作者：童蒙
编辑：amethyst

引言

在实际的应用中，有时候我们会遇到数据的维度太少，我们需要新生成新的维度，可以用我们之前的分享（如何自动化进行特征工程）；有时候维度太多，这时候我们就需要降维了。降维的方法有许多，我们这里介绍了sklearn中介绍的7种，供大家学习和收藏。

1 PCA

1.1 普通PCA

主成分分析（PCA）用于将多维的数据集分解为一组具有最大方差的连续正交分量。在sklearn这个包中，PCA是一个transformer对象，使用fit方法可以选择前n个主成分，并且用于投射到新的数据中。

PCA有两种实现方式，一种是特征值分解去实现，一种是奇异值分解去实现。特征值分解是一个提取矩阵特征很不错的方法，但是它只是对方阵而言的，如果不使用SVD，PCA只会寻找每个特征的中心，但并不会对数据进行缩放（scaled）。使用参数whiten=True ，可以将数据投射到奇异空间中，并且将每个组分缩放到方差为1，这个对于后续分析中，假设每个特征是isotropy 是很有帮助的，例如SVM和Kmeans聚类。

PCA不仅仅是对高维数据进行降维，更重要的是经过降维去除了噪声，发现了数据中的模式。PCA把原先的n个特征用数目更少的m个特征取代，新特征是旧特征的线性组合，这些线性组合最大化样本方差，尽量使新的m个特征互不相关。

SVD是一种矩阵分解法，把一个大矩阵分解成易于处理的形式，这种形式可能是两个或多个矩阵的乘积。

参数

• n_components：可以是int，float，或者“mle”。如果是int，那么是选择对应的主成分数，如果是float，那么会自动合适的组成份数，使得方差大于float；如果是“mle”，会自动地选择合适的主成分。
• whiten ：白化，使得每个特征具有相同的方差。
  属性
• components_ ：返回具有最大方差的成分。
• explained_variance_： 各个主成分的解释的方差。
• explained_variance_ratio_ ：返回所保留的n个成分各自的方差百分比。
• n_components_：返回所保留的成分个数n。
  方法
• fit() : 对PCA进行训练。
• fit_transform(): 训练后，进行降维。
• inverse_transform()：将降维后的数据转化成原始数据。
• transform() : 对训练好的模型，进行转换。
  实例
  例子1 ：基本的使用

import numpy as np
from sklearn.decomposition import PCA
X = np.array([[-1, -1], [-2, -1], [-3, -2], [1, 1], [2, 1], [3, 2]])
pca = PCA(n_components=2)
pca.fit(X)
print(pca.explained_variance_ratio_)  ### 获得每个主成分解释的比例
print(pca.singular_values_)

例子2：获取每个主成分与特征的关系

from sklearn.datasets import load_iris 
iris = load_iris()
from sklearn.decomposition import PCA
pca = PCA(3)
X, y = iris.data, iris.target 
X_proj = pca.fit_transform(X)
for component in pca.components_:
    print(" + ".join("%.2f x %s" % (value, name) for value, name in zip(component, iris.feature_names)))
## 查看累积曲线
print(pca.explained_variance_ratio_.cumsum())

1.2 增量PCA（IPCA）

PCA虽然很有用，但是需要将数据全部都存入内存，因此当当要分解的数据集太大，会导致内存很大。这时候，增量主成分分析（IPCA）通常用作主成分分析（PCA）的替代，可以通过部分计算的方式，获得跟PCA一样的结果。

• 使用partial_fit方法，可以分块的读取数据。
• 如果是稀疏矩阵或者是内存文件，使用的是numpy.memmap。

IPCA使用与输入数据样本数无关的内存量为输入数据建立低秩近似。它仍然依赖于输入数据功能，但更改批量大小可以控制内存使用量。

该函数，增加了一个batch_size的参数，用来控制批次，其余都一样，至此不再赘述。

实例

from sklearn.datasets import load_digits
from sklearn.decomposition import IncrementalPCA
from scipy import sparse
X, _ = load_digits(return_X_y=True)
transformer = IncrementalPCA(n_components=7, batch_size=200)
# either partially fit on smaller batches of data
transformer.partial_fit(X[:100, :])
# or let the fit function itself divide the data into batches
X_sparse = sparse.csr_matrix(X)
X_transformed = transformer.fit_transform(X_sparse)
X_transformed.shape

1.3 使用随机化的SVD的PCA

对于大型矩阵的分解，我们往往会想到用SVD算法。然而当矩阵的维数与奇异值个数k上升到一定程度时，SVD分解法往往因为内存溢出而失败。因此，Randomized SVD算法，相比于SVD，它更能适应大型矩阵分解的要求，且速度更快。

此外，在某些场景下，我们期望丢掉某些lower sigular values，来达到减少噪音，保留尽可能多的方差，从而达到更好的预测效果。比如人脸的识别，如果是64X64的像素，那么整个维度有4096个。我们利用这个方法，可以保留重要的维度，从而利于后续的分析。

使用svd_solver='randomized'可以实现随机化的SVD，来去掉部分的奇异矩阵。

1.4 Kernel PCA

主成分分析（Principal Components Analysis, PCA）适用于数据的线性降维。而核主成分分析（Kernel PCA，KPCA）可实现数据的非线性降维，用于处理线性不可分的数据集。kernel的选择有 {'linear', 'poly', 'rbf', 'sigmoid', 'cosine', 'precomputed'}，默认是'linear'。

详细说明见官方说明，与普通的PCA差不多。

1.5 稀疏化PCA 和minibatchsparsePCA

SparsePCA 期望找到一组可以最优地重构数据的稀疏主成分。稀疏性的大小由参数alpha给出的L1惩罚系数来控制。Mini-batch sparse PCA是sparsePCA的变种，提高了速度，但是降低了精度。

主成分分析（PCA）的缺点是，该方法提取的成分是一种密集表达式，即用原始变量的线性组合表示时，它们的系数是非零的。这可能会使解释模型变得困难。在许多情况下，真实的基础分量可以更自然地想象为稀疏向量;例如，在人脸识别中，主成分会只包含部分的图像，映射到人脸的某些部分。稀疏主成分产生了一种更简洁的、可解释的表示，清楚地强调是哪些原始特征导致了样本之间的差异。

通过调节alpha来调整惩罚度，alpha越大，越导致许多系数为0。

2 截断SVD

TruncatedSVD是普通SVD的一个变种，只计算用户指定的前K个奇异值。TSVD通常用于语义分析中，是LSA的其中的一部分，可以解决一词多义和一义多词的问题。

LSA潜在语义分析的目的，就是要找出词（terms）在文档和查询中真正的含义，也就是潜在语义，从而解决上节所描述的问题。具体说来就是对一个大型的文档集合使用一个合理的维度建模，并将词和文档都表示到该空间，比如有2000个文档，包含7000个索引词，LSA使用一个维度为100的向量空间将文档和词表示到该空间，进而在该空间进行信息检索。而将文档表示到此空间的过程就是SVD奇异值分解和降维的过程。降维是LSA分析中最重要的一步，通过降维，去除了文档中的“噪音”，也就是无关信息（比如词的误用或不相关的词偶尔出现在一起），语义结构逐渐呈现。相比传统向量空间，潜在语义空间的维度更小，语义关系更明确。

使用例子如下：

svd = TruncatedSVD(opts.n_components)
svd.fit(X)
svd.transform(X)

3 字典学习

3.1 使用预定义的字典来稀疏化编码

用事先预定义好的字典来对矩阵进行稀疏化编码，达到降维和简化的目的。就像人类的所有语言都是由单词组成一样，因此使用已知的词典可以减少维度；其次，稀疏化可以减少计算的成本，让后续的计算更快。

这个对象没有fit的方法，transformation方法会将数据表示为尽可能少的字典原子的线性组合。可以用transform_method来控制初始化参数，有以下几种：

• Orthogonal matching pursuit (Orthogonal Matching Pursuit (OMP))：常用于图像处理中。
• Least-angle regression (Least Angle Regression)
• Lasso computed by least-angle regression
• Lasso using coordinate descent (Lasso)
• Thresholding ：速度很快，但是会产生出不准确的重构结构，一般用于文本中。

coder = SparseCoder(dictionary=D, transform_n_nonzero_coefs=n_nonzero,
                            transform_alpha=alpha, transform_algorithm=algo)
x = coder.transform(y.reshape(1, -1))

3.2 通用字典学习

使用的函数为sklearn.decomposition.DictionaryLearning，会找到一个可以将fitted data足够好稀疏化的字典。

将数据表示为一个overcomplete的字典这个过程，同大脑处理数据的过程类似。这个方法在图像补丁的字典学习已被证明在诸如图像完成、修复和去噪以及监督识别任务的图像处理任务中给出良好的结果。

dict_learner = DictionaryLearning(
    n_components=15, transform_algorithm='lasso_lars', random_state=42,
)
X_transformed = dict_learner.fit_transform(X)

3.3 小批次字典学习

使用函数为sklearn.decomposition.MiniBatchDictionaryLearning，是一种快速的，但是精确度降低的版本，适应于大数据集合。

默认情况下，MiniBatchDictionaryLearning将数据分成小批量，并通过在指定次数的迭代中循环使用小批量，以在线方式进行优化。但是，目前它没有退出迭代的停止条件。也可以用partial_fit来实现小批次的fit。

4 因子分析

从变量中提取共性因子。

因子分析要求原有变量间具有较强的相关性，否则，因子分析无法提取变量间的共性特征，如果相关系数小于0.3，则变量间的共线性较小，不适合因子分析；因子分析得到因子和原变量的关系，因此能够对因子进行解释。

因子分析可以产生与 PCA 相似的特征（载荷矩阵的列）。不过，不能对这些特征做出任何一般性的说明（例如他们是否正交）。

使用的函数为sklearn.decomposition.FactorAnalysis。

5 独立成分分析-ICA

使用的函数为sklearn.decomposition.FastICA，ICA可以提取出一系列的主成分，彼此最大的独立。因此，ICA一般不用于降维，而用于区分叠加信号。ICA不考虑noise，为了使模型正确，必须使用whitening，可以使用whiten这个参数。

ICA 通常用于分离混合信号（称为盲源分离的问题），也可以作为一种非线性降维方法，可以找到具有一些稀疏性的特征。

主成分分析假设源信号间彼此非相关，独立成分分析假设源信号间彼此独立。

主成分分析认为主元之间彼此正交，样本呈高斯分布；独立成分分析则不要求样本呈高斯分布。

6 非负矩阵分解

非负矩阵分解，顾名思义就是，将非负的大矩阵分解成两个非负的小矩阵。在数据矩阵不包含负值的情况下，应用NMF而不是PCA或其变体。

NMF可以产生可以代表数据的主成分，从而可以来解释整个模型。

参数init，可以用来选择初始化的方法，不同的方法对结果会有不同的表现。

import numpy as np
X = np.array([[1, 1], [2, 1], [3, 1.2], [4, 1], [5, 0.8], [6, 1]])
from sklearn.decomposition import NMF
model = NMF(n_components=2, init='random', random_state=0)
W = model.fit_transform(X)
H = model.components_
X_new = np.array([[1, 0], [1, 6.1], [1, 0], [1, 4], [3.2, 1], [0, 4]])
W_new = model.transform(X_new)

在PCA处理中，假使将特征降维为600个，那么降维后的每个人脸都包含了600个特征（所以我们看到降维后的人脸有种“伏地魔”的感觉 ，这是因为降维处理相当于删去了部分细节特征，导致一部分信息丢失，在图片中最直观的体现就是变模糊）。而在NMF的处理中，这1000个特征相当于是被分离了。相当于，一张人脸是由鼻子、耳朵等这些独立的特征叠加出来的。

7 Latent Dirichlet Allocation (LDA)

LDA是文档主题生成模型，对离散数据集（如文本语料库）的集合的生成概率模型。它也是一个主题模型，用于从文档集合中发现抽象主题。LDA是一种非监督机器学习技术，可以用来识别大规模文档集（document collection）或语料库（corpus）中潜藏的主题信息。

sklearn.decomposition.LatentDirichletAllocation是用于进行LDA的函数。

lda = LatentDirichletAllocation(n_components=5,
    random_state=0)
lda.fit(X)

本文主体来源于sklearn的降维这一章，里面有许多数学的知识，还是需要大家自己好好的学习。
本文对PCA介绍比较详细，但是对于其他的介绍的比较简单，其实各自都有很多的用途，等小编学习后跟大家分享。
文章中许多内容是借鉴网上的内容，如果有侵权，请跟我们联系，我们会尽快修改。

参考资料

1、https://www.jianshu.com/p/1adef2d6dd88
2、https://www.jianshu.com/p/e574e91070ad
3、https://scikit-learn.org/stable/modules/decomposition.html#decompositions
4、https://shankarmsy.github.io/posts/pca-sklearn.html
5、https://mp.weixin.qq.com/s/Tl9ssjmGdeyNrNuIReo1aw
6、https://www.cnblogs.com/eczhou/p/5433856.html
7、https://scikit-learn.org/stable/auto_examples/applications/plot_face_recognition.html#sphx-glr-auto-examples-applications-plot-face-recognition-py
8、https://blog.csdn.net/fkyyly/article/details/84665361 LSA(Latent semantic analysis)
9、https://blog.csdn.net/fjssharpsword/article/details/74964127
10、https://www.jianshu.com/p/e90900a3d03a