本节教程我们来讨论另外一种被广泛应用的分类算法— Logistic 回归。在讲解这个概念之前，我们先来聊一个题外话—“Logistic regression”的中文译法。“regression”译作“回归”，并没有什么异议，而“Logistic”的翻译可谓五花八门。有译作“逻辑斯谛”的，这种音译中规中矩，自然不能算错，但不够形象。

更多文献直接将其译作“逻辑”，这种译法可能就有点误导大家了。“逻辑”（logic）本来是一个哲学概念，它注重的是推论和证明，而“Logistic”主要用于机器学习领域的分类。二者几乎无关联，如此翻译，至少违反了“信达雅”中的“信”—不够确切。

可能你要问了，我们是在讨论“机器学习”，为何要纠结“Logistic”一词的译法呢？并不是因为我们“好为人师”，而是这关系到对“Logistic 回归”内涵的理解。下面我们就从为什么需要 Logistic 回归开始说起。

为什么需要Logistic回归

首先，需要强调的是，Logistic 回归也属于监督学习之列，虽然带有“回归”二字，但它却是名副其实的“分类”算法。通过前面的学习，我们知道，分类与传统意义上的回归最大的不同在于，分类算法输出的是离散的标签值（比如花的品类），而回归输出的是连续的实数（比如花瓣长度）。

前面我们已经提到，线性回归模型的优点在于，数据拟合简单直观，输出结果解释力强，但在部分场景下，它也会捉“捉襟见肘”，难以胜任。

下面我们来看这样一个场景。比如说，在一家服装店里，商家想根据顾客的各类特征（自变量 x），包括但不限于性别、年龄、穿着习惯、谈吐、颜值等，来预测自己的销售额（因变量 y）。显然，销售额是连续的实数值，因此这个模型构建起来，就是一个地地道道的线性回归模型。

y=w₀+w₁x₁+w₂x₂+...+w_mx_m

其中，w₀ 表示截距，w_i 表示与各个特征 x_i 相匹配的权值。相比于预测店铺销售额这类高层次问题，销售员可能更关注一个问题：光临店铺的顾客“买”还是“不买”商品。注意，此时目标输出变量只有两类值：0（代表不买）和 1（代表买），这显然是一个二分类问题。

其实，这也是一个很重要的问题。拓展一下，在整个互联网电商世界，聪明的商家无不是通过收集大量的用户标签（如性别、年龄、购买力、页面停留时间等），来形成用户画像（User Profile）的。最终，商家面临的也都是一个二分类问题：用户要不要观看某个视频，用户要不要点击某条新闻，用户要不要购买某个商品等。究其本质，都是一样的。因此，对二分类问题实施建模，具有一定的普适意义。

但问题在于，我们观察到的样本特征，往往是连续的实数值，而我们输出的目标却是“非 0 即 1”这样的离散整数值，如果用简单的线性回归模型，那么无论 {w_i} 怎么“上蹦下跳”，也难以有效达成“连续值→离散值”的映射。也就是说，简单的线性回归模型难以实现数据和目标数据之间的拟合。

如果直接拟合很难，那我们能不能转换一下思维方式呢？在输出值方面，我们暂时先做一点点妥协，不再考虑“非黑即白”的二分类（买或不买），而是考虑买或不买的概率。由于概率是一个连续值，这样一来，我们就重新回到了“连续值→连续值”的映射上，这似乎保持了“回归”的特性。

然后，我们给出一个阈值（θ），一旦概率大于 θ，就表示购买的可能性大。反之，低于 θ 表示购买的可能性小。可是，你可能会问，这个阈值该如何设定呢？

事实上，这个阈值可以不直接设定。我们假设购买的概率为 P，显然，对于一个二分类，不购买的概率就是 1-P。我们只要保证购买的概率 P 大于不够买的概率（1-P）就可以了，用数学的语言描述就是：

p/(1-p)>1

上面公式刻画的概念就是“odds”（几率）。如此一来，我们就把一个观察的连续值和一个输出的连续值关联起来了。但这似乎还不够，我们需要把二者用数学模型连接起来，即用到非常重要的 logit 变换。

Logistic源头初探

在统计学领域，Logistic 的同义词是 logit。logit 常出现在很多机器学习框架的函数中。那么 logit 到底是什么意思呢？

在统计学里，概率（Probability，简称 P）描述的是某事件 A 出现的次数与所有事件出现的次数之比。很显然，概率 P 是一个介于 0～1 之间的实数；P=0，表示事件 A 一定不会发生，而 P=1 则表示事件 A 一定会发生。以掷骰子为例，由于骰子有 6 面，任意一面的点数出现的概率都是相同的。于是，事件 A“掷出点数 1”的概率 P(A)=1/6。

在英文中，odds 的本意是“几率”“可能性”，它和我们常说的概率又有什么区别呢？相比于概率 P，odds 指的是事件发生的概率与事件不发生的概率之比：

odds(A)=事件A发生的概率/事件A不发生的概率

还拿掷骰子的例子来说，掷出点数 1 的 odds 为：

odds(掷出点数1)=(1/6)/(5/6)=1/5

很明显，odds 和 P 之间的关系为：

odds(A)=P(A)/1-P(A)

进一步简化可知：

odds(A)=事件A发生的次数/发生其他事件的次数(即事件A不发生的次数)

很容易推导得知，P(A) 和 odds(A) 的值域是不同的。前者的值域是 [0,1]，而后者则是 [0,+∞)。

那这和 logit 到底有什么关系呢？请注意“logit”一词的构成，它的含义是对它（it）取对数（log），这里“it”就是指 odds。下面我们就可以给出 logit 的定义了：

logit(odds)=log(p/1-p)

上面实际上就是所谓 logit 变换，其曲线如图 1 所示。

logit变换曲线

图 1：logit变换曲线

或许你要问，那为什么要实施 logit 变换呢？简单来说，在机器学习领域，很多变换都是为了方便模型更好地拟合数据，logit 变换亦是如此。从图 1 中可以看出，通过变换，logit 就具备了一个很重要的特性，即它的值域为 (-∞, +∞)，摆脱了上下限制，这就给数据的拟合提供了方便。当然，其优点并不局限于此，后面会继续讨论。

通常，logit 变换的对数底是自然对数e，这里我们把 odds 用更简单的符号 z 表示，则有：

z=ln(p/1-p)

显然，通过公式上面，我们也容易反推出概率P的值：

p=e²/(1+e²)

如果我们再将公式上面做以简单变形，让分子和分母同时乘以 e-z，并按分布函数的格式写出来，可得到：

p=(Z≤z)=1/(1+e²)

这里，Z 表示随机变量，取值为实数。上面公式正是在 Logistic 回归和神经网络中广泛使用的 Sigmoid 函数，又称 Logistic 函数（以后不再区分这两种叫法）。该函数有很多优良的“品性”，如单调递增、处处可导等，如图 2 所示。

Logistic函数

图 2：Logistic 函数

行文至此，或许你对“logit”的内涵已经有了更为准确的理解。追根溯源，Logistic regression 比较“信达雅”的中文译法应该为“对数几率回归”。比如，在那本著名的“西瓜书”《机器学习》中，这个词就是这么翻译的。

Logistic 回归通过使用其固有的 Logistic 函数来估计概率，从而衡量因变量（即要预测的标签）与一个或多个自变量（特征）之间的关系。这些概率必须二值化，才能真正地实现分类预测。

从图 2 中可以看到，Logistic 函数是一个 S 形的曲线，它可以将任意实数值映射为 0～1 之间的值。这个特性，对于解决二分类问题十分重要。我们使用阈值（比如说 0.5）将 0～1 之间的概率转换为两个不同的类，通常用“0”表示一类（比如说概率小于 0.5），用“1”表示另外一类（概率大于 0.5）。

需要注意的是，选择概率值 0.5 作为阈值，仅是一种一般性的做法。在实际应用时，针对不同情况可选择不同的阈值。比如说，如果对正例的查准率要求高，可以选择更大一些的阈值（比如 0.6）。如果对正例的查全率（即召回率）要求高，则可以选择小一些的阈值（比如 0.4）。

此外，分类的标识“0”或“1”，和概率值的边界“0”或“1”，其实是没有任何关系的。我们完全可以用“-1”和“1”表示两个类，只要它们有区分度即可。