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系统的基本属性及对应例子

系统的基本属性及对应例子

本文介绍了系统的无记忆性（memoryless）、因果性（causality）、稳定性（stability）、时不变（time-invariance）及线性（linearity）的基本定义，并给出了对应的例子

1 无记忆性

1.1 定义

$t=t_0$ 时刻的系统输出只与 $t=t_0$ 时刻的系统输入有关，即

$x(t=t_0) \rightarrow y(t=t_0)$

以上 $\rightarrow$ 具有唯一性

1.2 例子

$y(t) = x^2(t)$ ：具有无记忆性
$y(t) = \int_{-\infty}^t{x(t)dt}$ ：当前的输入是过去所有输入的累计，不具有无记忆性
$y[n] = x[n-1]$ ：此为单位延时（unit delay），当前 $n$ 时刻的输入只与 $n-1$ 时刻的输入有关，不满足无记忆性的基本定义，不具有无记忆性

2 因果性

2.1 定义

$t=t_0$ 时刻的系统输出只与 $t \leqslant t_0$ 时刻的系统输入有关，数学上的表述如下

对于因果系统 $A$ 有

$x_1(t) \rightarrow y_1(t)$

$x_1(t) \rightarrow y_1(t)$

如果

$x_1(t) = x_2(t), t \leqslant t_0$

则

$y_1(t) = y_2(t), t \leqslant t_0$

2.2 例子

$y[n] = \frac{1}{3}\left \{ x[n-1] + x[n] + x[n+1] \right \}$ ：此为滑动平均（moving average），可以看到 $n$ 时刻的系统输入与 $n$ 、 $n-1$ 、 $n+1$ 的系统输入有关，故为非因果系统

3 稳定性

3.1 定义

对于每一个有界的系统输入，其对应的系统输出也是有界的

3.2 例子

$y(t) = \int_{-\infty}^t{x(t)dt}$ ：此为积分器，显然不是有界的。当 $x(t) = 1$ 时，随着 $t$ 的增长， $y(t)$ 为 $+\infty$

4 时不变性

4.1 定义

系统输入延迟 $t_0$ 时，对应的系统输出也延时 $t_0$ ，即若

$y(t) = T[x(t)]$

则

$y(t-t_0) = T[x(t - t_0)]$

4.2 例子

$y(t) = T[x(t)] = x(2t)$ ：可知 $y(t-t_0) = x(2t-2t_0)$ ，而 $T[x(t-t_0)] = x(2t - t_0)$ 。则 $y(t-t_0) \neq T[x(t-t_0)]$ 。故此系统为时变系统

5 线性

5.1 定义

同时满足叠加性与齐次性的系统为线性系统，即

$y_1(t) = T[x_1(t)]$

$y_2(t) = T[x_2(t)]$

有

$ay_1(t)+ by_2(t) = T[ax_1(t)+ bx_2(t)]$

5.2 例子

$y(t) = 2x(t)+2$ ： $ay_1(t)+ by_2(t) = 2ax_1(t) +2bx_2(t)+2a+2b$ ，而 $T[ax_1(t)+ bx_2(t)] = 2ax_1(t)+2bx_2(t) +2$ 。则 $ay_1(t)+ by_2(t) \neq T[ax_1(t)+ bx_2(t)]$ ，故是非线性系统

最后编辑于：2020.02.05 16:37:54

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