一、基础准备
1、四色猜想的问题描述
将一块有限平面分成一些相邻的区域（这里相邻定义为至少有一条曲边由两个区块共有，而非一个点），每个分割后的联通区域称为一个国家（也就是说，没有现实地图中“飞地”的问题），这样的划分结果称为一个地图。要求给地图中每个国家上色，一个国家整体是一种颜色，相邻的国家不能有相同颜色，只需要4种颜色即可做到。
2、地图的可约性操作
因为可用的颜色有4种，所以显然对于有不超过3个邻国区域的目标国家区域可以直接用剩余尚未用到的颜色来直接着色。因此我们可以先对地图中拥有不超过3个邻国区域的国家区域进行一轮又一轮的顺次全部去除操作，直到地图上所有的国家区域都拥有4个及以上邻国区域或者全部国家区域都去除位为止。然后我们可以反向操作按相反次序把去除的国家区域逐步补回来并用4种颜色之一的可用颜色完成着色，因为之前被去除的每一国家区域的邻国区域都不超过3个，所以此时每一补回来的国家区域都必然总是至少还有剩余一种可用的颜色来完成对其着色。但是此时我们对于地图中不可约的拥有4个及以上邻国区域的国家区域尚不能够解决着色问题，要想对拥有4个及以上邻国区域的国家区域能够解决着色问题，我们就得先保证这些国家区域是像拥有不超过3个邻国区域的国家区域那样完全可约的，然后再想办法让这些国家区域在进行补回操作时总是能够用4种颜色之一的可用颜色完成着色即可。
3、地图的完全可约性
如果我们能够证明任意地图中至少有一个国家区域的邻国区域数量最多不超过F个，那么对地图中拥有不超过F个邻国区域的国家区域进行一轮又一轮的顺次全部去除操作时，就可以确保做到直到把全部国家区域都去除为止，也就是说此时地图上的每一国家区域都是可约的。幸运的是我们可以用欧拉公式来完成这个证明，证明的结果是任意地图中至少有一个国家区域的邻国区域数量不超过5个即 F=5。在平面图中，有欧拉公式V+F-E=2，其中V为顶点数、F为面数、E为边数，它定量的指出了平面图的顶点数、边数和面数之间的约束相互关系。现用反证法，先假设存有这样的地图，其上每个国家区域都至少有6个邻国区域，这样所有F个国家区域加起来至少有6F条边界线。又因为每条边界线是由两个国家区域共享的，所以边界线的数量E至少是6F/2，即E≥3F，F≤⅓E。同样的，因为每个交点至少要有3条边界线，且每条边界线是由两个国家区域共享的，所以又有边界线的数量E至少是3V/2，即2E≥3V，V≤⅔E。现在把不等式F≤⅓E和V≤⅔E代入欧拉公式有F-E+V≤⅓E-E+⅓E=0，但是根据欧拉公式V+F-E=2，于是得到2≤0，显然这个不等式不成立。因此我们假设存有这样的地图其上每个国家区域都至少有6个邻国区域是错误的，所以任意地图中至少有一个国家区域的邻国区域数量不超过5个。这又进一步表明，我们还需要证明在平面地图上对于任何拥有4个或5个邻国区域的国家区域也都能够用4种颜色之一完成着色，这样才能确保证明四色猜想是成立的。
4、欧拉公式的证明
对于欧拉公式V+F-E=2（其中V为顶点数、F为面数、E为边数）的证明，我们可以对任何平面图重复做如下操作：
① 如果平面图中有一个顶点只与一条边相连（如图一），那么我们可以删去这条边和这个顶点，这样操作后。V减少1，F不变，E减少1，V+F-E不变。重复直至不存在这样的顶点。
② 如果平面图中有一条边连接两个顶点（如图二，注意由于我们是先做第一步的，这一步中的两个顶点一定有其他边相连），我们可以删去这条边，由这条边分割的两个面会变成一个面。这样操作后，V不变，F减少1，E减少1，V+F-E不变。返回第一条判断。
最终我们只会剩下一个顶点和一个以全平面为其内容的面（如图三），V为1，F为1，E为0，V+F-E=2。而在上述操作中，等式左侧的值永远不变，因此对任意平面图，V+F-E=2。
5、用“不存在五个两两相邻的国家区域”来证明是一种误证
首先是在平面地图上确实不存在5个两两相邻的国家区域，最多只能够存在4个两两相邻的国家区域。因为在平面上达到4个两两相邻的国家区域时，相应4个国家区域中的一个必然会被其它3个国家区域所完全包围，这样会使第5个国家区域根本无法实现与这4个国家区域都拥有边界线来相邻。但即使在平面地图上不存在5个两两相邻的国家区域，这也只是四色猜想问题证明的必要非充分条件。我们可以说，四色猜想问题成立，则地图上一定不存在5个两两相邻的国家区域，因为如果不是这样的话那显然至少需要5种颜色才能完成任意平面地图的着色。但不能反过来说，地图上不存在5个两两相邻的国家区域，则四色猜想问题一定成立。这就好比我们知道了一个以0为结尾的整数能够被5整除之后，并不能表明一个整数能够被5整除时就是以0为结尾，因为像5、25、75这样不以0为结尾的整数也能被5整除。
6、完成对拥有4个邻国区域的国家区域着色
为了解决四色猜想这个难题，艾尔弗雷德·布雷·肯普(Alfred Bray Kempe)引入了如今被称为肯普链的方法。肯普链是指在地图上从两种颜色之一出发且两种颜色连续交替邻接出现的所有着色国家区域组成的链条部分，注意这里虽然称为链，但其实它们有可能包含分支。现在假设在地图上我们即将要着色的目标国家区域S周围（如图四）从上方开始顺时针一圈4个相邻国家区域的已着色颜色依次是红(R)、蓝(B)、绿(G)、黄(Y)。因为目标国家区域S的4个相邻国家区域已经把4种颜色用尽，所以现在必须通过某种颜色变换操作使其4个相邻国家区域的着色使用颜色总共为3种才能对其使用剩余一种可选颜色完成着色，相应的颜色交换操作就是通过相关整条肯普链上的两种颜色相互交换着色国家区域位置的变换来完成。全部完整的颜色变换检查操作过程如下：
① 检查目标国家区域S的红色(R)与绿色(G)相邻国家区域是否在同一条肯普链上。如果不是（如图五），则可以单独将红色(R)相邻国家区域通过自身所处肯普链变换为绿色(G)，然后对目标国家区域S使用腾挪出来的红色(R)进行着色，或者可以单独将绿色(G)相邻国家区域通过自身所处肯普链变换为红色(R)，然后对目标国家区域S使用腾挪出来的绿色(G)进行着色即可。否则如果是（如图六），则需要进行下一个颜色变换检查操作过程。
② 因为经过上一个过程已经确定了目标国家区域S的红色(R)与绿色(G)相邻国家区域是在同一条肯普链上，此时目标国家区域S的蓝色(B)与黄色(Y)相邻国家区域会被红色(RG)肯普链完全隔离开，因此目标国家区域S的蓝色(B)与黄色(Y)相邻国家区域此时一定不在同一条肯普链上（如图七）。所以此时，可以单独将蓝色(B)相邻国家区域通过自身所处肯普链变换为黄色(Y)，然后对目标国家区域S使用腾挪出来的蓝色(B)进行着色，或者可以单独将黄色(Y)相邻国家区域通过自身所处肯普链变换为蓝色(B)，然后对目标国家区域S使用腾挪出来的黄色(Y)进行着色即可。
经过以上两个颜色变换检查过程后，我们就可以轻松解决完成在平面地图上对拥有4个邻国区域的任何目标国家区域使用4种颜色之一进行着色。
7、肯普对拥有5个邻国区域的国家区域着色的解决方案
肯普是在1879年发表的他关于四色问题的解决方法。假设在地图上我们即将要着色的目标国家区域S周围（如图八）从左上方开始顺时针一圈5个相邻国家区域的已着色颜色依次是红(R)、蓝(B)、红(R)、绿(G)、黄(Y)，则肯普的大致解决过程如下：
① 检查目标国家区域S的蓝色(B)与黄色(Y)相邻国家区域是否在同一条肯普链上。如果不是，则可以单独将蓝色(B)相邻国家区域通过自身所处肯普链变换为黄色(Y)，然后对目标国家区域S使用腾挪出来的蓝色(B))进行着色，或者可以单独将黄色(Y)相邻国家区域通过自身所处肯普链变换为蓝色(B)，然后对目标国家区域S使用腾挪出来的黄色(Y)进行着色即可。否则如果是（如图九），则需要进行下一个颜色变换检查操作过程。
② 检查目标国家区域S的蓝色(B)与绿色(G)相邻国家区域是否在同一条肯普链上。如果不是，则可以单独将蓝色(B)相邻国家区域通过自身所处肯普链变换为绿色(G)，然后对目标国家区域S使用腾挪出来的蓝色(B))进行着色，或者可以单独将绿色(G)相邻国家区域通过自身所处肯普链变换为蓝色(B)，然后对目标国家区域S使用腾挪出来的绿色(G)进行着色即可。否则如果是（如图十），则需要进行下一个颜色变换检查操作过程。
③ 首先（如图十一），从目标国家区域S左侧的红色(R)相邻国家区域出发找到完整的红绿肯普链(RG链)，并将目标国家区域S左侧的红色(R) 相邻国家区域通过找到的这条红绿肯普链(RG链)变换为绿色(G)。因为此时找到的这条红绿肯普链(RG链)会被①中在此之前已经找到的蓝黄肯普链(BY链)完全阻断与目标国家区域S右侧的红色(R)和右下方的绿色(G)相邻国家区域发生连接，所以目标国家区域S右侧的红色(R)和右下方的绿色(G)相邻国家区域此时依然会保持原有着色状态。其次（如图十一），从目标国家区域S右侧的红色(R)相邻国家区域出发找到完整的红黄肯普链(RY链)，并将目标国家区域S右侧的红色(R) 相邻国家区域通过找到的这条红黄普链(RY链)变换为黄色(Y)。因为此时找到的这条红黄肯普链(RY链)会被②中在此之前已经找到的蓝绿肯普链(BG链) 完全阻断与目标国家区域S左侧的红色(R)和左下方的黄色(Y)相邻国家区域发生连接，所以目标国家区域S左侧的红色(R)和左下方的黄色(Y)相邻国家区域此时依然会保持原有着色状态。最后，因为现在目标国家区域S周围5个相邻国家区域的着色颜色已经从红(R)、蓝(B)、红(R)、绿(G)、黄(Y)变为了绿(G)、蓝(B)、黄(Y)、绿(G)、黄(Y)，所以此时对目标国家区域S使用腾挪出来的红色(Y)进行着色即可。
虽然看起来肯普对拥有5个邻国区域的国家区域着色的解决方案十分完美，但后来被证实这是一个错误的解决方案，事情比他预想的还要复杂得多。
8、对拥有5个邻国区域的国家区域着色的解决困境
在1879年肯普发表他的证明之后又过了足足11年，1890年的珀西·希伍德（Percy Heawood）在肯普的证明中发现了一处致命的错误，也就让“四色定理”又变回了“四色猜想”。 因为对于图十一的情况，如果顺利进一步展开后为如图十二所示的情况，那么会得到如图十三所示的满意结果。但是对于图十一的情况，还可能进一步展开后为如图十四所示的情况，这正是希伍德给出的一个反例。如果我们此时还想要对调红绿(RG)、红黄(RY)肯普链上的颜色，那么上方的绿色(G)和黄色(Y)两个区域都会变成红色(R)，这样对调颜色的结果会变为如图十五所示已经行不通了。遗憾的是，希伍德发现的这个漏洞是如此之大，使得肯普再也没能完善他原本的证明，只好以失败告终。尽管希伍德也无法弥补肯普证明中的漏洞，但他还是充分汲取了肯普思路中的可鉴之处证明了五色定理。
二、核心证明
1、总体设想
对拥有5个邻国区域的国家区域完成着色是对四色猜想成立证明的核心难点所在。对于把处于同一肯普链上的相关国家区域进行红黄(RY)、红绿(RG)、红蓝(RB)、蓝黄(BY)、蓝绿(BG)或黄绿(YG)等颜色对调这种操作而言，大可以做到像数学公式那样进行有目的有规律的变换操作，然后在每一关键变换操作完成后去检验是否能够使用腾挪出来的四种颜色之一完成对目标国家区域的着色。因为只要有一次相应的变换检验结果为是能够完成对目标国家区域的着色即可，且这样的变换检验操作又几乎是天文量级或者说无限量级的，所以称本文这样对四色猜想的证明为极限成立证明。
2、做起始状态检查
假设在地图上我们即将要着色的目标国家区域S周围（如图八）从左上方开始顺时针一圈5个相邻国家区域的已着色颜色依次是红(R)、蓝(B)、红(R)、绿(G)、黄(Y)，现对目标国家区域S及其相邻5个国家区域做起始状态检查，具体过程如下：
① 同前面基础准备中第7小节肯普对拥有5个邻国区域的国家区域着色的解决方案中的①过程。
② 同前面基础准备中第7小节肯普对拥有5个邻国区域的国家区域着色的解决方案中的②过程。
③ 同前面基础准备中第7小节肯普对拥有5个邻国区域的国家区域着色的解决方案中的③过程。如果③过程结果会出现前面基础准备中第8小节对拥有5个邻国区域的国家区域着色的解决困境，那么可以尝试对变换颜色后会产生相邻红色(RR)冲突的全部对应相邻绿色(G)和黄色(Y)区域位置所处的绿黄肯普链(GY链)进行颜色对调变换。如果此时都不会影响翻转目标国家区域S周围的黄色(Y)或绿色(G)相邻国家区域，也就是说能够成功从图十四转为图十二的状态，那么可以在解决相邻红色(RR)冲突的基础上再次尝试③过程变换检查操作。
如果做完本节起始状态检查3个过程后依然不能使用腾挪出来的四种颜色之一完成对目标国家区域S的着色，则需要在地图上做单步转动检查操作后面的过程。
3、做单步转动检查
对目标国家区域S做颜色单步转动检查就是对其相邻的5个国家区域实现一次整体所着颜色沿顺时针或逆时针转动一个国家区域位置的变换检查操作，具体过程如下：
① 做最初的或者上一次单步转动检查完成之后的起始状态检查操作（如图十）。
② 将此时目标国家区域S右上方的红色(R)和右下方的绿色(G) 相邻国家区域通过相应的红绿肯普链(RG链)进行颜色对调变换操作（结果如图十六）。因为本次操作是在上一过程做完状态检查之后的操作，所以对于目标国家区域S之前处在同一条肯普链上的蓝色(B)与黄色(Y)相邻国家区域在本次操作完成后依然会处在原来的蓝黄肯普链(BY链)上不受影响，且对于目标国家区域S左上方被相应蓝黄肯普链(BY链)包围的红色(R)国家区域也不会受影响。先对目标国家区域S现在的黄色(Y)与绿色(G)相邻国家区域做起始状态检查②中关于是否在同一条肯普链上的类似检查操作，如果检查操作后此时不能够使用腾挪出来的四种颜色之一完成对目标国家区域的着色，则再对目标国家区域S现在的两个红色(R)相邻国家区域做起始状态检查③中的类似检查操作，如果这再次检查操作后还不能够使用腾挪出来的四种颜色之一完成对目标国家区域的着色，则需要进行下一个颜色变换检查操作过程。
③ 将此时目标国家区域S左上方的红色(R)和最上方的蓝色(B) 相邻国家区域通过相应的红蓝肯普链(RB链)进行颜色对调变换操作（结果如图十七）。因为本次操作是在上一过程做完状态检查之后的操作，所以对于目标国家区域S之前处在同一条肯普链上的绿色(Y)与黄色(G)相邻国家区域在本次操作完成后依然会处在原来的绿黄肯普链(GY链)上不受影响，且对于目标国家区域S右下方被相应绿黄肯普链(GY链)包围的红色(R)国家区域也不会受影响。先对目标国家区域S现在的绿色(G)与蓝色(B)相邻国家区域做起始状态检查②中关于是否在同一条肯普链上的类似检查操作，如果检查操作后此时不能够使用腾挪出来的四种颜色之一完成对目标国家区域的着色，则再对目标国家区域S现在的两个红色(R)相邻国家区域做起始状态检查③中的类似检查操作，如果这再次检查操作后还不能够使用腾挪出来的四种颜色之一完成对目标国家区域的着色，则需要进行下一个颜色变换检查操作过程。
④ 将此时目标国家区域S左下方的黄色(Y)和右下方的红色(R) 相邻国家区域通过相应的黄红肯普链(YR链)进行颜色对调变换操作（结果如图十八）。完成本次颜色对调变换操作后一次完整的单步转动检查操作就完成了，并为下一次可能的单步转动检查操作做好了准备。
4、做一圈转动检查
对目标国家区域S做一圈颜色转动检查就是对其相邻的5个国家区域实现一次整体所着颜色沿顺时针或逆时针转动一圈5个国家区域位置的变换检查操作。因为做一次颜色单步转动检查可以对目标国家区域相邻的5个国家区域实现一次整体所着颜色沿顺时针或逆时针转动一个国家区域位置，所以将前面颜色单步转动检查连续做5次即可对目标国家区域相邻的5个国家区域实现一次整体所着颜色沿顺时针或逆时针转动一圈5个国家区域位置，也即对目标国家区域相邻的5个国家区域做5次颜色单步转动检查就可轻松实现做一圈颜色转动检查（如图十九转动中途经过图二十至图二十三再转回到图十九的过程）。
5、做排序/镜像/组合变换检查
排序变换检查：做颜色排序变换检查是指对目标国家区域相邻的5个国家区域每次做出新的颜色排序位置之后再做一圈颜色转动检查，显然做排序变换检查是在做一圈转动检查的基础上实现的。假设在地图上我们即将要着色的目标国家区域S周围从左上方开始顺时针一圈5个相邻国家区域的已着色颜色依次是红(R)、蓝(B)、红(R)、绿(G)、黄(Y)，现对目标国家区域S及其相邻5个国家区域做颜色排序变换检查，具体过程如下：
① 在起始状态时（如图二十四），对目标国家区域S相邻的5个国家区域做一圈转动检查。如果此过程检查没有腾挪出来的颜色完成对目标国家区域S的着色，则需要进行下一个颜色排序变换检查操作过程。
② 在起始状态时，将目标国家区域S周围的蓝色(B)和黄色(Y)相邻国家区域通过共同所在的蓝黄肯普连(BY链)对调所着颜色位置，本次对调相关颜色位置后的结果是（如图二十五）目标国家区域S周围从左上方开始顺时针一圈5个相邻国家区域的已着色颜色依次是红(R)、黄(Y)、红(R)、绿(G)、蓝(B)，然后再对此时目标国家区域S相邻的5个国家区域做一圈转动检查。如果此过程检查没有腾挪出来的颜色完成对目标国家区域S的着色，则需要进行下一个颜色排序变换检查操作过程。
镜像变换检查：做颜色镜像变换检查是指对目标国家区域相邻的5个国家区域做出一次新的颜色镜像变换之后再做一次颜色排序变换检查，显然做镜像变换检查是在做排序变换检查的基础上实现的。假设在地图上我们即将要着色的目标国家区域S周围从左上方开始顺时针一圈5个相邻国家区域的已着色颜色依次是红(R)、蓝(B)、红(R)、绿(G)、黄(Y)，现对目标国家区域S及其相邻5个国家区域做颜色镜像变换检查，具体过程如下：
① 在起始状态时（如图二十七），对目标国家区域S相邻的5个国家区域做一次排序变换检查。如果此过程检查没有腾挪出来的颜色完成对目标国家区域S的着色，则需要进行下一个颜色镜像变换检查操作过程。
② 在起始状态时，将目标国家区域S周围的黄色(Y)和绿色(G)相邻国家区域通过所在的黄绿肯普连(YG链)对调所着颜色位置，本次对调相关颜色位置后的结果是（如图二十八）目标国家区域S周围从左上方开始顺时针一圈5个相邻国家区域的已着色颜色依次是红(R)、蓝(B)、红(R) 、黄(Y)、绿(G)，然后再对此时目标国家区域S相邻的5个国家区域做一次排序变换检查。
组合变换检查：做组合变换检查是指对目标国家区域相邻的5个国家区域每次做出新的组合变换之后再做一次镜像变换检查，显然做颜色组合变换检查是在做颜色镜像变换检查的基础上实现的。每次做颜色组合变换的主要变化是目标国家区域相邻的5个国家区域中的两个同色国家的颜色发生了改变。假设在地图上我们即将要着色的目标国家区域S周围从左上方开始顺时针一圈5个相邻国家区域的已着色颜色依次是红(R)、蓝(B)、红(R)、绿(G)、黄(Y)，现对目标国家区域S及其相邻5个国家区域做颜色组合变换检查，具体过程如下：
① 在起始状态时（如图二十九），对目标国家区域S相邻的5个国家区域做一次镜像变换检查。如果此过程检查没有腾挪出来的颜色完成对目标国家区域S的着色，则需要进行下一个颜色组合变换检查操作过程。
② 在起始状态时，将目标国家区域S周围的两个红色(R)相邻国家区域通过各自所在的红黄肯普连(RY链)对调所着颜色位置，其中左上方的红色(R)相邻国家区域会与左下方的黄色(Y) 相邻国家区域发生颜色位置对调变换，本次对调相关颜色位置后的结果是（如图三十）目标国家区域S周围从左上方开始顺时针一圈5个相邻国家区域的已着色颜色依次是黄(Y)、蓝(B)、黄(Y)、绿(G)、红(R)，然后再对此时目标国家区域S相邻的5个国家区域做一次镜像变换检查。如果此过程检查没有腾挪出来的颜色完成对目标国家区域S的着色，则需要进行下一个颜色组合变换检查操作过程。
③ 在起始状态时，将目标国家区域S周围的两个红色(R)相邻国家区域通过各自所在的红绿肯普连(RG链)对调所着颜色位置，其中右上方的红色(R)相邻国家区域会与右下方的绿色(G) 相邻国家区域发生颜色位置对调变换，本次对调相关颜色位置后的结果是（如图三十一）目标国家区域S周围从左上方开始顺时针一圈5个相邻国家区域的已着色颜色依次是绿(G、蓝(B)、绿(G、红(R) 、黄(Y)，然后再对此时目标国家区域S相邻的5个国家区域做一次镜像变换检查。如果此过程检查没有腾挪出来的颜色完成对目标国家区域S的着色，则需要进行下一个颜色组合变换检查操作过程。
④ 在起始状态时，将目标国家区域S周围的蓝色(B)和两个红色(R)相邻国家区域通过所在的蓝红肯普连(BR链)对调所着颜色位置，本次对调相关颜色位置后的结果是（如图三十二）目标国家区域S周围从左上方开始顺时针一圈5个相邻国家区域的已着色颜色依次是蓝(B)、红(R) 、蓝(B)、绿(G) 、黄(Y)，然后再对此时目标国家区域S相邻的5个国家区域做一次镜像变换检查。
6、做持续转动检查
做持续转动检查是指对目标国家区域相邻的5个国家区域持续做整圈颜色转动检查直到地图上所有能够被转动到的颜色区域位置都参与过颜色变换且地图又重新转回到最初的着色状态为止。显然做持续转动检查是做一圈转动检查的升级替代版，可以进一步非常充分的检查找出能够腾挪出来的可能颜色来完成对目标国家区域的着色。
7、统计变换检查结果
完全可以合理的认为每次对地图上相关国家区域通过肯普连进行颜色变换后检查能否对目标国家区域使用腾挪出来的四种颜色之一进行着色的概率均为50%。每次在做起始状态检查时的3个过程对应3次能否完成着色的检查；每次在做起始单步状态检查时的3个过程对应7次能否完成着色的检查，而每次在做后继单步状态检查时的3个过程对应6次能否完成着色的检查；因为每次在做一圈转动检查时包括1次起始单步状态检查和4次后继单步状态检查，所以每次在做一圈转动检查时总共包括7*1+6*4=31次能否完成着色的检查；因为每次在做一圈转动检查时已经包含了排序变换检查的状态结果，所以这里无须重复统计能否完成着色的检查次数；镜像变换检查包含了2次排序变换检查，这相当于包含了2次整圈转动检查；组合变换检查包含了5次镜像变换检查。现在不难统计发现即使以一圈转动检查为基础经过排序、镜像到最后的组合变换检查后最终要经过31*2*5=310次能否完成着色的检查，所以最后依然不能完成对目标区域着色的概率为1/(2^310)即2的310次幂分之一，也即能够完成对目标区域着色的概率至少为1-1/(2^310)这样的天文量级∞趋近于1的数字。而如果要是以持续转动检查为基础经过排序、镜像到最后的组合变换检查后最终要经过几乎无数次能否完成着色的检查，那么最后能够完成对目标区域着色的概率就是无限∞趋近于1的。这就意味着四色定理猜想是天文量级的成立概率，它不成立的可能性是微乎其微的。
三、总体结论
因为四色定理猜想是天文量级的成立概率，所以在现实应用上四色定理就是极限成立的。
在上面关于四色猜想的核心证明过程里，每次转动变换颜色位置检查操作都会影响一定数量的颜色区域发生位置变动，而且显然这些受影响发生位置变动的颜色区域要想全部回到原来开始所在位置是十分困难的。当地图全域包含的国家区域数量越多时情况越是如此，几乎要将相关颜色区域转上无数圈才有极小的可能使整个地图恢复到原来的面貌。从这个角度也不难进一步想象得到四色定理不成立的概率是多么微乎其微。因为四色定理属于数学上最难的NP-Complete问题（NPC问题），采取严格方式证明它的成立或不成立是几乎必然不可能的事情，所以我们这里合理采取了极限证明的方式来证明它的成立性，且完全符合问题规约原则。此外，这里对四色定理的极限成立的严格证明也为发展完善出四色定理的绝对成立证明打下了坚实基础。
