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我们在《一个最大化条件概率问题》一文中提到，为了满足商品采购业务的需要，我们首先预测每一天的需求所服从的概率分布，然后计算若干天总需求所服从的概率分布。那么，如何将日需求的分布转化为总需求的分布呢？
方法
考虑一组独立的随机变量 ，令
则
也就是说，多个随机变量的和总可以还原回两个随机变量的和的情况。因此，我们只需要知道如何计算两个随机变量的和的分布就可以了。
假设 和
是两个独立的随机变量，令
。
若
和
是离散型随机变量，则
的概率质量函数为
若
卷积怎么算呢？根据定义直接算，可以，但没必要。复习一下卷积定理：
函数卷积的傅里叶变换是函数傅里叶变换的乘积。
对于离散型随机变量，我们只需要用 FFT 算法计算 和
的概率质量函数的离散傅里叶变换，然后作乘积，再作一次逆变换，即可求得
的概率质量函数。对于连续型随机变量，则可以先离散化，然后用上述方法近似求解
的概率密度函数。
作为调包工程师，我们直接调用 scipy.signal.fftconvolve 实现来上述操作。
例子
我们来验证一下。
假设 ，
，则
。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import norm
from scipy.signal import fftconvolve
x = norm.pdf(np.arange(100), loc=30, scale=10)
y = norm.pdf(np.arange(100), loc=60, scale=5)
z = norm.pdf(np.arange(200), loc=90, scale=np.sqrt(125))
z_tilde = fftconvolve(x, y)
plt.subplot(121)
plt.plot(x, color='b', label='pdf of X')
plt.plot(y, color='g', label='pdf of Y')
plt.legend()
plt.subplot(122)
plt.plot(z, color='r', label='analytical pdf of Z')
plt.plot(z_tilde, color='y', label='numerical pdf of Z')
plt.legend()
plt.show()
再看一个例子。
考虑一组独立的随机变量 ，满足
，即每个
均服从成功概率
的伯努利分布。令
，即
是 100 次独立重复试验中成功的次数。根据定义，
服从二项分布。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import binom
from scipy.signal import fftconvolve
from functools import reduce
xs = [[0.7, 0.3] for _ in range(100)]
z = binom.pmf(np.arange(100), n=100, p=0.3)
z_tilde = reduce(fftconvolve, xs)
plt.plot(z, label='analytical pmf of Z')
plt.plot(z_tilde, label='numerical pmf of Z')
plt.legend()
plt.show()
最后看看实际计算总需求时的效果：
附录
附上卷积定理的简单推导：
考虑函数 和
，以及它们的卷积
。
和
的傅里叶变换分别为
而 的傅里叶变换为
令 ，则
，
