课本是电子工业出版社出版的奥本海姆《信号与系统》第二版，刘树棠译。

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0. 涉及内容

p.110 - p.127

1. LTI系统对复指数信号的响应

1.1 傅里叶分析的基本信号

第二章我们就学到了，对于LTI系统的分析，将信号分解为基本信号的线性组合，这个方法对信号与系统的分析极为有用。

基本信号需要满足以下两个条件：

由这些基本信号能够构成非常广泛的有用信号；
LTI系统对基本信号的响应应该十分简单且方便计算。

第二章我们用的是单位脉冲的移位来作为这个基本信号，并导出了卷积和与卷积积分。从这里开始学习傅里叶分析，基本信号选取的是复指数信号，即连续时间的 $e^{st}$ 和离散时间的 $z^n$ 信号，其中 $s$ 和 $n$ 都是复数。

1.2 本征函数(eigenfunction)与本征值(eigenvalue)

对于LTI系统，复指数信号的重要性在于LTI系统对复指数信号的响应仍然是一个复指数信号，不同的只是在幅度上的变化，即

连续时间： $e^{st} \rightarrow H(s)e^{st}$
离散时间： $z^{n} \rightarrow H(z)z^n$

其中 $H(s)$ 或 $H(z)$ 是复振幅因子，一般来说是复变量 $s$ 或 $z$ 的函数。

一个信号，若系统对该信号的输出响应仅是一个常数（可能是复数）乘以输入，则该信号就是系统的特征函数，幅度因子就是特征值。

1.3 证明复指数是LTI系统的特征函数

连续时间情况下的证明

考虑连续时间LTI系统具有单位冲激响应 $h(t)$ ，当输入 $x(t)=e^{st}$ ，输出可以由卷积积分求出，有，
$y(t)=\int^{+\infty}_{-\infty} h(\tau) e^{s(t-\tau)} \mathrm{d} \tau = \int^{+\infty}_{-\infty} h(\tau) e^{st}e^{-s \tau} \mathrm{d} \tau$

因为积分变量为 $\tau$ ，所以可以把 $e^{st}$ 提出到积分外，
$y(t)= e^{st} \int^{+\infty}_{-\infty} h(\tau) e^{-s \tau} \mathrm{d} \tau$

假设积分收敛，则
$y(t) = H(s) e^{st}$

其中，
$H(s) = \int^{+\infty}_{-\infty} h(\tau) e^{-s \tau} \mathrm{d} \tau$

离散情况下的证明

有输入 $x[n] = z^n$ ，由卷积和得到LTI系统的输出
$y[n] = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} h[k]x[n-k] = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} h[k]z[n-k] ={z^n} \sum_{k=-\infty}^{+\infty} h[k]z^{-k}$

假设求和收敛，则
$y[n] = H(z) z^n$

其中，
$H(z)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} h[k]z^{-k}$

1.4 LTI系统的响应及傅里叶分析的范围

对于连续时间LTI系统而言，如果输入信号可以表示为复指数的线性组合，即
$x(t)=\sum_{k} {a_k} e^{{s_k}t}$

那么输出一定为，
$y(t) = \sum_{k} {a_k} H(s_k) e^{{s_k}t}$

同样的，对于离散时间LTI系统，如果输入可以表示为
$x[n]=\sum_{k} {a_k} {z_k^n}$

那么输出一定可以表示为
$y[n] = \sum_{k} {a_k} H(z_k) {z_k^n}$

一般来说， $s$ 和 $z$ 可以是任意复数，但傅里叶分析仅限于 $s=j\omega$ 和 $z=e^{i\omega}$ ，也就是只考虑 $e^{j\omega t}$ 和 $e^{j\omega n}$ 。

2. 连续时间周期信号的傅里叶级数表示

2.1 成谐波关系的复指数信号的线性组合

对于周期信号 $x(t)=x(t+T)$ ，满足该式的最小正值 $T$ 就是基波周期， ${\omega}_0 = 2\pi / T$ 为基波频率。

成谐波关系的复指数信号集就是，
${\phi}_k(t)=e^{jk{\omega _0}t}=e^{jk(2{\pi}/T)t}, \quad k = 0,\pm 1, \pm 2, ...$

这些信号的基波频率都是 $\omega _0$ 的倍数，而且每个信号对 $T$ 都是周期的。于是一个由成谐波关系的复指数线性组合构成的信号为，
$x(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} {a_k} e^{jk{\omega _0}t} = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} {a_k} e^{jk(2{\pi}/T)t}$

这个信号 $x(t)$ 对 $T$ 来说也是周期的。上式就称为傅里叶级数表示。

上式中， $k=0$ 这一项就是一个常数， $k=-1$ 和 $k=+1$ 这两项都有基波频率等于 $\omega _0$ ，两者合在一起称为基波分量或一次谐波分量。依次有 $k$ 次谐波分量。

我们一般研究实周期信号的傅里叶级数，那么就有，
$x(t)={x^*}(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} {a_k^*} e^{-jk{\omega _0}t}$

对于上式中的求和，用 $-k$ 代替 $k$ ，于是
$x(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} {a_{-k}^*} e^{jk{\omega _0}t}$

两式比较，发现需要 ${a_k^*} = a_{-k}$ ，将 ${a_k}$ 以极坐标形式写出， $a_k = {A_k}e^{j{\theta}_k}$ ，那么 $x(t)$ 可以表示为，
$x(t)=a_0 + 2 \sum_{k=1}^{\infty} {A_k} \cos (k{\omega _0}t + {\theta}_k)$

上式为实周期信号的傅里叶级数表示。由于复指数表示计算更为方便，我们后面都用复指数表示。

2.2 连续时间周期信号的傅里叶级数表示

将给定的连续时间周期信号写成傅里叶级数，需要确定系数 $a_k$ 。连续时间周期信号的傅里叶级数表示为，
$x(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} {a_k}e^{jk{\omega _0} t}$

左右同时乘以 $e^{-jn{\omega _0}t}$ ，得到
$x(t) e^{-jn{\omega _0}t}=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} {a_k}e^{jk{\omega _0} t} e^{-jn{\omega _0}t} = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} {a_k}e^{j(k-n){\omega _0} t}$

从 $0$ 到 $T$ 对 $t$ 积分，得
$\int_{0}^{T} x(t) e^{-jn{\omega _0}t} \mathrm{d} t = \int_{0}^{T} \sum_{k=-\infty}^{+\infty} {a_k}e^{j(k-n){\omega _0} t} \mathrm{d} t$

交换求和与积分次序，得
$\int_{0}^{T} x(t) e^{-jn{\omega _0}t} \mathrm{d} t = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} {a_k} \int_{0}^{T} e^{j(k-n){\omega _0} t} \mathrm{d} t$

对于积分 $\int_{0}^{T} e^{j(k-n){\omega _0} t} \mathrm{d} t$ ，

当 $k \neq n$ 时， $e^{j(k-n){\omega _0} t}$ 为一周期信号，基波周期为 $T$ 的约数，所以积分为0
当 $k=n$ 时，积分结果为 $T$

综上，
$\int_{0}^{T} x(t) e^{-jn{\omega _0}t} \mathrm{d} t = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} {a_k} \int_{0}^{T} e^{j(k-n){\omega _0} t} \mathrm{d} t = a_n T$

因此得到，
$a_n = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} x(t) e^{-jn{\omega _0}t} \mathrm{d} t$

总结一下，连续时间周期信号的傅里叶级数表达式

综合公式（synthesis equation）
$x(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} {a_k} e^{jk{\omega _0}t}=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} {a_k} e^{jk{(2\pi /T)}t}$
分析公式（analysis equation）
$a_k = {\frac{1}{T}} \int_T x(t) e^{-jk\omega _0 t} \mathrm{d} t = {\frac{1}{T}} \int_T x(t) e^{-jk (2\pi /T) t} \mathrm{d} t$

系数 $\{a_k\}$ 称为 $x(t)$ 的傅里叶级数系数，或称频谱系数。

3. 傅里叶级数的收敛

研究周期信号的有限项级数与 $x(t)$ 近似的问题，
$x_N(t)=\sum_{k=-N}^{+N} a_k e^{jk\omega _0 t}$

令 $e_N(t)$ 为近似误差，
$e_N(t)=x(t)-x_N(t)=x(t)-\sum_{k=-N}^{+N} a_k e^{jk\omega _0 t}$

用一个周期内误差的能量来衡量近似误差的大小，
$E_N=\int_T \vert e_N(t) \vert ^2 \mathrm{d} t$

周期信号若想表示为傅里叶级数，必须满足两类条件，

第一类条件：周期信号在其一个周期内能量有限，即
$\int_T \vert x(t) \vert ^2 \mathrm{d}t < \infty$

满足这个条件并不意味着周期信号和它的傅里叶级数在每一个 $t$ 值上都相等，只表示两者没有能量上的差别。

第二类条件：狄利赫里条件
条件1：在任何周期内， $x(t)$ 必须绝对可积，即
$\int_T \vert x(t) \vert \mathrm{d} t < \infty$

这个条件保证了每个系数 $a_k$ 都是有限值。

条件2：在任意有限区间内， $x(t)$ 具有有限个起伏变化，也就是说，在任意单个周期内， $x(t)$ 的最大值和最小值的数量是有限的。
条件3：在 $x(t)$ 的任意有限区间内，只有有限个不连续点，而且在这些不连续点上，函数是有限值。

对于一个不存在间断点的周期信号而言，傅里叶级数收敛且在每个 $t$ 值上的级数都与原信号相等；

对于在一个周期内存在有限间断点的周期信号，除去那些间断点，级数与原信号相等；在间断点处，级数收敛于原信号不连续点处的平均值。

在这种情况下，两者没有能量上的差别。

吉布斯现象

表现为傅里叶级数在原信号不连续点处，傅里叶级数具有9%的超量，而且不论 $N$ 取多大，这个超量不变。

一个不连续信号 $x(t)$ 的傅里叶级数的截断近似 $x_N(t)$ ，一般来说，在接近不连续点处将呈现高频起伏和超量。

4. 连续时间傅里叶级数的性质

4.1 线性性质

周期都为 $T$ 的两个信号 $x(t)$ 和 $y(t)$ ，其傅里叶级数系数分别是 $a_k$ 和 $b_k$ ，即
$x(t) \xleftrightarrow{FS} a_k$

$y(t) \xleftrightarrow{FS} b_k$

那么就有
$z(t)=Ax(t)+By(t) \xleftrightarrow{FS} Aa_k+Bb_k$

4.2 时移性质

$x(t-t_0) \xleftrightarrow{FS} e^{-jk{\omega _0} t_0} a_k$

从这个性质可以看出，信号在时间上的移位，其傅里叶级数系数的模保持不变。

4.3 时间反转

$x(-t) \xleftrightarrow{FS} a_{-k}$

施加于连续时间信号上的时间反转会导致其对应的傅里叶级数系数序列的左右反转。

如果 $x(t)$ 是偶函数，那么其傅里叶级数系数也是偶函数；如果 $x(t)$ 是奇函数，那么其傅里叶级数系数也是奇函数。

4.4 时域尺度变换

$x(\alpha t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k e^{jk(\alpha \omega _0)t}$

可以看出时域尺度变换不会导致信号的傅里叶级数系数的变化，但其傅里叶级数表示还是变化了，因为基频变了。

4.5 相乘

有两个相同周期的连续时间周期信号 $x(t)$ 和 $y(t)$ ，相乘后信号的傅里叶级数系数为
$x(t) y(t) \xleftrightarrow{FS} h_k=\sum_{l=-\infty}^{+\infty} a_l b_{k-l}$

我们可以注意到，相同周期连续时间信号相乘后，其傅里叶级数系数 $h_k$ 可以看作 $a_k$ 和 $b_k$ 的离散卷积和。我会在后面学习连续时间非周期信号傅里叶变换性质中，再次看到这个性质，时间相乘映射到频域里的卷积。

4.6 共轭及共轭对称

将一个周期信号 $x(t)$ 取其复数共轭（考虑信号为复数信号），那么其傅里叶级数系数为
$x^*(t) \xleftrightarrow{FS} a_{-k}^*$

当 $x(t)$ 为实函数时，那么有 $x(t)=x^*(t)$ ，也就是说此时 $a_k^*=a_{-k}$ 。

如果 $x(t)$ 为实偶函数，那么其傅里叶级数系数为实偶函数；如果 $x(t)$ 为实奇函数，其傅里叶级数系数为纯虚奇函数。

4.7 连续时间周期信号的帕斯瓦尔定理

$\frac{1}{T} \int_T \vert x(t) \vert ^2 \mathrm{d} t = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \vert a_k \vert ^2$

一个周期信号的平均功率等于其全部谐波分量的平均功率之和。

5. 傅里叶级数与线性时不变系统

在1.3节中我们定义
$H(s)=\int_{-\infty}^{+\infty} h(\tau)e^{-s\tau} \mathrm{d} \tau$

当输入为 $x(t)=e^{st}$ 时，输出
$y(t)=H(s)e^{st}$

当 $s$ 为一般复数时， $H(s)$ 称为系统函数，对于连续时间信号与系统而言，在这一章和下一章中，我们只考虑 $s$ 为纯虚数， $s=j\omega$ 。具有 $s=j\omega$ 形式的系统函数[即 $H(j\omega)$ 被看作 $\omega$ 的函数]，该系统函数就被称为该系统的频率响应，
$H(j\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} h(t) e^{-j\omega t} \mathrm{d} t$

令 $x(t)$ 为一个周期信号，将其写作傅里叶级数表示
$x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{jk\omega _0 t}$

那么根据线性性质，输出可以得到
$y(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k H(jk\omega _0) e^{jk\omega _0 t}$

也就是说，LTI系统的作用就是通过乘以相应频率点上的频率响应值来逐个改变输入信号的每一个傅里叶系数。

6. 滤波

这一节书中的内容也不复杂，主要是了解一下，第七章会集中介绍利用傅里叶变换方法研究滤波。用于改变频谱形状的LTI系统往往称为频率成形滤波器，近似无失真通过某些频率，而显著衰减或消除另一些频率的LTI系统称为频率选择性滤波器。

7. 用微分方程描述的连续时间滤波器举例

参考书中p.153的电路图，一阶RC滤波器，根据选取的输出不同，如果选取电容两端的电压 $v_c$ 为输出，系统为低通滤波器；如果选取电阻两端电压 $v_r$ 为输出，就是高通滤波器。

7.1 简单RC低通滤波器

$RC \frac{\mathrm{d}v_c (t)}{\mathrm{d}t}+v_c (t) = v_s (t)$

假定该系统是初始松弛的，那么上面这个微分方程描述的就是一个LTI系统。当输入 $v_s (t)=e^{j\omega t}$ 时，输出一定为 $v_c (t) = H(j\omega) e^{j\omega t}$ ，将 $v_s$ 和 $v_c$ 代入微分方程，得到
$RCj \omega H(j\omega)e^{j\omega t}+H(j\omega) e^{j\omega t} = e^{j\omega t}$