特征值分解和奇异值分解

1.特征值分解

特征值和特征向量的定义如下： $Ax = \lambda x$

其中A是一个 n×n 的矩阵，x 是一个 n 维向量，则我们说λ是矩阵 A 的一个特征值，而 x 是矩阵 A 的特征值λ所对应的特征向量。

求出特征值和特征向量有什么好处呢？

就是我们可以将矩阵 A 特征分解。

如果我们求出了矩阵 A 的 n 个特征值 $\lambda_1\leq \lambda_2\leq...\leq \lambda_n$ ，以及矩阵这n个特征值所对应的特征向量 $w_1,w_2,...,w_3$ 。那么矩阵A就可以用下式的特征分解表示：

$A = W\Sigma W^{-1}$ ，其中 $W$ 为特征向量组成的矩阵， $\Sigma$ 是特征值所组成的对角矩阵。

2.奇异值分解

特征值分解 $A = W\Sigma W^{-1}$ 的前提条件是A是方阵。如果A不是方阵，这种分解（对角化）将无效。

怎样解决这个问题呢？因此出现了奇异值分解。

奇异值分解可表示成： $A = U\Sigma V^T$

如何进行奇异值分解呢？？

奇异值分解性质

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