微分方程-线性方程-存在性与唯一性

线性方程-存在性与唯一性

考虑如下形式的微分方程

$\dfrac{\text{d}\boldsymbol{x}}{\text{d}t}=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})\quad(3.1)$

其中 $\boldsymbol{x},\boldsymbol{f}\in\mathbb{R}^n$ . 若函数 $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})$ 在某点 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}_0$ 处有 Taylor 展开

$\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_0)+\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0)+\boldsymbol{R} (\boldsymbol{x})$

其中 $\lVert \boldsymbol{R}(\boldsymbol{x})\rVert$ 是 $\lVert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0\rVert$ 的高阶无穷小（这里 $\lVert\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0\rVert$ 是向量 $\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0$ 的范数）， $\boldsymbol{A}$ 为 $n\times n$ 阶矩阵，则在 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}_0$ 附近的向量值函数 $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})$ 可以用其线性部分

$\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_0)+\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0)$

来逼近，因此人们自然地想到用如下形式的线性微分方程的解来逼近方程组（3.1）在 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}_0$ 附近的解：

$\dfrac{\text{d}\boldsymbol{x}}{\text{d}t}=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_0)+\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0).$

从这个意义上说，研究线性微分方程及线性微分方程组是进一步研究一般微分方程即微分方程组的基础.

考虑含 $n$ 个未知函数的一阶线性微分方程组

$\begin{cases} \dfrac{\text{d}x_1}{\text{d}t}=a_{11}(t)x+a_{12}(t)x_2+\cdots+a_{1n}(t)x_n+f_1(t)\\ \dfrac{\text{d}x_2}{\text{d}t}=a_{21}(t)x_1+a_{22}(t)x_2+\cdots+a_{2n}(t)x_n+f_2(t)\\ \cdots\cdots\\ \dfrac{\text{d}x_n}{\text{d}t}=a_{n1}(t)x_1+a_{n2}(t)x_2+\cdots+a_{nn}+f_n(t) \end{cases}\quad(3.2)$

其中已知函数 $a_{ij}(t),\,f_i(t)\,(i,j=1,2,\cdots,n)$ 都是区间 $[\alpha,\beta]$ 上的连续函数. 令

$\boldsymbol{A}(t)=\begin{pmatrix} a_{11}(t)&\cdots&a_{1n}(t)\\ a_{21}(t)&\cdots&a_{2n}(t)\\ \vdots&&\vdots\\ a_{n1}(t)&\cdots&a_{nn}(t) \end{pmatrix},$

$\boldsymbol{f}(t)= \begin{pmatrix} f_1(t)\\ f_2(t)\\ \vdots\\ f_n(t)\\ \end{pmatrix},$

$\boldsymbol{x}= \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix},$

则可以用矩阵记号把方程组（3.2）写为

$\dfrac{\text{d}\boldsymbol{x}}{\text{d}t}=\boldsymbol{A}(t)\boldsymbol{x}+\boldsymbol{f}(t)\quad(3.3)$

当 $\boldsymbol{f}(t)\equiv0$ 时，我们称方程组（3.3）是齐次的；否则，就是非齐次的.

对方程组（3.3），我们首先需要知道它满足给定的初值条件的解是否存在，如果存在是否唯一. 下面的存在唯一性定理回答了这一基本问题：

定理 3.1

假设 $\boldsymbol{A}(t)$ 是区间 $[\alpha,\,\beta]$ 上的 $n\times n$ 阶连续矩阵函数， $\boldsymbol{f}(t)$ 是区间 $[\alpha,\,\beta]$ 上的 $n$ 维连续列向量函数. 则对于区间 $[\alpha,\,\beta]$ 上的任意实数 $t_0$ 及任意 $n$ 维常向量 $\boldsymbol{x}^0$ ，方程组（3.3）在区间 $[\alpha,\,\beta]$ 上存在唯一解 $\boldsymbol{x}(t)$ 满足初值条件 $\boldsymbol{x}(t_0)=\boldsymbol{x}^0$ .

这个结果不仅告诉我们初值问题解的存在性与唯一性，而且指出解的存在区间和已知函数连续的区间是一样大的.

为了理解和证明这个定理，我们需要了解矩阵函数的一些形式. 对矩阵函数的加法、乘法的定义与普通的常数矩阵相同. 称矩阵 $\boldsymbol{A}(t)=(a_{ij}(t))$ 是连续的（或可微的），如果其每一个元素 $a_{ij}(t)$ （其中 $i,\,j=1,2,\cdots,n$ ）都是实变量 $t$ 的连续函数（或可微函数）. 在可微的情形下，

$\dfrac{\text{d}}{\text{d}t}\boldsymbol{A}(t)=\left(\dfrac{\text{d}}{\text{d}t}a_{ij}(t)\right)$ .

矩阵函数的导数也满足

$\dfrac{\text{d}}{\text{d}t}(\boldsymbol{A}_1(t)+\boldsymbol{A}_2(t))=\dfrac{\text{d}\boldsymbol{A}_1(t)}{\text{d}t}+\dfrac{\text{d}\boldsymbol{A}_2(t)}{\text{d}t},$

$\dfrac{\text{d}}{\text{d}t}(\boldsymbol{A}_1(t)\boldsymbol{A}_2(t))=\dfrac{\text{d}\boldsymbol{A}_1(t)}{\text{d}t}\boldsymbol{A}_2(t)+\boldsymbol{A}_1(t)\dfrac{\text{d}\boldsymbol{A}_2(t)}{\text{d}t}.$

如果矩阵 $\boldsymbol{A}(t)=(a_{ij}(t))$ 的每个元素 $a_{ij}(t)$ （其中 $i,\,j=1,2,\cdots,n$ ）都在 $t$ 的区间 $[\alpha,\,\beta]$ 上可积，就称矩阵 $\boldsymbol{A}(t)$ 在区间 $[\alpha,\,\beta]$ 上可积，并且

$\displaystyle\int_\alpha^\beta\boldsymbol{A}(t)\text{d}t=\left(\int_\alpha^\beta a_{ij}(t)\text{d}t\right).$

为了讨论矩阵函数序列的收敛问题，对矩阵 $\boldsymbol{A}$ 及向量 $\boldsymbol{x}$ 我们引入其范数为

$\displaystyle\lVert\boldsymbol{A}\rVert=\sum_{i,j=1}^n|a_{ij}|,$

$\displaystyle\lVert\boldsymbol{x}\rVert=\sum_{i=1}^n|x_i|$

显然对任意 $n\times n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}_1,\,\boldsymbol{A}_2$ 及 $n$ 维向量 $\boldsymbol{x}_1,\,\boldsymbol{x}_2$ ，有如下性质：

$\lVert\boldsymbol{A}_1+\boldsymbol{A}_2\rVert\leqslant\lVert\boldsymbol{A}_1\rVert+\lVert\boldsymbol{A}_2\rVert,$

$\lVert\boldsymbol{x}_1+\boldsymbol{x}_2\rVert\leqslant\lVert\boldsymbol{x}_1\rVert+\lVert\boldsymbol{x}_2\rVert,$

$\lVert\gamma\boldsymbol{A}\rVert=|\gamma|\;\lVert\boldsymbol{A}\rVert,\quad\forall\;\gamma\in\mathbb{R}(or\;\;\mathbb{C})$

$\lVert\gamma\boldsymbol{x}\rVert=|\gamma|\;\lVert\boldsymbol{x}\rVert,\quad\forall\;\gamma\in\mathbb{R}(or\;\;\mathbb{C})$

$\lVert\boldsymbol{A}_1\boldsymbol{A}_2\rVert\leqslant\lVert\boldsymbol{A}_1\rVert\,\lVert\boldsymbol{A}_2\rVert,$

$\displaystyle\left\lVert\int_\alpha^\beta\boldsymbol{A}(t)\text{d}t\right\rVert\leqslant\int_\alpha^\beta\lVert\boldsymbol{A}(t)\rVert\text{d}t$

考虑 $n\times n$ 阶矩阵函数序列 $\{\boldsymbol{A}_k(t)\}$ ，其中 $\boldsymbol{A}_k(t)=(a_{ijj}^{(k)}(t))$ . 称它对所有的 $\alpha\leqslant t\leqslant\beta$ 收敛（一致收敛），如果对任意的 $i,\,j=1,2,\cdots,n$ 函数序列 $\{a_{ij}^{(k)}(t)\}$ 对所有的 $\alpha\leqslant t\leqslant\beta$ 收敛（一致收敛）. 同理，称矩阵函数项级数

$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\boldsymbol{A}_k(t)$

对所有的 $\alpha\leqslant t\leqslant\beta$ 收敛（一致收敛），如果对任意的 $i,\,j=1,2,\cdots,n$ ，函数项级数

$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}a_{ij}^{(k)}(t)$

对所有的 $\alpha\leqslant t\leqslant \beta$ 收敛（一致收敛）.

定理 3.1 的证明

第一步

容易验证，方程组（3.3）关于 $\boldsymbol{x}(t_0)=\boldsymbol{x}^0$ 的初值问题等价于求积分方程

$\displaystyle\boldsymbol{x}(t)=\boldsymbol{x}^0+\int_{t_0}^t(\boldsymbol{A}(\tau)\boldsymbol{x}(\tau)+\boldsymbol{f}(\tau))\text{d}\tau\quad(3.4)$

在区间 $[\alpha,\,\beta]$ 上的连续解. 事实上，如果连续函数 $\boldsymbol{x}(t)$ 是积分方程（3.4）的解，由方程（3.4）右端立即看出 $\boldsymbol{x}(t)$ 也是可微的. 因此对方程（3.4）的两端关于 $y$ 求导可推出微分方程组（3.3）的形式. 方程（3.4）称为（3.3）的等价积分方程.

第二步

利用积分方程（3.4）构造向量函数序列 $\{\boldsymbol{x}_k(t)\}$ ，其中 $\boldsymbol{x}_0(t)\equiv\boldsymbol{x}_0$ ，且

$\displaystyle\boldsymbol{x}_k(t)=\boldsymbol{x}^0+\int_{t_0}^t(\boldsymbol{A}(\tau)\boldsymbol{x}_{k-1}(\tau)+\boldsymbol{f}(\tau))\text{d}\tau\quad(3.5)$

这里 $k=1,2,\cdots$ 且 $t\in[\alpha,\,\beta].$ 容易归纳地证明，对任意正整数 $k$ ，向量函数 $\boldsymbol{x}_k(t)$ 在区间 $[\alpha,\,\beta]$ 上是一致收敛的，它的极限函数 $\displaystyle\lim_{k\to\infty}\boldsymbol{x}_k(t)$ 在区间 $[\alpha,\,\beta]$ 上连续且满足等价积分方程（3.4）.

第三步

向量函数序列 $\{\boldsymbol{x}_k(t)\}$ 在区间 $[\alpha,\,\beta]$ 上一致收敛. 为此只需证明向量函数级数

$\displaystyle\boldsymbol{x}_0(t)+\sum_{j=2}^{\infty}\left[\boldsymbol{x}_j(t)-x_{j-1}(t)\right],\;(\alpha\leqslant t\leqslant\beta)\quad(3.6)$

在区间 $[\alpha,\,\beta]$ 上一致收敛，因为它的前 $k$ 项之和维 $\boldsymbol{x}_k(t).$

因为 $\boldsymbol{A}(t)$ 和 $\boldsymbol{f}(t)$ 都在区间 $[\alpha,\,\beta]$ 上连续，所以 $\lVert\boldsymbol{A}(t)\rVert$ 和 $\lVert\boldsymbol{f}(t)\rVert$ 都在区间 $[\alpha,\,\beta]$ 上有界，即存在大于零的常数 $M$ ，使得

$\lVert\boldsymbol{A}(t)\rVert\leqslant M,\quad\lVert\boldsymbol{f}(t)\rVert\leqslant M,\alpha\leqslant t\leqslant\beta$

成立. 利用（3.5）可以归纳地证明在区间 $[\alpha,\,\beta]$ 上成立

$\lVert\boldsymbol{x}_j(t)-\boldsymbol{x}_{j-1}(t)\rVert\leqslant(\lVert\boldsymbol{x}^0\rVert+1)\dfrac{M^j}{j!}|t-t_0|^j\quad(3.7)$

证明 $j=1$ 的情形和假设 $j=m$ 成立时证明 $j=m+1$ 的情形的房费基本是一样的. 事实上，由（3.5）和归纳法假设，

$\begin{aligned} &\lVert\boldsymbol{x}_{m+1}(t)-\boldsymbol{x}_m(t)\rVert\\ \leqslant&\left|\int_{t_0}^t\lVert\boldsymbol{A}(\tau)\rVert\,\lVert\boldsymbol{x}_m(\tau)-\boldsymbol{x}_{m-1}(\tau)\rVert\text{d}\tau\right|\\ \leqslant&M(\lVert\boldsymbol{x}^0\rVert+1)\dfrac{M^m}{m!}\left|\int_{t_0}^t|\tau-t_0|^m\text{d}\tau\right|\\ =&(\lVert\boldsymbol{x}^0\rVert+1)\dfrac{M^{m+1}}{(m+1)!}|t-t_0|^{m+1} \end{aligned}$

用比值判别法知级数

$\displaystyle\sum_{j=1}^{\infty}\dfrac{M^j}{j!}|t-t_0|^j$

在区间 $[\alpha,\,\beta]$ 上是一致收敛的. 因此级数（3.6）在区间 $[\alpha,\,\beta]$ 上一致收敛. 从而，向量函数序列 $\{\boldsymbol{x}_k(t)\}$ 在区间 $[\alpha,\,\beta]$ 上是一致收敛的.

第四步

根据收敛性，设

$\displaystyle\lim_{k\to\infty}\boldsymbol{x}_k(t)=\boldsymbol{x}(t)$

由序列 $\{\boldsymbol{x}_k(t)\}$ 的连续性和一致收敛性，它的极限函数 $\boldsymbol{x}(t)$ 也在区间 $[\alpha,\,\beta]$ 上连续. 在（3.5）式两边令 $k\to\infty$ 取极限得到

$\displaystyle\lim_{k\to\infty}\boldsymbol{x}_k(t)=\boldsymbol{x}^0+\int_{t_0}^t\lim_{k\to\infty}(\boldsymbol{A}(\tau)\boldsymbol{x}_{k-1}(\tau)+\boldsymbol{f}(\tau))\text{d}\tau.$

即极限函数 $\boldsymbol{x}(\tau)$ 对所有的 $\alpha\leqslant t\leqslant\beta$ 都满足积分方程（3.4）.

第五步

证明积分方程（3.4）的连续解的唯一性. 设 $\tilde{\boldsymbol{x}}(t)$ 是在同一区间 $[\alpha,\,\beta]$ 上的积分方程（3.4）的另一个连续解. 容证明 $\boldsymbol{y}:=\boldsymbol{x}(t)=\tilde{\boldsymbol{x}}(t)$ 满足积分方程

$\displaystyle\boldsymbol{y}(t)=\int_{t_0}^t\boldsymbol{A}(\tau)\boldsymbol{y}(\tau)\text{d}\tau,\quad\alpha\leqslant t\leqslant\beta$

由连续性，令 $L>0$ 为 $\lVert\boldsymbol{y}(t)\rVert$ 在有界闭区间 $[\alpha,\,\beta]$ 上的一个上界. 和前面类似，可以可以归纳地证明对任意正整数 $k$ ,

$\displaystyle\lVert\boldsymbol{y}(t)\rVert\leqslant\dfrac{LM^k}{k!}|t-t_0|^k,\quad\alpha\leqslant t\leqslant\beta\quad(3.8)$

上面的不等式右端当 $k\to\infty$ 时趋于零，因此 $\boldsymbol{y}(t)\equiv0$ ，即在区间 $[\alpha,\,\beta]$ 上 $\tilde{\boldsymbol{x}}(t)\equiv\boldsymbol{x}(t)$ . 定理证毕.

在证明定理 3.1 时所采用的逐次逼近法时 Picard 给出的. Picard 逐次逼近法也是用来求方程近似解的一种方法.

最后编辑于：2019.11.13 17:00:49

人面猴
序言：七十年代末，一起剥皮案震惊了整个滨河市，随后出现的几起案子，更是在滨河造成了极大的恐慌，老刑警刘岩，带你破解...
沈念sama阅读 215,634评论 6赞 497
死咒
序言：滨河连续发生了三起死亡事件，死亡现场离奇诡异，居然都是意外死亡，警方通过查阅死者的电脑和手机，发现死者居然都...
沈念sama阅读 91,951评论 3赞 391
救了他两次的神仙让他今天三更去死
文/潘晓璐我一进店门，熙熙楼的掌柜王于贵愁眉苦脸地迎上来，“玉大人，你说我怎么就摊上这事。” “怎么了？”我有些...
开封第一讲书人阅读 161,427评论 0赞 351
道士缉凶录：失踪的卖姜人
文/不坏的土叔我叫张陵，是天一观的道长。经常有香客问我，道长，这世上最难降的妖魔是什么？我笑而不...
开封第一讲书人阅读 57,770评论 1赞 290
港岛之恋（遗憾婚礼）
正文为了忘掉前任，我火速办了婚礼，结果婚礼上，老公的妹妹穿的比我还像新娘。我一直安慰自己，他们只是感情好，可当我...
茶点故事阅读 66,835评论 6赞 388
恶毒庶女顶嫁案：这布局不是一般人想出来的
文/花漫我一把揭开白布。她就那样静静地躺着，像睡着了一般。火红的嫁衣衬着肌肤如雪。梳的纹丝不乱的头发上，一...
开封第一讲书人阅读 50,799评论 1赞 294
城市分裂传说
那天，我揣着相机与录音，去河边找鬼。笑死，一个胖子当着我的面吹牛，可吹牛的内容都是我干的。我是一名探鬼主播，决...
沈念sama阅读 39,768评论 3赞 416
双鸳鸯连环套：你想象不到人心有多黑
文/苍兰香墨我猛地睁开眼，长吁一口气：“原来是场噩梦啊……” “哼！你这毒妇竟也来了？” 一声冷哼从身侧响起，我...
开封第一讲书人阅读 38,544评论 0赞 271
万荣杀人案实录
序言：老挝万荣一对情侣失踪，失踪者是张志新（化名）和其女友刘颖，没想到半个月后，有当地人在树林里发现了一具尸体，经...
沈念sama阅读 44,979评论 1赞 308
护林员之死
正文独居荒郊野岭守林人离奇死亡，尸身上长有42处带血的脓包…… 初始之章·张勋以下内容为张勋视角年9月15日...
茶点故事阅读 37,271评论 2赞 331
白月光启示录
正文我和宋清朗相恋三年，在试婚纱的时候发现自己被绿了。大学时的朋友给我发了我未婚夫和他白月光在一起吃饭的照片。...
茶点故事阅读 39,427评论 1赞 345
活死人
序言：一个原本活蹦乱跳的男人离奇死亡，死状恐怖，灵堂内的尸体忽然破棺而出，到底是诈尸还是另有隐情，我是刑警宁泽，带...
沈念sama阅读 35,121评论 5赞 340
日本核电站爆炸内幕
正文年R本政府宣布，位于F岛的核电站，受9级特大地震影响，放射性物质发生泄漏。R本人自食恶果不足惜，却给世界环境...
茶点故事阅读 40,756评论 3赞 324
男人毒药：我在死后第九天来索命
文/蒙蒙一、第九天我趴在偏房一处隐蔽的房顶上张望。院中可真热闹，春花似锦、人声如沸。这庄子的主人今日做“春日...
开封第一讲书人阅读 31,375评论 0赞 21
一桩弑父案，背后竟有这般阴谋
文/苍兰香墨我抬头看了看天上的太阳。三九已至，却和暖如春，着一层夹袄步出监牢的瞬间，已是汗流浃背。一阵脚步声响...
开封第一讲书人阅读 32,579评论 1赞 268
情欲美人皮
我被黑心中介骗来泰国打工，没想到刚下飞机就差点儿被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留，地道东北人。一个月前我还...
沈念sama阅读 47,410评论 2赞 368
代替公主和亲
正文我出身青楼，却偏偏与公主长得像，于是被迫代替她去往敌国和亲。传闻我的和亲对象是个残疾皇子，可洞房花烛夜当晚...
茶点故事阅读 44,315评论 2赞 352

微分方程-线性方程-存在性与唯一性

线性方程-存在性与唯一性

定理 3.1

定理 3.1 的证明

第一步

第二步

第三步

第四步

第五步

推荐阅读更多精彩内容