線性代數複習-part5

參考李宏毅老師課程

行列式(Determinant)

高中行列是複習

Cofactor Expansion

A_{ij}就是拿掉矩陣i-th row及j-th column，計算Determinant等於拿出任一row或column與cofactor相乘。

  • 例子
    計算Determinant。

行列式的性質

  • 常用性質
    2 \times 2是平行四邊形的面積，3 \times 3是方體的體積，det可以看成是高維空間中的體積。

    我們交換det的row只能改變det的正負號，不能改變他的絕對值(交換前後絕對值相同)。
    det對每個row而言是"linear"，這裡的linear與先前不同。
  • invertible相關性質
  • 其他性質

Cramer’s Rule

可以用來求invertible。

Eigenvalues and Eigenvectors(特徵值和特徵向量)

定義

\upsilon不能是零向量，如果為零向量，\lambda就可以等於任何值。

  • 例子
  • 特性
    一個eigenvalue\lambda會有好幾個eigenvetor\upsilon，對應到同一個eigenvalue的vetor不是一個subspace，因為\upsilon不包含zero vector。

如何找到特徵向量（給定特徵值）

(A-\lambda I_n)也可以等於(\lambda I_n-A)，可能的eigenvetor的集合就是eigenspace，eigenvetor等於Null　Space(A-\lambda I_n)-\{0\}(不包含zero vector)。

檢查scalar是否是特徵值

將\lambda代入Null　Space(A-\lambda I_n)，如果是零代表只有求得zero vector，因為\upsilon在定義上不能為零，所以\lambda不是eigenvalue。

尋找特徵值

解det(A-tI_n)=0的t值。
det(A)=\prod t，行列式。
trace(A)=\sum t，對角和。

  • 例子

特徵多項式(Characteristic Polynomial)

det(A-tI_n)=0我們稱它為特徵多項式(Characteristic Polynomial)，eigenvalue就是它的roots或solution。

  • 特性
    A matrix與它的RREF他們的特徵多項式是不同的，表示有不同的eigenvalue。
    兩個matrix如果是Similar matrices(B=P^{-1}AP)，那麼他們有同樣的特徵多項式以及eigenvalue。
    A shape = n \times n，Characteristic Polynomial它的order為n，它的root number一定小於等於n。

最后编辑于 ：
©著作权归作者所有,转载或内容合作请联系作者
平台声明：文章内容（如有图片或视频亦包括在内）由作者上传并发布，文章内容仅代表作者本人观点，简书系信息发布平台，仅提供信息存储服务。

推荐阅读更多精彩内容