近世代数理论基础35：伽罗瓦群及其子群的固定子域

伽罗瓦群及其子群的固定子域

固定子域

设 $E/F$ 为伽罗瓦扩张, $Gal(E/F)$ 为它的伽罗瓦群, $H$ 为 $Gal(E/F)$ 的子群

令 $Inv(H)=\{a\in E|\sigma(a)=a,\forall \sigma\in H\}$ ,即 $Inv(H)$ 是在H中任一相对F自同构作用下不变的元所组成的子域,显然有 $F\subset Inv(H)$

例： $Gal(\Q(\sqrt[3]{2},\omega)/\Q)$ 的6个元中, $\sigma_1$ 是恒等映射

它对应的固定子域 $Inv(\sigma_1)=\Q(\sqrt[3]{2},\omega)$

$\sigma_4^2(\sqrt[3]{2})=\sqrt[3]{2},\sigma_4^2(\omega)=\sigma_4(\omega^2)=\omega^4=\omega$

故 $\sigma_4^2=\sigma_1$ , $H_1=\{\alpha_1,\alpha_2\}$ 是2阶子群

易知 $Inv(H_1)=\Q(\sqrt[3]{2})$

类似地, $H_2=\{\sigma_1,\sigma_5\},H_3=\{\sigma_1,\sigma_6\}$ 也都是2阶子群

$\sigma_5(\sqrt[3]{2}\omega^2)=\sqrt[3]{2}\omega\cdot \omega^4=\sqrt[3]{2}\omega^2$

$\sigma_6(\sqrt[3]{2}\omega)=\sqrt[3]{2}\omega^2\cdot \omega^2=\sqrt[3]{2}\omega$

故 $Inv(H_2)=\Q(\sqrt[3]{2}\omega^2),Inv(H_3)=\Q(\sqrt[3]{2}\omega)$

易知 $\sigma_2^2=\sigma_3,\sigma_2^3=\sigma_1$

故 $H_4=\{\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3\}$ 是一个3阶循环群,且 $Inv(H_4)=\Q(\omega)$

方程 $x^3-2=0$ 的3个根为 $\alpha_1=\sqrt[3]{2},\alpha_2=\omega\sqrt[3]{2},\alpha_3=\omega^2\sqrt[3]{2}$

方程的伽罗瓦群 $Gal(\Q(\sqrt[3]{2},\omega)/\Q)$ 是这3个根的置换群 $S_3$

若用循环置换表示,并1代表 $\alpha_1$ ,2代表 $\alpha_2$ ,3代表 $\alpha_3$ ,则 $\sigma_4=(23)$ , $\sigma_5=(12)$ , $\sigma_6=(13)$ , $\sigma_2=(123)$ , $\sigma_3=(132)$

$H_4$ 即 $S_3$ 中的偶置换群 $A_3$

易知 $Gal(\Q(\sqrt[3]{2},\omega)/\Q)$ 的固定子域为 $\Q$

定理：若 $E/F$ 是伽罗瓦扩张, $G=Gal(E/F)$ ,则 $F=Inv(G)$

证明：

$令K=Inv(G)$

$则F\subset K\subset E,E/K为伽罗瓦扩张$

$由K的定义$

$显然G\subset Gal(E/K)$

$\therefore [E:F]\ge [E:K]=|Gal(E/K)|\ge |G|=[E:F]$

$\therefore [E:F]=[E:K]$

$即K=F$

$令G=Gal,\Gamma=\{G的全体子群\}$

$\Sigma=\{E/F的全体中间域(包括E和F)\}$

$G中任一子群H对应E/F的一个中间域Inv(H)$

$反之,E/F的任一中间域K也决定G中的一个子群Gal(E/K)\qquad\mathcal{Q.E.D}$

基本定理

定理：设 $E/F$ 为伽罗瓦扩张, $G=Gal(E/F),\Gamma=\{G的全体子群\}$ , $\Sigma=\{E/F的全体中间域\}$ ,则 $Inv:\Gamma\to \Sigma$ 和 $Gal:\Sigma\to \Gamma$ 互为逆映射,给出了 $\Gamma$ 和 $\Sigma$ 之间的反序一一对应

注：反序指：若 $H_1\subset H_2\subset G$ ,则 $Inv(H_2)\supset Inv(H_2)$ ,若 $K_1\subset K_2\subset E$ ,则 $Gal(E/K_1)\supset Gal(E/K_2)$

证明：

$设K\in \Sigma,H\in \Gamma$

$则只需证Inv(Gal(E/K))=K,Gal(E/Ink(H))=H$

$若F\subset K\subset E,则E/K为伽罗瓦扩张$

$将K作为F,有Inv(Gal(E/K))=K$

$设H\in \Gamma,K=Inv(H)$

$则H\subset Gal(E/K),|H|\le [E:K]$

$\therefore \exists \alpha\in E,使E=F(\alpha)$

$\alpha在F上的极小多项式在E中有n=[E:F]个$

$不同的根\alpha=\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$

$G中任一同构将\alpha映射为某个\alpha_i$

$显然E=K(\alpha)$

$设\alpha在K上的极小多项式为g(x)$

$H中的同构分别将\alpha映射为|H|个\alpha_i,且互不相同$

$\forall \sigma\in H,g(\sigma(\alpha))=\sigma(g(\alpha))=\sigma(0)=0$

$\therefore \sigma(\alpha)也是g(x)的根$

$\therefore [E:K]=deg(g(x))\le |H|$

$\therefore [E:K]=|H|,Gal(E/Inv(H))=H$

$易知\Gamma与\Sigma之间的一一对应是反序的\qquad\mathcal{Q.E.D}$

例：

1.令 $F_{q^n}$ 表示有 $q^n$ 个元的有限域,其中q为素数方幂,将 $F_{q^n}$ 看作它的子域 $F_q$ 的n次扩张

$G=Gal(F_{q^n}/F_q)$ 是由 $F_{q^n}$ 相对 $F_q$ 的自同构 $\tau$ 生成的n阶循环群

其中 $\tau:F_{q^n}\to F_{q^n}\\\quad a\mapsto a^q$

G的任一子群 $H_r=(\tau^r)$ ,r为n的因子

$\tau^r(a)=a^{q^r}$ ,故 $\tau^r(a)=a$ 当且仅当 $a\in F_{q^r}$ ,即子群 $H_r$ 对应的固定子域是 $F_{q^r}$

2.设p为素数,p次本原单位根 $\zeta_p=e^{2\pi/p}$ 在 $\Q$ 上的极小多项式为 $f(x)={x^p-1\over x-1}=x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots+x+1$

g为模p的原根, $\zeta_p=e^{2\pi i/p}$

$G=Gal(\Q(\zeta_p)/\Q)$ 是由相对 $\Q$ 的自同构 $\sigma_g$ 生成的p-1阶循环群

$\sigma_g:\Q(\zeta_p)\to \Q(\zeta_p)\\\quad \zeta_p\mapsto \zeta_p^g$

G的任一子群 $H_e=(\sigma_g^e)$ ,其中e是p-1的因子

推论：设 $H_1,H_2\in \Gamma$ , $M_i=Inv(H_i)(i=1,2)$ ,则 $Inv(H_1\cup H_2)=M_1\cap M_2$ , $Inv(H_1\cap H_2)=M_1M_2$

其中 $H_1\cup H_2$ 为由 $H_1$ 和 $H_2$ 生成的G的子群, $M_1M_2$ 表示域 $M_1,M_2$ 生成的子域

证明：

$H_1\cup H_2是同时包含H_1,H_2最小的子群$

$H_1\cap H_2是同时包含在M_1,M_2中的最大子域$

$由\Gamma与\Sigma之间一一对应的反序性$

$可证Inv(H_1\cup H_2)=M_1\cap M_2$

$同理可证Inv(H_1\cap H_2)=M_1M_2\qquad\mathcal{Q.E.D}$

近世代数理论基础35：伽罗瓦群及其子群的固定子域

伽罗瓦群及其子群的固定子域

固定子域

基本定理

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