函数求导的链式法则证明(A simple proof of The Chain Rule)

对复合函数求导遵循链式法则(The Chain Rule)，即：

假设f是关于u的函数： $f(u)$

u是关于x的函数: $u(x)$

那么 $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

本文对此法则做下证明。

首先从导数定义说起：

当函数 $f$ 的自变量在一点 $x_0$ 上产生一个增量 $h$ 时，函数输出值的增量与自变量增量 $h$ 的比值在 $h$ 趋于0时的极限如果存在，即为 $f$ 在 $x_0$ 处的导数，记作 $\frac{df}{dx}(x_0)$ 。

也就是:

$\lim_{h\to0} \frac{y(x+h) - y(x)}{h}$

我们从导数定义来推导下上面提到的 $f, u, x$ 函数

$\frac{df}{dx} = \lim_{h\to0} \frac{y(u+h) - y(u)}{h}$

$= \lim_{h\to0} \frac{y(u(x+h)) - y(u(x))}{h}$

$= \lim_{h\to0} \frac{y(u(x+h)) - y(u(x))}{u(x+h) - u(x)} \cdot \frac{u(x+h) - u(x)}{h}$

很显然， $\lim_{h\to0} \frac{y(u(x+h)) - y(u(x))}{u(x+h) - u(x)} = \frac{df}{du}$ , 而 $\lim_{h\to0} \frac{u(x+h) - u(x)}{h} = \frac{du}{dx}$

所以， $\frac{df}{dx} = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

The Chain Rule得证。

聪明的读者可能会想到，我们构造出来的分母： $u(x+h))- u(x)$ 会不会等于0呀，这样除数是0就没意义了。如果上式为0则说明 $u(x)$ 在 $\bigtriangleup h$ 上无变化，从几何意义上来说也就是斜率(slope)为0，也就说明在 $\bigtriangleup h$ 上 $u$ 不随着 $x$ 变化，即 $u(x+h) = u(x)$ ，那么 $f(u(x+h)) = f(u(x))$ ，反映出来的意义就是 $f$ 和 $x$ 在 $\bigtriangleup h$ 上也没变化，也就是在 $\bigtriangleup h$ 上 $f$ 和 $x$ 也没关系，也就是说 $f$ 对于 $x$ 是个常数函数。则导数为0。

一句话快速理解The Chain Rule: 骑自行车比步行块2倍，开车比自行车快4倍，那么开车很显然比步行快8倍。

最后编辑于：2023.12.19 19:09:47

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