕疵是真实存在的吗? 毕竟无法证明 $\overline{\operatorname{im}T^*}=(\ker T)^\perp$ 不代表它们真的不相等. 下面我们会看到, 确实存在这样的例子, 使得 $\overline{\operatorname{im}T^*}\subsetneq(\ker T)^\perp$ .

例7(来自StackExchange). 考虑 $X=Y=l^1$ , $T((x_n))=(x_n/n)$ , 则 $\overline{\operatorname{im}T^*}\subsetneq(\ker T)^\perp$ .
证明. 显然 $\ker T=0$ , 故 $(\ker T)^\perp=(l^1)^*\cong l^\infty$ . 我们只需要证明 $\overline{\operatorname{im}T^*}\subsetneq l^\infty$ .
我们来计算 $\operatorname{im}T^*$ . 对 $f=(f_n)\in l^\infty$ , 可以算出 $T^*f=(f_n/n)\in c_0$ , 这里 $c_0=\{f\in l^\infty|\lim_{n\rightarrow\infty}f_n=0\}$ 是 $l^\infty$ 的闭子空间(自己验证). 从而 $\overline{\operatorname{im}T^*}\subset c_0\subsetneq l^\infty$ . $\blacksquare$

闭值域定理相关的小结论

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